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奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐):答案二


习题八 一.证明:记锐角?ABC的角平分线分别是AA1 , BB1 , CC1 , 设CB1=x,那么AB1=b ? x, 则: c 2 ? (b ? x) 2 ? BB1 ? a 2 ? x 2 ? CB1 ? x ? 则:B1 A ? c2 ? b2 ? a 2 2b b2 ? c2 ? a2 a 2 ? c 2 ? b2 , C1 B ? 2c 2c c2 ? a2 ? b

2 b2 ? a2 ? c 2 , A1C ? 2a 2a a 2 ? b2 ? c 2 2b 同理可得:AC1 ? BA1 ? ? AC1 BA1 CB1 ? ? ?1 C1 B A1C B1 A ? 锐角三角形的三条高交于一点 M E G D B A K H C F 二. 如图。延长 HA 到 M,使 AM=BC。连 CM,BM。 设 CM 与 BF 交于点 K。 在△ACM 和△BCF 中, AC=CF,AM=BC, ∠MAC+∠HAC=180°, ∠HAC+∠HCA=90°, 并且∠BCF=90°+∠HCA, 因此∠BCF+∠HAC=180°∠MAC=∠BCF。 从而△MAC≌△BCF,∠ACM=∠CFB。 所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°, 即 BF 丄 MC。 同理 CD 丄 MB。AH,BF,CD 为△MBC 的 3 条高线,故 AH,BF,CD 三线交于一点。 三. 如图,过 P 向三边作垂线,垂足分别为 R,S,T。 连 RS,ST,RT,设 BD 交 AP 于 M,CE 交 AP 于 N。 易知 P,R,A,S;P,T,B,R; P,S,C,T 分别四点共圆,则 ∠APB-∠ACB=∠PAC+∠PBC =∠PRS+∠PRT =∠SRT。 A R M N D E P B T S 172 C 同理,∠APC-∠ABC=∠RST, 由条件知∠SRT=∠RST,所以 RT=ST。 又 RT=PBsinB,ST=PCsinC, 所以 PBsinB=PCsinC,那么 PB PC 。 ? AB AC 由角平分线定理知 AN AC AB AM 。 ? ? ? NP PC PB MP 故 M,N 重合,即 AP,BD,CE 交于一点。 四. 如图,设 RO1 与 QO2 交于点 O, 连 MO,PO。 因为∠O1QM=∠O1NM=90°,所以 Q,O1,N,M 四点共圆,有∠QMI=∠QO1O2。 而∠IQO2=90°=∠RQO1, 所以∠IQM=∠O2QO1, 故△QIM∽△QO2O1,得 QO1 O1O2 ? QM MI 同理可证 I RO2 O1O2 。因此 ? RM MI R QM QO1 ? MR RO2 因为 QO1∥RO2,所以有 ① Q M O1 N O P O2 O1O QO1 ? OR RO2 ② 由①,②得 MO∥QO1。 又由于 O1P=O1Q,PO2=RO2, 所以 O1O O1Q O1 P , ? ? OR RO2 PO2 即 OP∥RO2。从而 MO∥QO1∥RO2∥OP,故 M,O,P 三点共线,所以 PM,RO1,QO2 三 条直线相交于同一点。 五. 如图,连接 BD 交 AC 于 H, 173 过点 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I, 过点 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J。 对△BCD 用塞瓦定理,可得 A D H CG BH DE ? ? ?1 GB HD EC ① B G F E 因为 AH 是∠BA

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