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2015届高考数学(文)第一轮复习达标课时跟踪检测:2-2 函数的单调性与最值含答案


[A 组
一、选择题

基础演练·能力提升]
)

1.(2014 年威海模拟)下列函数中既是偶函数又在区间(0,1)上单调递增的是( 1 A.y=

x x

B.y=lg|x|

C.y=2

x

D.y=-x

/>
2

1 x 2 解析:y= ,y=2 不是偶函数,排除 A、C;y=-x 是偶函数,但在(0,1)上单调递减,

y=lg|x|是偶函数,根据图象,可判断在区间(0,1)上单调递增,故选 B.
答案:B 2.下列函数中,值域是(0,+∞)的是( A.y= C.y= ) B.y= D.y=

x2-2x+1
1 (x∈N) x +2x+1
2

x+2 (x∈(0,+∞)) x+1
1 |x+1|

解析:A 项值域为 y≥0,B 项值域为 y>1,C 项中 x∈N,故 y 值不连续,只有 D 项 y>0 正确. 答案:D

??1?? 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f?? ??<f(1)的实数 x 的取值范围是( x ?? ??
A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

)

??1?? 解析:∵函数 f(x)为 R 上的减函数,且 f?? ??<f(1), ??x?? ?1? ∴? ?>1,即|x|<1 且|x|≠0. x ? ?
∴x∈(-1,0)∪(0,1). 答案:C

a- x,x≥2 ? ? 4 . 已 知 函 数 f(x) = ??1?x ? ? -1,x<2 ? ??2? f x1 -f x2 <0 成立,则实数 a 的取值范围为( x1-x2
A.(-∞,2) C.(-∞,2]

满 足 对 任 意 的 实 数 x1≠x2 都 有

)

13? ? B.?-∞, ? 8? ? D.?

?13,2? ? ?8 ?

-1-

a-2<0 ? ? 解析:由题意知函数 f(x)是 R 上的减函数,于是有? a- ? ?
13? 13 ? 得 a≤ ,即实数 a 的取值范围为?-∞, ?,选 B. 8? 8 ? 答案:B

?1?2-1 ? 2? ? ?

,由此解

5.已知实数 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=loga |x|在(-∞,0)上是减函数,函数 g(x) 1 x =a + x,则下列选项正确的是(

a

) B.g(-3)<g(4)<g(2) D.g(2)<g(-3)<g(4)

A.g(-3)<g(2)<g(4) C.g(4)<g(-3)<g(2)

解析:由函数 y=loga |x|在(-∞,0)上为减函数,可得 a>1,故 g(-3)-g(2)=(a- 1)×

a5-1 a7-1 >0? g(4)>g(-3),故有 3 >0? g(-3)>g(2),又 g(4)-g(-3)=(a-1)× a a4

g(4)>g(-3)>g(2).
答案:D
?x +ax+1,x≥1, ? 6.已知函数 f(x)=? 2 ?ax +x+1,x<1, ?
2

则“-2≤a≤0”是“函数 f(x)在 R 上单调递

增”的(

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析:f(x)在 R 上单调递增的充要条件是 a=0 或

? ?a<0, ?- 1 ≥1, 2a ? ?1 +a×1+1≥a×1 +1+1,
- ≤1, 2

a

2

2

1 解得- ≤a<0. 2 由此可知“-2≤a≤0”是“函数 f(x)在 R 上单调递增”的必要而不充分条件,故选 B. 答案:B 二、填空题 7.函数 y= x-x(x≥0)的最大值为________. 1?2 1 ? 2 解析:y= x-x=-( x) + x=-? x- ? + 2? 4 ?
-2-

1 ∴ymax= . 4 1 答案: 4 8.若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________. 解析:利用函数图象确定单调区间.

a ? ?2x+a,x≥-2, f(x)=|2x+a|=? a ?-2x-a,x<-2. ?
作出函数图象,由图象(图略)知:

? ? 函数的单调递增区间为?- ,+∞?, ? 2 ?
a
∴- =3,∴a=-6. 2 答案:-6 9.(2014 年湖北八校联考)已知函数 f(x)= (1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 3? 3 ? 解析: (1)当 a>0 且 a≠1 时, 由 3-ax≥0 得 x≤ , 即此时函数 f(x)的定义域是?-∞, ?; 3-ax (a≠1). a-1

a

a

?

a?

(2)当 a-1>0, 即 a>1 时, 要使 f(x)在(0,1]上是减函数, 则需 3-a×1≥0, 此时 1<a≤3. 当 a-1<0,即 a<1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时 a<0.综上所述, 所求实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 3? ? 答案:(1)?-∞, ?

?

a?

(2)(-∞,0)∪(1,3]

三、解答题 10.已知 f(x)=

x

x-a

(x≠a).

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 解析:(1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= - = x1+2 x2+2 x1+

x1

x2

x1-x2 x2+

.

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
-3-

(2)任设 1<x1<x2,则

x1 x2 a x2-x1 f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a x1-a x2-a
∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]. 11.已知函数 f(x)=

x2+1-ax,其中 a>0.

(1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数. 解析:(1)由 2f(1)=f(-1), 可得 2 2-2a= 2+a,得 a= 2 . 3

(2)证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2,

f(x1)-f(x2)=
2 2

2 x2 1+1-ax1- x2+1+ax2

= x1+1- x2+1-a(x1-x2) =
2 x2 1-x2

x2 x2 1+1+ 2+1

-a(x1-x2)

= (x1-x2)? ∵0≤x1< ∴0<
2 1

x1+x2 ? -a? ?. 2 2 ? x1+1+ x2+1 ? x2 1+1,0<x2< x2 2+1,

x1+x2 x +1+ x2 2+1

<1.

又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在[0,+∞)上单调递减. 12. (能力提升)已知函数 g(x)= x+1, h(x)= 令函数 f(x)=g(x)·h(x). (1)求函数 f(x)的表达式,并求其定义域; 1 (2)当 a= 时,求函数 f(x)的值域. 4 解析:(1)∵f(x)=g(x)·h(x)=( x+1) ∴f(x)= 1 x+1 = x+3 x+3 1 , x∈(-3, a], 其中 a 为常数且 a>0, x+3

x+1 ,x∈[0,a].(a>0) x+3

? 1? (2)函数 f(x)的定义域为?0, ?, ? 4?
-4-

? 3? 2 令 x+1=t,则 x=(t-1) ,t∈?1, ?, ? 2?
t f(x)=F(t)= 2 = t -2t+4
1 . 4 t+ -2

t

4 4 ? 3? ? 3? ∵t= 时,t=±2??1, ?,又 t∈?1, ?时,t+ 单调递减,F(t)单调递增, t t ? 2? ? 2?

?1 6 ? ∴F(t)∈? , ?. ?3 13? ?1 6 ? 即函数 f(x)的值域为? , ?. ?3 13?

-5-


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