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(2014韶关一模)广东省韶关市2014届高三调研试题(一)数学文

时间:2014-03-27


2014 届高三调研测试题

数学试题(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在

答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 1. 设集合 A ? ??2, 0, 2, 4? , B ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? B ? (

?

?



A.?0?
2. 已知 a 是实数,

B.?2?

C.?0,2?


D.?0,2,4?

a?i 是纯虚数,则 a 等于( 1? i

A.
3.若 a

1

B.

?1

C.

2

D. ? 2
).

? 20.5 , b ? log ? 3, c ? log 2
B. b ? a ? c

2 ,则有( 2
C. c ? a ? b

A. a ? b ? c

D. b ? c ? a
)

4. 在区间 ? 0, 2 ? 之间随机抽取一个数 x ,则 x 满足 2 x ? 1 ? 0 的概率为( A.

3 . 4

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 3
)

5. 阅读如图的程序框图.若输入 n=5,则输出 k 的值为(

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

6.已知椭圆与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的 4 12
)

距离之和为 10 ,那么椭圆的离心率等于(

A.

3 5

B.

4 5

C.

5 4

D.

3 4

7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.

)

3? 2 8. 函数 y ? 1 ? 2 sin ( x ? ) 是( 4
A.最小正周期为 ? 的奇函数

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 3
3 3


1 正视图 2 1 2 1 侧视图

B.最小正周期为 ? 的偶函数

? ? C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 ? ???? ???? ? ???? ???? 0 9. 已知向量 AB 与 A C 的夹角为 120 ,且 A B ? 2, A C ? 3 ,若
AP ? ? AB ? AC ,且, AP ? BC ,则实数 ? 的值为(
A. )

俯视图

3 7

B. 13

C. 6

D.

12 7

10. 已知函数 f ( x ) ? ? 数 a 的取值范围是( A. [1, ??)

?log 2 x, x ? 0
x ?3 ,

x?0

,且函数 h( x) ? f ( x) ? x ? a 有且只有一个零点,则实

)
B. (1, ??)

C . (??,1)

D. (??,1]

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 1, a3 ? 2 ,则 S 4=

?x ? 2 y ? 6 ? 12. 设实数 x、y 满足 ? 2 x ? y ? 6 ,则 z ? 3x ? y 的最大值是_____________. ? x ? 0, y ? 0 ?
13.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据

y =0.85x-85.71, 一组样本数据 (xi, yi) (i=1, 2, …, n) , 用最小二乘法建立的回归方程为 ?
给定下列结论: ①y 与 x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本点的中心( x , y ) ; ③若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg; ④若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg. 其中正确的结论是 .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 4 sin ? 的 圆 心 到 直 线

??

?
3

(? ? R) 的距离是

.

D

E A O

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长

BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E . 若 AB ? 8 , DC ? 4 则 DE ? _________.

C

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位:分 钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,其中,上学 路上所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组为 [0, 20) ,
x

频率/组距

[20, 40) , [40, 60) , [60,80) , [80,100] .
(1)求直方图中 x 的值; (2) 如果上学路上所需时间不少于 40 分钟的学生可申请在学校 住宿,请估计学校 1000 名新生中有多少名学生可以申请住宿.
0.0125 0.0065 0.003

时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

O

17. (本题满分12分) 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 45? , AC ? 10 , cos ?C ? (1)求边 AB 的长; (2)求 cos A 的值和中线 CD 的长.
B

2 5 ,点 D 是 AB 的中点. 5
A D

C

18.(本题满分14分) 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形,ED ? 面 ABCD , ?BAD ? (1)求证:平 面BCF / /面AED ; (2))若 BF ? BD ? a ,求四棱锥 A ? BDEF 的体积.
D E F

?
3



C B

19.(本题满分14分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3x .
3

A

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 单调区间; (2) 若函数 f ( x) 在区间[1,2]上的最小值为 4 ,求 a 的值.

20.(本题满分14分) 已知 ? an ? 为公差不为零的等差数列,首项 a1 ? a , 恰为等比数列,且 k1 ? 1 , k2 ? 2 , k3 ? 5 . (1)求数列 ? an ? 的通项公式 an (用 a 表示) ; (2)若数列 {k n } 的前 n 项和为 S n ,求 S n . 21.(本题满分14分) 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A(0, 2) ,线段 FA 的中点在抛物线上. 设
2

?an ? 的部分项 ak

1

、 ak2 、…、 akn

动直线 l : y ? kx ? m 与抛物线相切于点 P ,且与抛物线的准线相交于点 Q ,以 PQ 为直径 的圆记为圆 C . (1)求 p 的值; (2)证明:圆 C 与 x 轴必有公共点; (3)在坐标平面上是否存在定点 M ,使得圆 C 恒过点 M ?若存在,求出 M 的坐标; 若不存在,说明理由.

2014 届高三年级调研测试数学 ( 文科)参考答案和评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和能力比照 评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的得分, 但所给分数不得超过该部分正确 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. CAAAB BCADB 1. 解析: B ? ? x | ?1 ? x ? 3? ,所以 A ? B ? C.?0,2?,选 C 2.解析:

a ? i (a ? i)(1 ? i) a ? 1 ? (a ? 1)i 是纯虚数,则 a ? 1 ? 0 ; a ? 1 ,选 A ? ? 1? i 2 2
0.5

3. 解 析 : ? a ? 2

? 20 ? 1 , b ? log? 3 ? ? 0,1? , c ? log 2

2 ? log 2 1 ? 0 , 2

? a ? b ? c 选 A.
4.解析:区间 ? 0, 2 ? 看作总长度为 2,区间 ? 0, 2 ? 中满足 2 x ? 1 ? 0 的只是 ? , 2 ? ,长度 2 为

?1 ?

? ?

3 ,因为 x 是随机抽取的一个数,由几何概型计算公式知 x 满足 2 x ? 1 ? 0 的概率为 2 3 3 P ? 2 ? .答案: A 2 4

5. 答案:B 6. 解析: a ? 5 , c ?

4 ? 12 ? 4 , e ?

4 选B 5
3 ,高为 3 的三棱锥,由锥体的体积公式 2

7. 解析:由三视图易知,该几何体是底面积为

1 3 3 得 V ? ? ? 3 ? .答案:C 3 2 2
8. 解析: y ? 1 ? 2sin ( x ?
2

为 ? 的奇函数,选 A

3? 3? ) ? cos 2( x ? ) ? ? sin 2 x ,所以 f ( x) 是最小正周期 4 4

9. 解析: AP ? BC ? (? AB ? AC ) ? ( AC ? AB) ? 0 得

? AB ? AC ? ? ( AB) 2 ? ( AC ) 2 ? AC ? AB) ? 0 ? ?3? ? 4? ? 9 ? 3 ? 0 ? ? ?
10. 解析:如图,在同一坐标系中分别作出 y ? f ( x) 与 y ? ? x ? a 的图象,解析:如图,在同一坐标系中分别作出 y ? f ( x) 与 y ? ? x ? a 的图象,其中 a 表示直线在 y 轴上截距,由图可知,当 a ? 1 时, 直线 y ? ? x ? a 与 y ? log 2 x 只有一个交点.,选 B O 二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 6 12. 9 13. ①②③ 14. 1 15. 2

12 7

选D

y

1 1

x
y ? ?x ? a

y ? ?x ? 1

题目解析: 11. 解析:可已知可得, a1 ? a4 ? 3,? S4 ? 6 12. 解析由可行域知,当 x ? 3, y ? 0 时, zmax ? 9 13. 解析:利用概念得到①②③正确 14.解析:如下图: d ? 2 ? sin

?
6

?1

15. 解析:如下图: ?ABC ~ ?CDE ,得

AB BC 8 4 ? ? ? ? DE ? 2 DC DE 4 DE
D E A O

d x o

C

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分) 解: (1)由 (x ? 0.0125 ? 0.0065 ? 0.003 ?2) ?20 ?1 ,………………………….4 分 则 x ? 0.025 ………………………….6 分 (2)上学所需时间不少于 40 的学生的频率为:

(0.00625 ? 0.003 ? 2) ? 20 ? 0.25 ………………………….8 分
估计学校 1000 名新生中有: 1000 ? 0.25 ? 250 ………………………….11 分 答:估计学校 1000 名新生中有 250 名学生可以申请住宿. …………………12 分

17.(本题满分12分) 解:在 ?ABC 中,由 cos ?C ?

2 5 ? 0 可知, ?C 是锐角, 5
2 5 2 5 ………………………….2 分 ) ? 5 5

所以, sin ?C ? 1 ? cos 2 ?C ? 1 ? (

由正弦定理

AC AB ? sin ?B s? in C

AB ?

AC ? sin ?C ? sin ?B

10 ? 2 2

5 5 ? 2 ……5 分

(2) cos A ? cos(180? ? 45? ? C ) ? cos(135? ? C )

?

2 10 (? cos C ? sin C ) ? ? , ………………………………………………8 分 2 10

由余弦定理:

CD ? AD 2 ? AC 2 ? 2 AD ? AC cos A ? 1 ? 10 ? 2 ?1? 10 ? (?
18.(本题满分14 分) 证明: (1)由 ABCD 是菱形

10 ) ? 13 …12 分 10

?BC / / AD
? BC ? 面ADE , AD ? 面ADE

E F

? BC / /面ADE …………3 分
由 BDEF 是矩形? BF / / DE
A

D

O B

C

? BF ? 面ADE , DE ? 面ADE

? BF / /面ADE

? BC ? 面BCF , BF ? 面BCF , BC ? BF ? B
?面BCF / /面ADE ……………6 分
(2)连接 AC , AC ? BD ? O 由 ABCD 是菱形,?AC ? BD 由 ED ? 面 ABCD , AC ? 面ABCD

?ED ? AC
? ED , BD ? 面BDEF , ED ? BD ? D

? AO ? 面BDEF ,……………10 分
则 AO 为四棱锥 A ? BDEF 的高 由 ABCD 是菱形, ?BAD ? 则 ?ABD 为等边三角形, 由 BF ? BD ? a ;则 AD ? a , AO ?

?
3



3 a 2

1 3 3 3 S BDEF ? a 2 , VA? BDEF ? ? a 2 ? a? a ………………14 分 3 2 6
19. (本题满分14 分)
解: (1)解: f ( x) ? 3ax ? 3 ……………1分
' 2

因为 a ? 0 ,所以 f ( x ) ? 0 对任意实数 x 恒成立,
'

所以 f ( x ) 在 ( ??, ??) 是减函数…………………4 分 (2)当 a ? 0 时,由(1)可知, f ( x) 在区间[1,2]是减函数 由 f (2) ? 4 得 a ?

5 , (不符合舍去)…………………6 分 4
1 …………………7 分 a

' 2 当 a ? 0 时, f ( x) ? 3ax ? 3 ? 0 的两根 x ? ?

①当

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ' ( x ) ? 0 在区间[1,2]恒成立, f ( x) 在区间[1,2]是增函数, a
由 f (1) ? 4 得 a ? 7 …………………9 分

②当

1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时 a 4

f ' ( x ) ? 0 在区间[1,2]恒成立

f ( x) 在区间[1,2]是

减函数

f (2) ? 4
③当 1 ?

,a ?

5 (不符合舍去)…………………11 分 4

? ? 1 ? 1 1? 1 ,2? ? 2, 即 ? a ? 1 时,f ( x) 在区间 ?1, ? 是减函数,f ( x) 在区间 ? a a a 4 ? ? ? ?

是增函数;所以 f (

1 )?4 a

无解…………………13 分

综上, a ? 7 …………………14 分

20. (本题满分14 分) 解: (1) ? an ? 为公差不为 d (d ? 0) ,由已知得 a1 =a , a2 ? a ? d , a5 ? a ? 4d 成等比 数列, ∴ 1分 (a ? d ) 2 ? a( a? 4 d ,…………………………… ) ……………………………2 分

得 a ? 0 或 d ? 2a

若 a ? 0 ,则 ? an ? 为 0, d , 2d ,3d , 4d ,? ,这与 a1 , a2 , a5 成等比数列矛盾, 所以 d ? 2a , 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? (2n ? 1)a . (2)由(1)可知 an ? (2n ? 1)a ∴ ……………………………4 分 ……………………………5 分

akn ? ( 2 kn ? 1 a) 1

……………………………7 分

而等比数列 {akn } 的公比 q ?

a2 a1 ? d ? ? 3。 a1 a1
……………………………9 分

? akn ? a1 ? 3n ?1
n ?1 因此 akn ? (2kn ? 1)a1 ? a1 ? 3 ,

3n ?1 ? 1 ∴ kn ? 2 kn ? 3n ?1 ? 1 1 n?1 1 ? ?3 ? 2 2 2
……………………………11 分

∴ Sn ? ( ? 3 ?
0

1 2

1 1(1 ? 3n ) n 1 1 1 1 ? ? 3 ? ? ? ? 3n?1 ) ? ? n ? ? 2 1? 3 2 2 2 2
……………………………14 分

?

3 n ? 2n ? 1 4

解: (1)利用抛物线的定义得 F (

p 2 p ) ,代入方程得 , 0) ,故线段 FA 的中点的坐标为 ( , 4 2 2
……………………………2 分

2p?

p 1 ? ,解得 p ? 1 。 4 2

(2)由(1)得抛物线的方程为 y ? 2 x ,从而抛物线的准线方程为 x ? ?
2

1 2

……………………………3 分 由?

? y2 ? 2x ? y ? kx ? m

得方程

k 2 y ? y?m ? 0, 2
……………………………4 分

?k ? 0 ?k ? 0 ? ?? 由直线与抛物线相切,得 ? 1 m? ?? ? 0 ? 2k ? 1 1 1 1 且 y ? ,从而 x ? ,即 P ( 2 , ) , 2 k 2k 2k k

……………………………5 分

1 ? y ? kx ? ? 1 1? k 2 ? 2k ), 由? ,解得 Q ( ? , 2 2k ?x ? ? 1 ? ? 2

……………………………6 分

1? k 2 3 ? k 2 ∴ PQ 的中点 C 的坐标为 C ( , ) 4k 2 4k
圆心 C 到 x 轴距离 d ? (
2

3? k2 2 ) , 4k

1? k 2 2 1? k 2 2 2 PQ ? ( ) ?( ) 2k 2 2k 3k 2 ? 1 2 1 1 1? k 2 2 1? k 2 2 3? k2 2 2 2 ) ?0 ) ?( ) ]?( ) ?( ∵ ( PQ ) ? d ? [( 4k 2 2 4 2k 2 2k 4k
所圆与 x 轴总有公共点. ……………………………8 分 (或 由 P (

1 1? k 2 1 1 Q ( ? , ) ,以线段 PQ 为直径的方程为: , , ) 2 2k 2k 2 k

(x ?

1 1 1 1? k 2 )( x ? ) ? ( y ? )( y ? )?0 2k 2 2 k 2k
2

k 2 ? 1 1 ? 2k 2 x? ?0 令 y ? 0得 x ? 2k 2 4k 2 ??( k 2 ?1 2 1 ? 2k 2 (3k 2 ? 1) 2 ) ? 4 ? ? ? 0 ,所圆与 x 轴总有公共点). 2k 2 4k 2 4k 4

……………………………9 分 (3)假设平面内存在定点 M 满足条件,由抛物线对称性知点 M 在 x 轴上,设点 M 坐标为

M ( x1 , 0) ,
由(2)知 P (

……………………………10 分

1 1? k 2 1 1 , Q ( ? , ) , ) 2 2k 2k 2 k

???? ? 1 1 ???? 1 1? k 2 ∴ MP ? ( 2 ? x1 , ), MQ ? (? ? x1 , ) 。 2k k 2 2k
由 MP ? MQ ? 0 得, (

???? ???? ?

1 1 1 1? k 2 ? x )( ? ? x ) ? ? ?0 1 1 2k 2 2 k 2k

所以 x1 ?
2

1? k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ,即 或 x ? ? 0 x ? x ? 1 1 1 2k 2 4k 2 2k 2 2
……………………………13 分

所以平面上存在定点 M ( , 0) ,使得圆 C 恒过点 M . ……………………………14 分 证法二:由(2)知 P (

1 2

1 1? k 2 1? k 2 3 ? k 2 1 1 , , 的中点 的坐标为 Q ( ? , ) C ( , ) PQ , ) C 2 2k 4k 2 4k 2k 2 k

1? k 2 2 1? k 2 2 2 PQ ? ( ) ?( ) 2k 2 2k
所以圆 C 的方程为 ( x ?

1? k 2 2 3 ? k 2 2 1 1? k 2 2 1? k 2 2 ) ? ( y ? ) ? [( ) ?( ) ] 4k 2 4k 4 2k 2 2k
……………………………11 分

整理得 x ?
2

1 1 1 1 3? k2 x ? y 2 ? ? 2 ( ? x) ? ( )y ? 0 2 2 2k 2 2k
……………………………12 分

上式对任意 k ? 0 均成立,

1 ? 2 1 2 ?x ? 2 x ? y ? 2 ? 0 1 ? ? ?1 ?x ? 当且仅当 ? ? x ? 0 ,解得 ? 2 ……………………………13 分 ?2 ? ?y ? 0 ?y ? 0 ? ? 1 所以平面上存在定点 M ( , 0) ,使得圆 C 恒过点 M . 2
……………………………14 分


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