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四川省成都七中2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题


四川省成都七中 2012-2013 学年高一下学期期末考试数学试 题(特别提醒:请在答题卡上作答! )
一、选择题(每题 5 分,共 50 分)请将选项填涂在答题卡上 1. 已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式正确的是( C ) A. a 2 ? b 2 B. ?
1 a 1 b

C. 2a ? 2b

D. ab

? b2

3.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 2 , S4 ? 10 ,则 S6 等于(C
A.12 B.18 C.24 D.42



4. 已知圆 x 2 ? y 2 ? r 2 在曲线 | x | ? | y |? 4 的内部,则半径 r 的范围是(B) A.0< r < 2 B.0< r <2 2 C.0< r <2 D.0< r <4

B 5. 如图,要测出山上石油钻井的井架 BC 的高,从山脚 A 测得 AC ? 60 m, 塔顶 B 的仰角 ? ? 45? ,塔底 C 的仰角 15? ,则井架的高 BC 为( B )

A. 20 2 m

B. 30 2 m

C. 20 3 m

D. 30 3 m

C

A
第 5 题图

?x ? y ≥ 0 6.若 x , y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 3 ≥ 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?0 ≤ x ≤ 3 ?

D



A.3

B.6

C.8

D .9
An 7 n ? 45 ,则 ? Bn n?3

7. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且
an 为整数的正整数 n 的个数是( D bn

使得 A.2

) D.5

B.3 )

C.4

8.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? (b ? c )cos C ,则△ABC 的形状是 ( A

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 9. 已知直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? ay ? 1 ? 0 ,给出如下结论:

①不论 a 为何值时, l1 与 l2 都互相垂直; ②当 a 变化时, l1 与 l2 分别经过定点 A(0,1)和 B(-1,0); ③不论 a 为何值时, l1 与 l2 都关于直线 x ? y ? 0 对称; ④当 a 变化时, l1 与 l2 的交点轨迹是以 AB 为直径的圆(除去原点). 其中正确的结论有( B ). A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ BE 10. 在△ABC 中, E , F 分别是 AC , AB 的中点,且 3 AB ? 2 AC ,若 ? t 恒成立, CF 则 t 的最小值为(A ) 7 3 6 4 A. B. C. D. 7 5 8 4 二、填空题(每题 5 分,共 25 分)请将答案填在答题卡上 11. 不等式
x?2 ≤ 0 的解集是 (?1, 2] x ?1

12. 已 知 直 线 l : ax ? (1 ? 2a ) y ? 1 ? a ? 0 . 不通 过第四象 限,则 a 的取 值范围是

1 ? a ?1 2

.

13.过直线 l : y ? 2 x 上一点 P 作圆 C : x 2 ? y 2 ? 16 x ? 2 y ? 63 ? 0 的切线 l1 , l2 , 若 l1 , l2 关于 直线 l 对称,则点 P 到圆心 C 的距离为 14. 若方程 .3 5

x2 ?1 x ?1

? kx 有两个实数根,则实数 k 的取值范围是
.

0 ? k ?1或

1? k ? 2
15.下列命题:

① ?ABC 中,若 A ? B ,则 cos 2 A ? cos 2 B ; ②若 A,B,C 为 ?ABC 的三个内角,则
4 1 9 的最小值为 ? A B?C ?

③已知 an ? sin

19 n? 16 ( n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 中的最小项为 ; ? 3 6 2 ? sin n? 6 f ( a ) f (b) f ( c ) ? ? ; a b c

④若函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) ,且 0 ? a ? b ? c ,则

⑤函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 13 的最小值为 29 .

其中所有正确命题的序号是

②③

三、解答题(16—19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分)请在答题 卡对应位置规范答题. 16. {an } 是 公 比 大 于 1 的 等 比 数 列 , S n 是 {an } 的 前 n 项 和 . 若 S3 ? 7 , 且

a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 构成等差数列.
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式. (Ⅱ)令 bn ? log 2 a2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

17.在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a 、 b 、 c 成等比数 列,且 cos B ? .
1 1 ? 的值; tan A tan C 3 (Ⅱ)设 BA BC ? ,求 a 、 c 的值. 2 解: (Ⅰ) a 、 b 、 c 成等比数列,? b2 ? ac ,? sin 2 B ? sin A sin C 1 1 cos A cos C cos A sin C ? sin A cos C ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin( A ? C ) sin B 1 4 7 ? ? ? = ………………………6 分 sin A sin C sin A sin C sin B 7 3 4

(Ⅰ)求

……2 分

(Ⅱ) BA BC ? ,即 ac cos B ? ,而 cos B ? ,所以 ac ? 2 ①, b2 ? 2 …………8 分

3 3 2 4 2 2 2 由余弦定理,2= a ? c ? 2ac cos B ,? a ? c 2 ? 5 ,②…………10 分

3 2

由①②解得 a ? 1, c ? 2 或 a ? 2, c ? 1 .………12 分

18. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x ? (3 ? a ) x ? 2(1 ? a ) (其中 a ? R ).
2

(Ⅰ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? x ? 3 对任意 x ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.
18 解: (Ⅰ) f ( x) ? ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] , 而 x1 ? x2 ? 2 ? 1 ? a ? a ? 1 , f ( x) ? 0 等价于 ( x ? 2)[ x ? (1 ? a )] ? 0 ,于是 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2) 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2)

(1 ? a, ??) ;…………2 分 (2, ??) ;…………4 分 (2, ??) …………6 分

当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??,1 ? a )

x2 ? 4 x ? 5 恒成立…………8 分 x?2 1 x2 ? 4 x ? 5 ) ? ?2 ( 当 且 仅 当 x ? 3 时 取 “ = ” 又当 x ? 2 时, ? = ?( x ? 2 ? x?2 x?2

(Ⅱ)不等式 f ( x ) ? x ? 3 ,即 a ? ?

号). …………10 分 ? a ? ?2 …………12 分 19. 已知直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 ( a ? R ),圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 . (Ⅰ)求证:直线 l 与圆 O 相交; (Ⅱ)判断直线 l 被圆 O 截得的弦何时最短?并求出最短弦的长度; (Ⅲ)如图,已知 AC、BD 为圆 O 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 2), 求四边形 ABCD 的面积的最大值.

y
D A

M
C

x
B

o

解:直线 l : y ? 2 ? a ( x ? 1) ,所以直线 l 过定点 (1, 2) , 12 ? ( 2)2 ? 4 ,
? (1, 2) 在圆 C 内部,所以直线 l 与圆 C 相交。………3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,直线 l 过定点 M (1, 2) ,当 l ? OM 时,弦长最短. …………4 分
? kl ? ? 1 kOM

=?

2 2 ,? a ? ? 2 2
3 ? 3 1? 2

此时, l 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ? 所以最短弦长为: 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ? 3 ? 2

…………7 分

分 20.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?n 2 an ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若存在 n ? N ? ,使得 an ? ( n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值. 解: (Ⅰ) a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ?
n ?1 an ?1 , n ? N ? ① 2 n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an ? an , n ? 2 ② 2 n ?1 n 3n n ?1 an ?1 ? an ,? an ? an ?1 ,…………2 分 ①-②: nan ? 2 2 2 2

n ?1 an ?1 ( n ? N ? ) 2

即 ( n ? 1)an ?1 ? 3 ? nan ( n ? 2 ) ,又 2a2 =2,
? n ? 2 时,数列 ?nan ? 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.

? nan ? 2 ? 3n ?2 ( n ? 2)
, ? 1 ?1 n ? an ? ? 2 n ? 2 ?3 n , ? 2 ? ?n





.…………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 n ? 2 时, n 2 an ? 2n ? 3n ?2 ,
?当 n ? 1 时, T1 ? 1 ;

当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ??? ? 2n ? 3n ?2 ,①
3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ??? ? 2( n ? 1) ? 3n ?2 ? 2n ? 3n ?1 ,②

①-②得, ?2Tn ? 2 ? 2(31 ? 32 ? ??? ? 3n ?2 ) ? 2n ? 3n ?1

= 2 ? 3 ? 3n ?1 ? 2n ? 3n ?1 = ?1 ? (1 ? 2n ) ? 3n ?1
? Tn ? 1 1 ? ( n ? )3n ?1 ( n ? 2) ,又 T1 ? 1 也满足 2 2 1 1 ? Tn ? ? ( n ? )3n ?1 ( n ? N ? ) 2 2

.…………9 分

21. 已知定点 O ? 0,0 ? , A ? 3,0 ? ,动点 P 到定点 O 距离与到定点 A 的距离的比值是 . ? (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (Ⅱ)当 ? ? 4 时,记动点 P 的轨迹为曲线 D . ①若 M 是圆 E : ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 64 上任意一点,过 M 作曲线 D 的切线,切点
2 2

1

是 N ,求 MN 的取值范围; ②已知 F , G 是曲线 D 上不同的两点,对于定点 Q(?3,0) ,有 QF ? QG ? 4 .试 问无论 F ,G 两点的位置怎样,直线 FG 能恒和一个定圆相切吗?若能,求 出这个定圆的方程;若不能,请说明理由. 解(Ⅰ)设动点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则由 ? PO ? PA ,得 ? ( x 2 ? y 2 ) ? ( x ? 3) 2 ? y 2 , 整理得: ? ? ? 1? x 2 ? ? ? ? 1? y 2 ? 6 x ? 9 ? 0 .
? ? 0, ?当 ? ? 1 时,则方程可化为: 2 x ? 3 ? 0 ,故方程表示的曲线是线段 OA 的垂直平

分线;

2 ? 3 ? ? 3 ? ? 2 当 ? ? 1 时,则方程可化为 ? x ? ? ,即方程表示的曲线是以 ? ?y ?? ? ?1? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? y 3 3 ? ? ? ,0 ? 为圆心, 为半径的圆. ?????5 分 ?? ? ?1 ? ? ?1 ? M · 2 2 (Ⅱ)当 ? ? 4 时,曲线 D 的方程是 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 , E · N 故曲线 D 表示圆,圆心是 D ? ?1,0 ? ,半径是 2 . x ·O D

2

①由 DE ?

? 2 ? 1?

2

? ? 4 ? 0 ? ? 5 ,及 5 < 8 - 2 有:
2

两 圆 内 含 , 且 圆 D 在 圆 E 内 部 . 如 图 所 示 , 由 MN ? MD ? DN
2 2

2

2

2

有:

MN ? MD ? 4 ,故求 MN 的取值范围就是求 MD 的取值范围.而 D 是定点, M 是

圆上的动点,故过 D 作圆 E 的直径,得 MD min ? 8 ? 5 ? 3 , MD max ? 8 ? 5 ? 13 ,故
5 ≤ MN ≤ 165 , 5 ≤ MN ≤ 165 . ?????9 分
2

②解法一:设点 Q 到直线 FG 的距离为 d , ?FQG ? ? , 则由面积相等得到 QF ? QG sin ? ? d FG ,且圆的半径 r ? 2 . 即d ?
4sin ? 4sin ? ? ? 1. 于是顶点 Q 到动直线 FG 的距离为定值, FG 2r sin ?

即动直线 FG 与定圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 相切.

x1 x2 ?

n2 ?1, 1 ? m2 n 2 ? 3 ?6mn ? 6 1 ? 8m 2 ? ? ? 0 ,由此可得 8m 2 ? 6mn ? n 2 ? 1 , 2 2 2 1? m 1? m 1? m
3m ? n 1 ? m2 ? 1 ????????( ※ ).

所以 x1 x2 ? 3( x 1 ? x2 ) ? 8 ? 也即 (3m ? n) 2 ? 1 ? m 2 ,

假设存在定圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ,总与直线 FG 相切,则
2 2

d?
此时

ma ? b ? n 1? m
2

是定值 r ,即 d 与 m, n 无关,与

3m ? n

?a ? ?3 , ? 1 ??( ※ )对比,有 ? 1? m ?b ? 0
2


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