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导数及其应用定积分(含答案)

时间:2014-04-28


定积分
一、基础过关 1.将曲边 y=ex,x=0,x=2,y=0 所围成的图形面积写成定积分的形式__________. 2.在“以直代曲”中,函数 f(x)在区间[xi,xi+1]上近似值等于________(填正确命题的序号) ①只能是左端点的函数值 f(xi); ②可以是右端点的函数值 f(xi+1); ③可以是该区间内任一点的函数值 f(ξi) (ξi∈[xi,xi+1]); xi+xi-1? ④只能是区间中点处的函数值 f? ? 2 ?. 3.定积分 ?3 23tdx(t 为大于 0 的常数)的几何意义是____________________________________. x 4.定积分 ?2 0 dx=________. 2 5.用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算): (1)S1=________(如图 1);

图1 (2)S2=________(如图 2);

图2 (3)S3=________(如图 3).

图3 二、能力提升
2 6.计算 ?4 0 16-x dx 等于________.

7.由 y=sin x,x=0,x=-π,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 S=________. 8.计算定积分 ?1 4-4x2dx=________. -1

1

9.设

1 3 2 1 3 a=?0 x dx,b=?1 0x dx,c=?0x dx,则 a

a,b,c 的大小关系是________.

10.若 ?-a|56x|dx≤2 016,则正数 a 的最大值为________. 11.用定积分的意义求下列各式的值: (1)?3 0(2x+1)dx;(2) 三、探究与拓展 x, ? ? 12.已知函数 f(x)=?2x, ? ?cos x,
3

1-x2dx. x∈[-2,2? x∈[2,π? x∈[π,2π] ,

求 f(x)在区间[-2,2π]上的积分.

答案
x 1.?2 0e dx 2.②③

3.由直线 y=3t,x=2,x=3,y=0 所围成的矩形的面积 4.1 5.(1) x2 sin xdx (2)?2 -4 dx 2

2 2 2 (3)?4 2(x -4)dx-?0(x -4)dx.

6.4π
0 7.-?- πsin xdx

8.π 9.a>b>c 10.6 (1)在平面上,f(x)=2x+1 为一条直线,?3 0(2x+1)dx 表示直线 f(x)=2x+1,x=0,x 1 =3 与 x 轴围成的直角梯形 OABC 的面积,如图(1)所示,其面积为 S= (1+7)×3=12.根据 2 11.解 定积分的几何意义知 ?3 0(2x+1)dx=12.

(2)由 y= 1-x2可知, x2+y2=1(y≥0)图象如图(2), 由定积分的几何意义知 ? 等于圆心角为 120° 的弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之和. 1 2 1 2 π 3 S 弓形= × π×12- ×1×1×sin π= - , 2 3 2 3 3 4 S 矩形=|AB|· |BC| 3 1 3 =2× × = , 2 2 2 3 3 π 3 3 π 3 ∴? - 1-x2dx= - + = + . 2 2 3 4 2 3 4 12.解 由定积分的几何意义知 ?π-2??2π+4? 3 π ?2 -2 x dx=0,?22xdx= 2 =π2-4, cos xdx=0, 由定积分的性质得
3 π f(x)dx=?2 -2x dx+?22xdx+

3 3 - 1-x2dx 2 2

cos xdx

=π2-4.


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