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吉林省长春市2014届高三第三次调研测试数学(理)试题

时间:2014-05-16


吉林省长春市 2014 届高三第三次调研测试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分 钟,其中第Ⅱ卷 22 题—24 题为选考题,其它题为必考题。考试结束后,将试卷和答题卡一并交 回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内

。 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、 笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 .... 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1.复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则复数 z 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

{1, 2, 4} ,集合 B= {x | x ? a ? b, a ? A, b ? A} ,则集合 B 中有___个元素 2.设集合 A=
A.4 B.5 C.6 D. 7

3.下列函数中,在 (0, ??) 上单调递减,并且是偶函数的是 A. y ? x 2 B. y ? ? x3 C. y ? ? lg | x | D. y ? 2 x

4.观察下面频率等高条形图,其中两个分类变量 x , y 之间关系最强的是

A. B. C. 5.如图所示的程序框图,该算法的功能是 A.计算 (1 ? 2 ) ?(2 ?2 ) ?(3 ? 2 ) ? … ?(n ? 1 ? 2 ) 的值
0 1 2 n

D.

B.计算 (1 ? 2 ) ? (2 ? 2 ) ? (3 ? 2 ) ? … ?(n ? 2 ) 的值
1 2 3 n

C.计算 (1 ?2 ?3 ? … ? n ) ?(2 ? 2 ? 2 ? … ?2
0 1 2

n ?1

) 的值

D.计算[1 ?2 ?3 ? … ?(n ? 1)] ?(20 ? 21 ? 22 ? … ?2n ) 的值

第 5 题图

6.已知双曲线 C : 的距离为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2c ,焦点到双曲线 C 的渐近线 a 2 b2

c ,则双曲线 C 的离心率为 2
B. 3 C.

A.2

6 2

D.

2 3 3

7.△ ABC 各角的对应边分别为 a, b, c ,满足 A. (0,

b c ≥ ? 1 ,则角 A 的范围是 a?c a?b
C. [

?
3

]

B. (0,

?
6

]

?
3

,? )

D. [

?
6

,? )

8.函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? )(| ? |?

?
2

) 的图象向左平移

? 个单位后关于原点对称,则函数 f ( x) 在 6

[0, ] 上的最小值为 2
A. ?

?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

? x ? 2 y ? 1????? ≥0 ? 9.已知实数 x , y 满足: ? x ? 2 , z ? 2x ? 2 y ?1 ,则 z 的取值范围是 ? x ? y ? 1?????0 ? ≥
A. [ , 5]

5 3

B. ? 0,5?

C. ? 0,5?

D. [ ,5)

5 3

10.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似,则这个圆柱的侧面积与全面积之比为 A.

? ? ?1
2

B.

2 ? 2 ? ?1

C.

2 2 ? ?1

D.

1

? ?1

11.已知函数 f ( x) ? x 的图象在点 A( x1 , f ( x1 )) 与点 B( x2 , f ( x2 )) 处的切线互相垂直,并交于点

P ,则点 P 的坐标可能是 3 1 A. (? ,3) B. (0, ?4) C. (2,3) D. (1, ? ) 4 2 2 2 2 2 12. P 为圆 C1 : x ? y ? 9 上任意一点, Q 为圆 C2 : x ? y ? 25 上任意一点, PQ 中
点组成的区域为 M ,在 C2 内部任取一点,则该点落在区域 M 上的概率为 A.

13 25

B.

3 5

C.

13 25?

D.

3 5?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~21 题为必考题,每个试题考生都必须作

答。第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上).

3? 1 ? x ) ? ,则 sin 2 x ? . 2 2 2 ? sin x ,则 f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? . 14.已知函数 f ( x) ? x 2 ?1 15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为 1 ,则圆锥的体积为 .
13.若 sin(? ? x ) ? sin( 16 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 A 在 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 上 , 点 P 满 足 25 9


A P? (? ? 1 )O A ?(? R ,且 ) OA ? OP ? 72 ,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为
三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn = 2n+ 1 ,数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 ?n. (n ? 1) log 2 an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 低碳生活,从“衣食住行”开始.在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人们可以由此计 算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数 ? 0.785 ,家用 天然气的二氧化碳排放量(千克)=天然气使用立方数 ?0.19 等.某校开展“节能减排,保护 环境,从我做起!”的活动,该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户 的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查.生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”, 否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的比例 P 数据如下: 东城小区 低碳家庭 非低碳家庭 西城小区 低碳家庭 非低碳家庭
4 1 1 1 比例 P 5 5 2 2 (1) 如果在东城、 西城两个小区内各随机选择 2 个家庭, 求这 4 个家庭中恰好有两个家庭是“低 碳家庭”的概率; (2)该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义,每周“非低碳家庭”中有 20% 的 家庭能加入到“低碳家庭”的行列中. 宣传两周后随机地从东城小区中任选 5 个家庭, 记? 表示 5 个家庭中“低碳家庭”的个数,求 E? 和 D? . 19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , A C? A B , D 为 AB ? 2 AA1 , M 是 AB 的中点,△ A1MC1 是等腰三角形, CC1 的中点, E 为 BC 上一点.

比例 P

(1)若 DE ∥平面 A1MC1 ,求

CE ; EB

(2)求直线 BC 和平面 A1MC1 所成角的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 2 2 已知抛物线 C1 : y ? 4 x 和 C2 : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 分 别 第 19 题图 为 F1 , F2 , C1 , C2 交 于 O, A 两 点 ( O 为 坐 标 原 点 ) ,且 F1F2 ? OA . (1)求抛物线 C2 的方程; (2) 过点 O 的直线交 C1 的下半部分于点 M , 交 C2 的左半部分于点 N , 点 P 坐标为 (?1, ?1) ,

求△ PMN 面积的最小值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2e x ? ( x ? a)2 ? 3 , a ? R . (1)若函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值; (2)若 x ≥ 0 , f ( x ) ≥ 0 恒成立,求 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4─ 1:几何证明选讲. 如图,圆 M 与圆 N 交于 A, B 两点,以 A 为切点作两圆的 交圆 M 和圆 N 于 C , D 两点,延长 DB 交圆 M 于点 E , 交圆 N 于点 F .已知 BC ? 5, DB ? 10 . (1)求 AB 的长; (2)求

切线分别 延 长 CB

23. (本小题满分 10 分)选修 4─ 4:坐标系与参数方程选讲. 已知曲线 C 的参数方程为 ?

CF . DE

第 22 题图

? x ? 3cos ? (? 为参数) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上的点 ? y ? 2sin ?

? ? 1 x ? x ? ? 3 按坐标变换 ? 得到曲线 C ? . ? y? ? 1 y ? ? 2
(1)求曲线 C ? 的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C ? 上,点 B (3, 0) ,当点 A 在曲线 C ? 上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方 程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4─ 5:不等式证明选讲. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 9 ? x 2 ? 8x ? 16 . (1)求 f ( x ) ≥ f ( 4 ) 的解集; (2)设函数 g ( x) ? k ( x ? 3), k ? R ,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 都成立,求 k 的取值范 围.

参考答案
1. 【答案】 A 【解析】由 (1 ? i) z ? 2i 得, z ?

2i 2i(1 ? i) 2i+2 ? ? ? 1 ? i ,则复数 z 在复平 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

面内对应的点为 Z (1,1) ,该点在第一象限,故选 A . 2. 【答案】 C 【解析】∵ a ? A, b ? B, x ? a ? b ,所以 x ? 2,3, 4,5,6,8 ,∴ B 中有 6 个元素,故 选C . 3. 【答案】 C 【解析】四个函数中,是偶函数的有 A,C ,又 y ? x2 在 (0, ??) 内单调递增,故选 C . 4. 【答案】 D 【解析】在频率等高条形图中,

c a 与 相差很大时,我们认为两个分类变量 a?b c?d

有关系,四个选项中,即等高的条形图中 x1 , x2 所占比例相差越大,则分类 变量 x , y 关系越强,故选 D . 5. 【答案】 C 【解析】初始值 k ? 1, S ? 0 ,第 1 次进入循环体: S ? 1 ? 20 , k ? 2 ;当第 2 次进入 循环体时: S ? 1 ? 20 ? 2 ? 21 , k ? 3 ,…,给定正整数 n ,当 k ? n 时, 最后一次进入循环体,则有: S ? 1 ? 20 ? 2 ? 21 ? … ? n ? 2n ?1 , k ? n ? 1 , 退出循环体,输出 S ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n ) ?(20 ? 21 ? 22 ? … ?2n?1 ) ,故选 C . 6. 【答案】 D 【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为
2 4a 2 ? 3c2 ,解得 e ?

c c ,即 b ? ,又 b2 ? c 2 ? a 2 ,代入得 2 2

4 2 3 ,即 e ? ,故选 D . 3 3

7. 【答案】 A 【解析】由

b c ? ? 1 得: b(a ? b) ? c(a ? c) ? (a ? c)(a ? b) ,化简得: a?c a?b

b ? c ? a ? bc ,同除以 2bc 得,
2 2 2

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,即 2bc 2

cos A ?
8. 【答案】 A

1 ? (0 ? A ? ? ) ,所以 0 ? A ? ,故选 A . 2 3

【解析】函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 向左平移

? 个单位得 6 ? ? ? y ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ,又其为奇函数,故则 ? ? ? k? , 6 3 3 ? ? ? k ? Z ,解得 ? =k? ? ,又 | ? |? ,令 k ? 0 ,得 ? ? ? , 2 3 3

∴ f ( x) ? sin(2 x ?

?

? ) ,又∵ x ? [0, ] ,∴ sin(2 x ? ? ) ? [? 3 ,1] ,即 3 2 3 2
3 ,故选 A . 2

当 x ? 0 时, f ( x) min ? ? 9. 【答案】 C

【解析】画出 x , y 约束条件限定的可行域为如图阴影 区域,令 u ? 2 x ? 2 y ? 1 ,则 y ? x ?

先画出直线 y ? x ,再平移直线 y ? x ,当经 过点 A(2, ?1) , B ( , ) 时,代入 u ,可知

u ?1 , 2

1 2 3 3

5 ? ? u ? 5 ,∴ z ?| u |?[0,5) ,故选 C . 3 10. 【答案】 B 2r h ? 【解析】设圆柱的底面半径为 r ,高为 h ,则 ,则 h ? 2r ? ,则 h 2? r
S 侧 ? 2? r ? h ? 4? r 2 ? , S 全 ? 4? r 2 ? ? 2? r 2 ,故圆柱的侧面积与
全面积之比为 11. 【答案】 D
2 2 【解析】由题, A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) , f ?( x) ? 2 x ,则过 A, B 两点的切线斜率

4? r 2 ? 2 ? ,故选 B . ? 2 2 4? r ? ? 2? r 2 ? ?1

1 k1 ? 2x1 , k2 ? 2 x2 ,又切线互相垂直,所以 k1k2 ? ?1,即 x1 x2 ? ? .两 4
条切线方程分别为 l1 : y ? 2x1x ? x1 , l2 : y ? 2x2 x ? x2 ,联立得
2 2

( x1 ? x2 )[2x ? ( x1 ? x2 )] ? 0 ,∵ x1 ? x2 ,∴ x ?

x1 ? x2 ,代入 l1 ,解得 2

1 y ? x1 x2 ? ? ,故选 D . 4 12. 【答案】 B
【解析 1】设 Q( x0 , y0 ) ,中点 M ( x, y ) ,则 P(2 x ? x0 , 2 y ? y0 ) 代入 x 2 ? y 2 ? 9 , 得 (2 x ? x0 )2 ? (2 y ? y0 )2 ? 9 ,化简得:

x0 2 y 9 ) ? ( y ? 0 ) 2 ? ,又 x02 ? y02 ? 25 2 2 4 表示以原点为圆心半径为 5 的圆,故易知 M x y 3 ( 0 , 0) 轨迹是在以 为圆心以 为半径的圆 2 2 2 (x ?
绕原点一周所形成的图形,即在以原点为圆心,宽度为 3 的圆环带上, 即应有 x ? y ? r (1 ? r ? 4) ,那么在 C2 内部任取一点落在 M 内的概率
2 2 2



16? ? ? 3 ? ,故选 B . 25? 5

【解析 2】设 P(3cos ? ,3sin ? ) , Q(5cos ? ,5sin ? ) , M ( x, y ) ,则

2 x ? 3cos ? ? 5cos ? ,① 2 y ? 3sin ? ? 5sin ? ,②,①2 ? ②2 得:
x2 ? y 2 ? 17 15 ? cos(? ? ? ) ? r 2 ,所以 M 的轨迹是以原点为圆心, 2 2

以 r (1 ? r ? 4) 为半径的圆环,那么在 C2 内部任取一点落在 M 内的概率 为 13. 【答案】 ?

16? ? ? 3 ? ,故选 B . 25? 5

3? 1 1 ? x) ? ? sin x ? cos x ? ,∴ sin x ? cos x ? ? ,平方 2 2 2 1 3 得: 1 ? sin 2 x ? ,∴ sin 2 x ? ? . 4 4 14. 【答案】 5
【解析】 sin(? ? x) ? sin( 【解析】∵ f ( x) ? f (? x) ?

3 4

2 2 2 2 x ?1 ? sin x ? ? sin x ? ? ? 2 ,且 2x ? 1 2? x ? 1 2x ? 1 1 ? 2x

f (0) ? 1 ,∴ f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? 5 .
15. 【答案】 3? 【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面,得△ ABC 及其内切圆

O1 和外切圆 O2 ,且

两圆同圆心,即△ ABC 的内心与外心重合,易得△ ABC 为正三角形,由题 意

O1 的半径为 r ? 1 ,∴△ ABC 的边长为 2 3 ,∴圆锥的底面半径为 3 ,

高为 3 ,∴ V ? 16. 【答案】 15

1 ? ? ? 3 ? 3 ? 3? . 3

【解析】 AP ? OP ? OA ? (? ?1)OA ,即 OP ? ? OA ,则 O, P, A 三点共线,

OA ? OP ? 72 ,所以 OA 与 OP 同向,∴ | OA || OP |? 72 ,设 OP 与 x 轴夹
角为 ? ,设 A 点坐标为 ( x, y ) , B 为点 A 在 x 轴的投影, 则 OP 在 x 轴上的投影长度为

| OB | 72 | OB | | OP | ? cos? ? | OP | ? ? | OA | | OA |2
? 72 ? | x| | x| 1 ? 72 ? ? 72 ? 2 16 2 16 9 x ?y x ?9 | x|? 25 25 | x|
2

? 72 ?

15 1 ? 15 .当且仅当 | x |? 时等号成立. 4 16 ? 9 2 25

则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 15 . 17.【解析】 (1)当 n = 1 时, a1 = S1 = 4 由 Sn ? 2n?1 ,得 Sn?1 ? 2n ( n ? 2) , ∴ an = Sn - Sn- 1 = 2n+ 1 - 2n = 2n ( n ? 2) ∴ an = ? í ………………………2 分

ì 4, n = 1 ? n ? ? ? 2 ,n ? 2

………………………6 分

(2)当 n = 1 时, b1 = 当 n ? 2 时,

5 1 5 …………………7 分 + 1 = ,∴ T1 = 4 2log 2 4 4

bn =

1 1 1 1 + n= + n= + n ……9 分 n (n + 1) log 2 2 n(n + 1) n n+ 1

Tn =

5 1 1 1 1 1 1 1 1 + ( - + - + - +…+ ) + (2 + 3 + 4 + … + n) 4 2 3 3 4 4 5 n n+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ( - + - + - +…+ ) + (1 + 2 + 3 + 4 + … + n) 4 2 3 3 4 4 5 n n+ 1

=

=

3 1 n(n + 1) + 4 n+ 1 2 3 1 n(n + 1) + . 4 n+ 1 2

………11 分

上式对于 n = 1 也成立,所以 Tn =

………12 分

18. 【解析】 (1)设事件“ 4 个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为 A , ………1 分 则有以下三种情况:“低碳家庭”均来自东城小区,“低碳家庭”分别来自 东城、西城两个小区,“低碳家庭”均来自西城小区.

1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33 ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? .…6 分 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 100 (2)因为东城小区每周有 20% 的人加入“低碳家庭”行列,经过两周后,两
∴ P( A) ? 类家庭占东城小区总家庭数的比例如下:

A 小区
P

低碳家庭

非低碳家庭

17 25

8 25

………8 分 由题意, 两周后东城小

区 5 个家庭中的“低碳家庭”的个数 ? 服从二项分布,

17 ) 25 17 17 ? ∴ E? ? 5 ? , 25 5 17 8 136 D? ? 5 ? ? ? . 25 25 125
即?

B (5,

………10分 ………11 分 ………12 分

19. 【解析】 『法一』(1)取 BC 中点为 N ,连结 MN , C1N ,………1 分 ∵ M , N 分别为 AB, CB 中点 ∴ MN ∥ AC ∥ AC 1 1, ∴A 1 , M , N , C1 四点共面, 且平面 BCC1B1 I 平面 A1MNC1 = C1 N 又 DE ? 平面 BCC1B1 , 且 DE ∥平面 A1MC1 ∴ DE ∥ C1 N ∵ D 为 CC1 的中点,∴ E 是 CN 的中点, ………5 分 ………3 分



CE 1 ? . EB 3

………6 分 ………7 分

(2)连结 B1M , 因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱,∴ AA1 ^ 平面 ABC ∴ AA1 ^ AB ,即四边形 ABB1 A 1 为矩形,且 AB ? 2 AA 1 ∵ M 是 AB 的中点,∴ B1M ^ A1M , 又 A1C1 ^ 平面 ABB1 A 1, ∴ AC 1MC1 1 1 ^ B 1M ,从而 B1M ^ 平面 A ∴ MC1 是 B1C1 在平面 A1MC1 内的射影 ∴ B1C1 与平面 A1MC1 所成的角为∠ B1C1M 又 B1C1 ∥ BC ,

………9 分

∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角即 B1C1 与平面 A1MC1 所成的角…10 分 设 AB ? 2 AA 1 ? 2 ,且三角形 A 1MC1 是等腰三角形 ∴A 1M = AC 1 1= ∴ cos ? B1C1M

2 ,则 MC1 = 2 , B1C1 =
MC1 6 = B1C1 3

6

∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值为 『法二』 (1)因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, ∴ AA1 ^ 平面 ABC ,又 AC ? AB ∴以 A 为坐标原点,分别以 AB, AA 1 , AC 所在直线为 x, y, z 轴, 建立如图空间直角坐标系. ………1 分 设 AB ? 2 AA 1 ? 2 ,又三角形 A 1MC1 是 等腰三角形,所以 A 1M = AC 1 1=

6 . 3

………12 分

2

易得 A 1 (0,1,0) , M (1,0,0) , C 1 (0,1, 2) , 所以有 A1M = (1, - 1,0) , AC 1 1 = (0,0, 2)

uuuu r

uuuu r

r uuuu r ì ? r ? n ?A1M 设平面 A1MC1 的一个法向量为 n = ( x, y, z) ,则有 í r uuuu r ? n ? A C ? 1 1 ? ?
ì x- y = 0 r ? ? ,令 x = 1 ,有 n = (1,1,0) í ? ? ? 2z = 0
(也可直接证明 B1M 为平面 A1MC1 法向量) 设

0 0

,即

………4 分

CE 1 2? 2 ? ? , E( , 0, ) ,又 D (0, , 2) , EB 2 1? ? 1? ?

2? 1 2 ,? , ? 2) 1? ? 2 1? ? uuu r r 2? 1 ? ?0, 若 DE ∥平面 A1MC1 ,则 n ^ DE ,所以有 1? ? 2 CE 1 1 ? ………6 分 解得 ? ? ,∴ EB 3 3 r (2)由(1)可知平面 A1MC1 的一个法向量是 n = (1,1,0) ,
∴ DE ? (

B(2, 0, 0) , C(0,0, 2) ,求得 BC ? (?2,0, 2)
设直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角为 ? , ? ? [0, 则 sin ? ?

?
2

],
………11 分

| n ? BC | 2 3 , ? ? 3 | n | ? | BC | 2? 6
6 3 6 . 3

所以 cos q =

∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值为 20. 【解析】 (1)由已知得: F1 (1, 0) , F2 (0,

………12 分 ………1 分

p p ) ,∴ F1 F2 ? ( ?1, ) 2 2

2 ? x ? 3 16 p ? y2 ? 4x ?x ? 0 ? 2 联立 ? 2 解得 ? 或? ,即 O (0, 0) , A( 3 16 p , 3 32 p ) , 3 ?y ? 0 ? ? x ? 2 py ? y ? 32 p
2 ∴ OA ? ( 3 16 p , 3 32 p )

………3 分

2 ∵ F1F2 ? OA ,∴ F1F2 ?OA ? 0 ,即 ? 3 16 p ?

p3 32 p ? 0 ,解得 p ? 2 ,∴ C2 的 2
………5 分

方程为 x2 ? 4 y .

? y12 ? 4 x1 p 『 法 二 』 设 A( x1 , y1 )( x1 ? 0) , 有 ? 2 ① , 由 题 意 知 , F1 (1, 0) , F2 (0, ) , ∴ 2 ? x1 ? 2 py1
p F1 F2 ? ( ?1, ) 2 ? x1 ? ∵ F1F2 ? OA ,∴ F 1 F2 ?OA ? 0 ,有
解得 py1 ? 2x1 , 将其代入①式解得 x1 ? 4, y1 ? 4 ,从而求得 p ? 2 , 所以 C2 的方程为 x ? 4 y .
2

………1 分

p y1 ? 0 , 2
………3 分

………5 分

(2)设过 O 的直线方程为 y ? kx (k ? 0)

联立 ?

? y ? kx ? y ? kx 4 4 得 M ( 2 , ) ,联立 ? 2 得 N (4k , 4k 2 ) 2 k k ? y ? 4x ? y ? 4x

………7 分

P(?1, ?1) 在直线 y ? x 上,设点 M 到直线 y ? x 的距离为 d1 ,点 N 到直线
y ? x 的距离为 d2
则S
PMN

?

1 ? OP ? ( d1 ? d 2 ) 2

………8 分

4 4 | 2? | 2 1 k ? | 4k ? 4k | ) ? ? 2 ?( k 2 2 2
1 1 ? | ? | k ? k 2 |) k k2 1 1 ? 2(? ? k ? 2 ? k 2 ) ………10 k k ? 2(|



1 1 ? 2(2 (? ) ? (?k ) ? 2 2 ? k 2 ) ? 8 k k
当且仅当 k ? ?1 时,“ ? ”成立,即当过原点直线为 y ? ? x 时,…11 分 △ PMN 面积取得最小值 8 . 『法二』联立 ? ………12 分

? y ? kx 4 4 得M( 2 , ), 2 k k ? y ? 4x

联立 ?

? y ? kx 得 N (4k , 4k 2 )(k ? 0) , 2 y ? 4 x ?
2

………7 分

从而 | MN |? 1 ? k |

4 4 ? 4k |? 1 ? k 2 ( 2 ? 4k ) , 2 k k

点 P(?1, ?1) 到直线 MN 的距离

d?

| k ? 1| 1 ? k 2 ,进而
………9 分

1 | k ? 1| 4 S?PMN ? ? ? 1 ? k 2 ( 2 ? 4k ) 2 1? k 2 k
?2

(1 ? k )(1 ? k 3 ) 2(1 ? k ) 2 (1 ? k ? k 2 ) 1 1 ? ? 2(k ? ? 2)(k ? ? 1) 2 2 k k k k



1 t ? k ? (t ? ?2) ,有 S?PMN ? 2(t ? 2)(t ? 1) , ………11 分 k
当 t ? ?2 ,即 k ? ?1 时,即当过原点直线为 y ? ? x 时,△ PMN 面积取 得最小值 8 . 21. 【解析】 (1) f ?( x) ? 2(ex ? x ? a) ………2 分 ………12 分

因 为 y ? f ( x) 在 x ? 0 处 切 线 与 x 轴 平 行 , 即 在 x ? 0 切 线 斜 率 为 0 即

f ?(0) ? 2(a ? 1) ? 0 ,∴ a ? ?1 .
x x

………5 分
x

(2) f ?( x) ? 2(e ? x ? a) , 令 g ( x) ? 2(e ? x ? a) ,则 g ?( x) ? 2(e ? 1) ? 0 , 所以 g ( x) ? 2(e x ? x ? a) 在 ? 0, ?? ? 内单调递增, g (0) ? 2(1 ? a)
x (i)当 2(1 ? a) ? 0 即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 2(e ? x ? a) ? f ?(0) ? 0 , f ( x ) 在

?0, ?? ? 内单调递增,要想 f ( x) ? 0 只需要 f (0) ? 5 ? a2 ? 0 ,解得
? 5 ? a ? 5 ,从而 ?1 ? a ? 5
x

………8 分

(ii)当 2(1 ? a) ? 0 即 a ? ?1 时,由 g ( x) ? 2(e ? x ? a) 在 ? 0, ?? ? 内单调递增知, 存在唯一 x0 使得 g ( x0 ) ? 2(e 0 ? x0 ? a) ? 0 ,有 e 0 ? x0 ? a ,令 f ?( x) ? 0 解
x x

得 x ? x0 ,令 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? x0 ,从而对于 f ( x ) 在 x ? x0 处取最小值,

f ( x0 ) ? 2ex0 ? ( x0 ? a)2 ? 3 ,又 x0 ? ex0 ? a

f ( x0 ) ? 2ex0 ? (ex0 )2 ? 3 ? ?(ex0 ? 1)(ex0 ? 3) ,从而应有 f ( x0 ) ? 0 ,即
e x0 ? 3 ? 0 ,解得 0 ? x0 ? ln 3 ,由 ex0 ? x0 ? a 可得 a ? x0 ? e x0 ,有
ln 3 ? 3 ? a ? ?1 ,综上所述, ln 3 ? 3 ? a ? 5 .
22. 【解析】 (1)根据弦切角定理, 知 ?BAC ? ?BDA , ?ACB ? ?DAB , ………12 分

AB BC ? , DB BA 故 AB2 ? BC ? BD ? 50, AB ? 5 2 .…5 分
∴△ ABC ∽△ DBA ,则 (2)根据切割线定理,知 CA ? CB ? CF ,
2

DA2 ? DB ? DE , CA2 CB CF ? ? 两式相除,得 (*). DA2 DB DE 由△ ABC ∽△ DBA ,

CB 5 1 AC AB 5 2 2 CA2 1 ? ? ,由(*) ? ,又 得 , ? ? ? 2 DB 10 2 DA 2 DA DB 10 2 CF ? 1. 得 ………10 分 DE

? ? 1 x ? x ? ? x ? 3cos ? ? x ? cos ? ? 3 23. 【解析】 (1)将 ? 代入 ? ,得 C ? 的参数方程为 ? ? y ? 2sin ? ? y ? sin ? ? y? ? 1 y ? ? 2
∴曲线 C ? 的普通方程为 x ? y ? 1.
2 2

………5 分

(2)设 P( x, y) , A( x0 , y0 ) ,又 B(3, 0) ,且 AB 中点为 P 所以有: ?

? x0 ? 2 x ? 3 ? y0 ? 2 y
2 2

2 2 又点 A 在曲线 C ? 上,∴代入 C ? 的普通方程 x0 ? y0 ? 1得 (2x ? 3) ? (2 y) ? 1

∴动点 P 的轨迹方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

1 . 4

………10 分

24.【解析】 (1) f ( x) ?

x2 ? 6 x ? 9 ? x 2 ? 8x ? 16

? ( x ? 3) 2 ? ( x ? 4) 2 ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |
∴ f ( x) ? f (4) 即 | x ? 3 | ? | x ? 4 | ? 9

∴?

x ? ?4 x?3 ? ? ?4 ? x ? 3 ? ① 或? ② 或? ③ ?3 ? x ? x ? 4 ? 9 ?3 ? x ? x ? 4 ? 9 ?x ? 3 ? x ? 4 ? 9

解得不等式①: x ? ?5 ;②:无解 ③: x ? 4 所以 f ( x) ? f (4) 的解集为 {x | x ? ?5 或 x ? 4} . ………5 分

(2) f ( x) ? g ( x) 即 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | 的图象恒在 g ( x) ? k ( x ? 3) 图象的上方

??2 x ? 1, x ? ?4 ? f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |? ? 7, ? 4 ? x ? 3 ? 2 x ? 1, x?3 ?
g ( x) ? k ( x ? 3) 图象为恒过定点 P (3, 0) ,且斜率 k 变化
线作函数 y ? f ( x), y? g( x)图象如图 , 其中 kPB ? 2 , ∴ kPA ? ?1 由图可知,要使得 f ( x ) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方 ∴实数 k 的取值范围为 ?1 ? k ? 2 . ………10 分 的一条直

A(?4, 7) ,


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