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2.1.1指数与指数幂的运算(二)


2.1.1 指数与指数幂的运算(二) (一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解分数指数幂的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想

; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美. (二)教学重点、难点 1.教学重点: (1)分数指数幂的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂概念的理解 (三)教学方法 发现教学法 1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情 形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后, 进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规 律,并由特殊推广到一般的研究方法. (四)教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 提出 问题 回顾初中时的整数指数幂及运算性质. ,

什么叫实数? 有理数,无理数统称实数. 老师提问,

学生回答. 学习新知前的简单复习,不仅能唤起学生的记忆,而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习 引入 观察以下式子,并总结出规律:>0 ① ② ③ ④ 小结: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以写成分数作为指数的形式, (分 数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如:

即: 老师引导学生 “当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以写成分数作为指 数的形式, (分数指数幂形式) ”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可 以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义. 数学中引进一个新的概念或法则时,总希望它与已有的概念或法则是相容的. 形成 概念 为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为: 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即: 规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种 新的写法,而不是

学生计算、构造、猜想,允许交流讨论,汇报结论.教师巡视指导. 让学生经历从“特殊一一般” , “归纳一猜想” ,是培养学生“合情推理”能力的有效方式, 同时学生也经历了指数幂的再发现过程,有利于培养学生的创造能力. 深化 概念 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运 算性质,可以推广到有理数指数幂,即:

(1) (2) (3) 若>0,P 是一个无理数,则 P 该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课本 P57 ——P58. 即:的不足近似值,从由小于的方向逼近,的过剩近似值从大于的方向逼近. 所以,当不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近. 当的过剩似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近,(如课本图所示) 所以,是一个确定的实数. 一般来说,无理数指数幂 是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是 用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考:的含义是什么? 由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指 数幂有意义,也有相同的运算性质,即:

让学生讨论、研究,教师引导. 通过本环节的教学,进一步体会上一环节的设计意图. 应用 举例 例题 例 1(P56,例 2)求值 ; ; ;. 例 2(P56,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式(>0) ; ;. 分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算. 解: ; ; . 课堂练习:P59 练习 第 1,2,3,4 题 补充练习: 1. 计算:的结果; 2. 若 . 学生思考,口答,教师板演、点评. 例 1 解: ① ; ②

; ③ ; ④ . 例 2 分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算. 解: ; ; . 练习答案: 1.解:原式= ==512; 2.解:原式= =. 通过这二个例题的解答,巩固所学的分数指数幂与根式的互化,以及分数指数幂的求值,提 高运算能力. 归纳 总结 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的. 先让学生独自回忆,然后师生共同总结. 巩固本节学习成果,使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力. 课后 作业 作业:2.1 第二课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力 备选例题 例 1 计算 (1) (1) ; 【解析】 (1)原式 (2)原式=

= =. 【小结】一般地,进行指数幂运算时,化负 指数为正指数,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为 简的目的. 例 2 化简下列各式: (1) ; (2). 【解析】 (1)原式= = = = =; (2)原式= . 【小结】 (1)指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里的;无括号先做指数运算. 负指 数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是 带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质. (2)根据一般先转化成分数指数幂,然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根 式化为分数指数幂的过程中, 一般采用由内到外逐层变换为指数的方法, 然后运用运算性质 准确求解. 如 . (3)利用分数指数幂进行根式计算时,结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式,但 不能既有根式又有分数指数幂.


2.1.1指数与指数幂的运算

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必修一.2.1.1 指数与指数幂的运算(1)

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