nbhkdz.com冰点文库

上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(4)数列


上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 4 部分:数列
一、选择题:

18 . ( 上 海 市 杨 浦 区 2011 年 4 月 高 三 模 拟 理 科 ) 已 知 有 穷 数 列 A : a1 , a2 ,? ? ?, an ( n ? 2, n ? N ).定义如下操作过程 T:从 A 中任取两项 ai , a j ,将<

br />
ai ? a j 1 ? ai a j

的值添在 A

的最后,然后删除 ai , a j ,这样得到一系列 n ? 1 项的新数列 A1 (约定:一个数也视作数列); 对 A1 的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系列 n ? 2 项的新数列 A2,如此经过 k 次操 作后得到的新数列记作 Ak . 设 A: ? (A)0; (B)

3 ; 4

5 3 1 1 , , , ,则 A3 的可能结果是????( B ) 7 4 2 3 1 1 (C) ; (D) . 3 2

16、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科 )设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则 “ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是递增数列”的( (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 C )

(B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

16.(上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)已知数列 {an } 是无穷等比数列,其前 n 项和 是 Sn ,若 a2 ? a3 ? 2 , a3 ? a4 ? 1 ,则 lim Sn
n??

的值为 A.

( D B.

) C.

2 3

4 3

8 3

D.

16 3

二、填空题:

6.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科)已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等 差数列, Sn (n ? N * ) 是数列的前 n 项和,则

S lim 2 n = n ?? n ? 1

1



6.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科)已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等 差数列, Sn (n ? N * ) 是数列的前 n 项和,则

S lim 2 n = n ?? n ? 1

1



5. (上海市十校 2010-2011 学年第二学期高三第二次联考理科)已知 ?an ? 是公差不为零的等差 数列,如果 S n 是 ?an ? 的前 n 项和,那么 lim

nan ? n ??? S n

2



2 、( 上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科 ) 数列 ?an ? 的前 n 项和

S n ? n 2 ? n ? 3 ,则通项公式 an ?

.?

?? 1 (n ? 1) ?2n (n ? 2)

4、(上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)各项都为正数的等比数列

?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? a3 ? 27( 1

a2

?

1 ) ,则通项公式 an ? a3

.3

n ?1

13、(上 海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)公差为 d ,各项均为正 整数的等差数列中,若 a1 ? 1 , an ? 51,则 n ? d 的最小值等于 16 .
2

5. (上海市五校 2011 年联合教学调研理科已知等比数列 {an } 的公比为正数, 且 a3 · a9 =2 a5 ,

a2 =1,则 a1 =
14. ( 上 海 市 五 校

。 2011

2 2 年 联 合 教 学 调 研 理 科 已 知 数 列

A : a1 , a2 ,

, an ? 0 ? a1 ? a2 ?

? an , n ? 3? 具有性质 P :对任意 i, j ?1 ? i ? j ? n ? ,

a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题:
①数列 0,1,3,5,7 具有性质 P ; ②数列 0,2,4,6,8 具有性质 P ; ③若数列 A 具有性质 P ,则 a1 ? 0 ; ④若数列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 (0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ) 具有性质 P ,则 a1 ? a3 ? 2a2 。 其中真命题有 。②③④ 13.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科) 设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和,若不等式
2 an ? 2 Sn

n

2

? ma12 对任意等差数列 { a n } 及任意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为 。

1 5

8.(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)已知数列 {an } 是以 ?15 为首项, 2 为公 差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,则数列 {Sn } 的最小项为第 8 项.

14 . ( 上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科 ) 已知等差数列 ?an ? ,对于函数 , f (a2010 ? 4) ? ?6 , Sn 是 其 前 n 项 和 , 则 f ( x) ? x5 ? x3 满 足 : f (a2 ? 2 )? 6

S2011 ?

. 6033

8 、 ( 上 海 市 奉 贤 区 2011 年 4 月 高 三 调 研 测 试 ) 在 等 比 数 列 ? an ? 中 , a n ? 0 , 且

a1 ? a 2 ? ? ? a7 ? a8 ? 16 ,则 a 4 ? a 5 的最小值为

2 2

6. (上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)若数列 {an } 为等差数列, 且 a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 , 则 2a9 ? a10 的值等于 . 【 24 】

?x ? 0 ? (n ? N * ) 所 14、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)设不等式组 ? y ? 0 ? y ? ?nx ? 4n ?
表 示 的 平 面 区 域 Dn 的 整 点 ( 即 横 坐 标 和 纵 坐 标 均 为 整 数 的 点 ) 个 数 为 an , 则

1 (a2 ? a4 ? 2010

? a2010 ) ?

。 3018

三、解答题: 21.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科) (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分. 已知函数 f ( x) ?

4x ? 2 ( x ? ?1,x ? R ) ,数列 ?an ? 满足 a1 ? a(a ? ?1 ,a ? R) , x ?1

an?1 ? f (an )(n ? N * ) .
(1)若数列 ?an ? 是常数列,求 a 的值; (2)当 a1 ? 4 时,记 bn ?

an ? 2 (n ? N * ) ,证明数列 ?bn ? 是等比数列,并求出通项公式 an . a n ?1

21.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分. 解 (1)∵ f ( x) ?

4x ? 2 ,a1 ? a,an ?1 ? f (an( ) n ? N *) ,数列 ?an ? 是常数列, x ?1 4a ? 2 ∴ an?1 ? an ? a ,即 a ? ,解得 a ? 2 ,或 a ? 1 . ???6 分 a ?1 ∴所求实数 a 的值是 1 或 2.
(2)∵ a1 ? 4,bn ?

an ? 2 (n ? N * ) , an ? 1

4an ? 2 ?2 an ?1 ? 2 an ? 1 2 2 an ? 2 2 * ? ? ∴ b1 ? ,bn ?1 ? ,即 bn ?1 ? bn (n ? N ) .?10 分 3 3 an ?1 ? 1 4an ? 2 ? 1 3 an ? 1 an ? 1
∴数列 ?bn ? 是以 b1 ?

2 2 为首项,公比为 q ? 的等比数列,于是 3 3

bn ?

2 2 n ?1 2 ( ) ? ( ) n ( n ? N * ) . 12 分 3 3 3
16 分

2 ( )n ? 2 an ? 2 an ? 2 2 n 由 bn ? 即 , ? ( ) ,解得 an ? 3 (n ? N * ) . 2 an ? 1 an ? 1 3 ( )n ? 1 3 2 ( )n ? 2 ∴所求的通项公式 an ? 3 (n ? N * ) . 2 ( )n ? 1 3
小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分. 已 知函数 f ( x) ?

21.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科) (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1

2x ?1 ( x ? ?2,x ? R) , 数列 ?an ? 满 足 a1 ? a( a ? ?2 , a ? R) , x?2

an?1 ? f (an )(n ? N * ) .
(1)若数列 ?an ? 是常数列,求 a 的值; (2)当 a1 ? 2 时,记 bn ?

an ? 1 (n ? N * ) ,证明数列 ?bn ? 是等比数列,并求出通项公式 an . a n ?1

21.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分. 解 (1)∵ f ( x) ?

2x ?1 ,a1 ? a(a ? ?2),an ?1 ? f (an( ) n ? N *) ,数列 ?an ? 是常数列, x?2 2a ? 1 ∴ an?1 ? an ? a , 即a ? , 解得 a ? ?1 , 或 a ? 1. ?????????? a?2
∴所求实数 a 的值是 1 或-1. (2)∵ a1 ? 2,bn ?

6分

an ? 1 (n ? N * ) , an ? 1

2an ? 1 ?1 an ?1 ? 1 an ? 2 1 1 an ? 1 ? ? ∴ b1 ? ,bn ?1 ? ,即 3 an ?1 ? 1 2an ? 1 ? 1 3 an ? 1 an ? 2
1 bn ?1 ? bn (n ? N * ) . ??10 分 3 1 1 ∴数列 ?bn ? 是以 b1 ? 为首项,公比为 q ? 的等比数列,于是 3 3 1 1 n ?1 1 n bn ? ( ) ? ( ) (n ? N * ) .12 分 3 3 3
由 bn ?

an ? 1 a ?1 1 n 即 n , ? ( ) ,解得 an ? 1 an ? 1 3

1 1 ? ( )n 3n ? 1 3 an ? ? n (n ? N * ) . 1 1 ? ( )n 3 ? 1 3
3n ? 1 (n ? N * ) . ∴所求的通项公式 an ? n 3 ?1

16 分

21、(上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量 测试理科)(本题满分 16 分)数列

?an ?中, an ? 0 , an ? 1 ,且 an?1 ?
(1)证明: a n ? a n ?1 ; (2)若 a1 ?

3a n ? (n? N ) . 2a n ? 1

3 ,计算 a2 , a3 , a4 的值,并求出数列 ?an ? 的通项公式; 4

(3)若 a1 ? a ,求实数 p ( p ? 0 ) ,使得数列 ?

? p ? an ? ? 成等比数列. ? an ?

21、 (16 分) (1)若 a n ? a n ?1 ,即

3a n ? a n ,得 an ? 0 或 an ? 1 与题设矛盾, 2a n ? 1

? an ? an?1 ??4 分
(2) a 2 ?

9 27 81 , a3 ? , a4 ? ????6 分(错一个扣 1 分,错 2 个全扣) 10 28 82

3n 解法一:用数学归纳法,先猜想 a n ? n ,再用数学归纳法证明.????10 分 3 ?1
解法二: ,由

1 a n ?1

1 1 2 1 1 1 ? ( ) ? ,得 ? 1 ? ( ? 1) , 3 an 3 an?1 3 an

?数列{

1 1 1 1 1 1 ? 1} 是 首 项 为 ?1 ? , 公 比 为 的 等 比 数 列 , ? ?1 ? ( )n , 得 3 an a1 3 an 3

an ?

3n ????10 分 3n ? 1

p ? a n ?1 ? p ? an ? a n ?1 (2 p ? 3)a n ? p (3)设数列 ? ?q, ? 成等比数列,公比为 q ,则 p ? a ? 3 ( p ? a ) a n n ? n ? an
即 (2 p ? 3q ? 3)an ? 3 pq ? p ????? ?14 分

? p ? ?1 ?2 p ? 3q ? 3 ? 0 ? 由 p ? 0 ,? ?an ? 不是常数列,? ? ,? 1 , q? ? p(3q ? 1) ? 0 ? 3 ?
此时, ?

? p ? an ? 1 ? 是公比为 的等比数列??????16 分 3 ? an ?

23.(上海市五校 2011 年联合教学调研理科(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 9 分. 已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ ,an+1=

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其中λ 为 3

实数,n 为正整数. (1)对任意实数λ ,证明:数列{an}不是等比数列; (2)证明:当 ? ? ?18时,数列 {bn }是等比数列; (3)设 0<a<b(a,b 为实常数),Sn 为数列{bn}的前 n 项和.是否存在实数λ ,使得对任意 正整数 n,都有 a<Sn< b?若存在,求λ 的取值范围;若不存在,说明理由.
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

23. (1)证明:假设存在一个实数 ,使{a n}是等比数列,则有 a ? a1a2 ,
2 2

2分

2 4 2 ?4? ? 9 ? 4 ? 2 ? 4? ? 9 ? 0, ?4 ? 2 即( ? ? 3 ) = ? ? ? ? 4 ? ? ? 矛盾. 9 3 9 ?9 ?
所以{an}不是等比数列. 4分

n+1 n+1 2 (2)解:因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+21]=(-1) ( an-2n+14) 3 2 2 n =- (-1) · (an-3n+21)=- bn 3 3 b 2 + 当λ ≠-18 时,b1=-(λ +18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴ a ?1 ? ? (n∈N ). bn 3 2 故当λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- 为公比的等比数列 3

7分 8分 9分 10 分

(3)由(2)知,当λ =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ ≠-18,故知 bn= -(λ +18) · (-

2 n-1 ) ,于是可得 3

n Sn=- (? ? 18)·   ?1-(- )?. -

3 5

? ?

2 ? 3 ?

12 分

要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立,

3 2 n + (λ +18)· [1-(- ) ] 〈b(n∈N ) 5 3 a 3 b 得 ? ? (? ? 18) ?            2 n 2 n 5 1 ? (? ) 1 ? (? ) 3 3 2 令f (n) ? 1 ? (? ) n ,则 3 5 5 当 n 为正奇数时,1<f(n) ? ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= , f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9 5 3 3 于是,由①式得 a<- (λ +18)< b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18 . 9 5 5
即 a<-

15 分 16 分

当 a<b ? 3a 时,由-b-18 ? =-3a-18,不存在实数满足题目要求; 17 分 当 b>3a 存在实数λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b,且λ 的取值范围是(-b-18,-3a-18) 18 分. 22.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)(本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 将数列 { a n } 中的所有项按第一排三项, 以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: 记表中的第一列数 a1 , a4 , a8 , ? 构成的数列为 { bn } ,已知: ①在数列 { bn } 中, b1 ? 1 ,对于任何 n ? N ,都有 (n ? 1) bn?1 ? nbn ? 0 ; ②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为 q (q ? 0) 的等比数列;
*

a1 a 2 a 3 a 4 a5 a6 a7 a8 a 9 a10 a11 a12

2 ??? 。请解答以下问题: 5 (1)求数列 { bn } 的通项公式; (2)求上表中第 k ( k ? N * ) 行所有项的和 S (k ) ;
③ a 66 ? (3)若关于 x 的不等式 S (k ) ?

1 1? x2 1 1 ? 在 x ?[ , ] 上有解,求正整数 k 的取值范围。 k x 1000 100
1 。??????(4 n

22. (1)由 (n ? 1) bn?1 ? nbn ? 0 ,得数列 { nbn } 为常数列。故 nbn ? 1 ? b1 ? 1 ,所以 bn ?

分) (2)∵ 3 ? 4 ? ??11 ? 63,∴表中第一行至第九行共含有 { a n } 的前 63 项, a66 在表中第十行第三列。 (7 分) 1 故 a66 ? b10 ? q 2 ,而 b10 ? ,∴ q ? 2 。????????????????????????(9 10 分) 故 S (k ) ? 分) (3) f ( x) ? 分)
bk (1 ? q k ? 2 ) 1 k ? 2 ? (2 ? 1) 。 ??????????? ?????????????? (10 1? q k

1 1 1 1 1 ? x2 1 , ] 上单调递减,故 f ( x ) 的最小值是 f ( ) ? 100 ? 。 (11 ? ? x 在 x ?[ 1000 100 100 100 x x

1 1 1 1 ? x2 , ] 上有解, 在 x ?[ ? 1000 100 k x 1 1 1 设 m(k ) ? S (k ) ? ? ? 2k ? 2 ,则必须 m(k ) ? 100 ? 。?????????????????(12 k k 100

若关于 x 的不等式 S (k ) ?

分)

m(k ? 1) ? m(k ) ?

1 1 2 k ? 2 ( k ? 1) m(k ? 1) 2k ? 2k ? 3 ? ? 2k ? 2 ? ? 0 (或 , ? ?1) k ?1 k k ( k ? 1) m(k ) k ?1

m (1) ? m ( 2) ? 8 , 函数 m(k ) 当 k ? 2 且 k ? N * 时单调递增。 ???????????????? (14

分) 而 m(7) ? 分)
512 ,m (8) ? 128 ,所以 k 的取值范围是大于 7 的一切正整数。??????????(16 7

23.

(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)

(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,

第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题 满分 9 分.
[来源:学科网 ZXXK]

定义:对于任意 n ? N ,满足条件
*

an ? an ? 2 ? an ?1 且 an ? M ( M 是与 n 无关的常数) 2

的无穷数列 ?an ? 称为 T 数列. (1)若 an ? ?n ( n ? N ),证明:数列 ?an ? 是 T 数列;
2
*
[来源:Zxxk.Com]

(2)设数列 ?bn ? 的通项为 bn ? 24n ? 3n ,且数列 ?bn ? 是 T 数列,求 M 的取值范围; (3)设数列 cn ? q ?

1 * ( n ? N ),问数列 ?cn ? 是否是 T 数列?请说明理由. n? p

23.解:(1) 由 an ? ?n2 得 an ? an?2 ? 2an?1 ? ?n2 ? (n ? 2)2 ? 2(n ? 1)2 ? ?2 ? 0 所以数列 ?an ? 满足

an ? an ? 2 ? an ?1 . 2

(2 分)

an ? ?n2 ( n ? N* )单调递减,所以当 n=1 时, an 取得最大值-1,即 an ? ?1.
所以,数列 ?an ? 是 T 数列. (4 分)

(2) 由 bn ? 24n ? 3n 得 bn?1 ? bn ? 24 ? n ?1? ? 3n?1 ? 24n ? 3n ? 24 ? 2 ? 3n , 当 24 ? 2 ? 3 ? 0 ,即 n ? 2 时, bn?1 ? bn ? 0 ,此时数列 ?bn ? 单调递增;
n

(6 分)

而当 n ? 3 时, bn?1 ? bn ? 0 ,此时数列 ?bn ? 单调递减; 因此数列 ?bn ? 中的最大项是 b3 ,所以, M 的取值范围是 M ? b3 ? (3) 假设数列 ?cn ? 是 T 数列,依题意有:

49 . (9 分) 4

cn ? cn? 2 ? 2cn?1 ?

1 1 2 2 ? ? ? (11 分) p ? n p ? (n ? 2) p ? (n ? 1) ( p ? n)( p ? n ? 1)( p ? n ? 2)

* 因为 n ? N ,所以当且仅当 p 小于 n 的最小值时,

cn ? cn ? 2 ? cn ?1 ? 0 对任意 n 恒成立, 2
(14 分)

即可得 p ? 1 .

又当 p ? 1 时, n ? p ? 0 , cn ? q ?

1 ? q ,故 M ? q n? p

(16 分)

综上所述:当 p ? 1 且 M ? q 时,数列 ?cn ? 是 T 数列. 20. (上海市普陀区 2011 年 4 月高三质量调研)(本题满分 14 分)

(18 分)

为了缓解城市道路拥堵的局面,某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准,并实行 累进加价收费。已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的: “ (中心城区占道停车场)收 费标准为每小时 10 元, 并实行累进加价制度, 占道停放 1 小时后, 每小时按加价 50%收费。 ” 方案公布后,这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议(可查询 2010 年 12 月 14 日的相关国内新闻).请你用所学的数学知识说明争议的原因,并请按照一辆普通小汽车 一天 内连续停车 14 小时测算:根据不同的解释,收费各应为多少元? 20.(本题满分 14 分) 解:争议的原因是收费标准中对于“每小时按加价 50%收费”的含义出现了歧义。以下给出三 种不同的理解: 解释一:第一小时为 10 元,以后每小时都为 15 元.14 小时总收费为: 10 ? 15 ? 13 ? 205 元; 解释二:第一小时为 10 元,以后每小时都比前一小时增加 5 元. 可以理解为等差数列求和,则 14 小时总收费为 S14 ? 14 ? 10 ?

14 ? 13 ? 5 ? 595 元. 2

解释三:第一小时为 10 元,以后每小时都增加 50%.可以理解为等比数列求和, 则 14 个小时的收费为 S14 ?

10 ?1 ? 1.514 ? 1 ? 1.5

? 5818.59 元.

【说明】以上三种解释中能任意给出两种即可得满分.

23 、 ( 上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试 ) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, 前 n 项和为

? pa ? n ? 1(n为奇数) . Sn , an ?1 ? ? n ??an ? 2n(n为偶数) (1)若数列 ?bn ? 满足 bn ? a2n ? a2n?1 (n ? 1) ,试求数列 ?bn ? 前 3 项的和 T3 ; (4 分)
(2) (理)若数列 ?cn ? 满足 cn ? a2n ,试判断 ?cn ? 是否为等比数列,并说明理由; (6 分) (文)若数列 ?cn ? 满足 cn ? a2n , p ? (3)当 p ?

1 ,求证: ?cn ? 是为等比数列; (6 分) 2

1 * 时,问是否存在 n ? N ,使得 (S2n?1 ?10)c2 n ? 1 ,若存在,求出所有的 n 的值; 2

若不存在,请说明理由.(8 分) 23、解: (1) 据题意得 a2 ? pa1 , a3 ? ?a2 ? 4,? b1 ? a2 ? a3 ? ?4

1分

据题意得 a4 ? ? pa1 ? 2, a5 ? ?a4 ? 4,?b2 ? a4 ? a5 ? ?4 据题意得 a6 ? ? pa5 ? 2, a7 ? ?a6 ? 4,?b3 ? a6 ? a7 ? ?4

2分 3分 4分

?T3 ? ?12
(2) (理)当 p ? 当p?

1 时,数列 ?cn ? 成等比数列; 2

5分

1 时,数列 ?cn ? 不为等比数列 6分 2 理由如下:因为 cn?1 ? a2n?2 ? pa2n?1 ? 2n ? p(?a2n ? 4n) ? 2n ? ? pcn ? 4 pn ? 2n ,
所以 8分 9分 10 分 6分 8分 9分 10 分 11 分 12 分

7



cn?1 2n(1 ? 2 p) , ? ?p? cn cn 1 1 故当 p ? 时,数列 ?cn ? 是首项为 1,公比为 ? 等比数列; 2 2 1 当 p ? 时,数列 ?cn ? 不成等比数列 2 1 (文)因为 c n ?1 ? a 2 n ? 2 ? p 2 n ?1 ? 2n 2 1 1 ? ?? a 2 n ? 4n ? ? 2n ? ? c n 2 2 c 1 所以 n ?1 ? ? cn 2 1 1 故当 p ? 时,数列 ?cn ? 是首项为 1,公比为 ? 等比数列; 2 2 (3) bn ? a2n ? a2n?1 ? ?4n ,所以 ?bn ? 成等差数列,
当p?

1 1 n ?1 时 a2 n ? cn ? ( ? ) , 2 2 因为 S 2n?1 ? a1 ? ?a2 ? a3 ? ? ?a4 ? a5 ? ? ? ? ?a2n ? a2n?1 ?

S2n?1 ? a1 ? b1 ? b2 ? ... ? bn = 2 ? ?? 4 ? 8 ? 12 ? ? ? 4n?
= ?2n ? 2n ? 2 ( n ? 1 ) (S2n?1 ?10)c2n ? 1 ,
2

13 分
2 n ?1

?? 2n

2

? 1? ? 2n ? 2 ? 10?? ? ? ? 2 ? ?

?1
14 分

? 4n2 ? 4n ? 16 ? 4n , n 2 设 f ?n? ? 4 ? 4n ? 4n ? 16?n ? 2? ,

0 1 2 n 3?1 ? 3? ? 8?n ? 8? ? 3 Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?8n ? 8? n ? 2 时 f ?n ? 1? ? f ?n? ? 0 ,所以 f ?n ? 在 ?2,??? 递增 17 分 ? 0,f (1) ? 0 ,? 仅存在惟一的 n ? 3 使得 (S2n?1 ?10)c2n ? 1成立 18 分 ? f (3) n

f ?n ? 1? ? f (n) ? 3 ? 4 n ? ?8n ? 8?

?

?

23.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设二次函数 f ( x) ? (k ? 4) x ? kx
2

(k ? R) ,对任意实数 x ,有 f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立;

数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ) . (1)求函数 f ( x) 的解析式和值域; (2) 试写出一个区间 ( a, b) , 使得当 a1 ? (a, b) 时, 数列 {an } 在这个区间上是递增数列, 并说明理由; (3)已知 a1 ?

1 ? ,是否存在非零整数 ? ,使得对任意 n ? N ,都有 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? n ?1 ?1 2 1 ) n? 2 ?n log3 ? ? log3 ? ? ??? ? log3 ? ? ? ?1?? (? 2 ? n? log ? 13 2 ? ? ? 3 log 1 1 1 ? ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? an ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

恒成

立,若存在, 求之;若不存在,说明理由. 23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 解: (1)由 f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立等价于 (k ? 4) x 2 ? (k ? 6) x ? 2 ? 0 恒成 立,??????????1 分 从而得: ?

?k ? 4 ? 0 ?(k ? 6) ? 8(k ? 4) ? 0
2

,化简得 ?

?k ? 4
2 ?(k ? 2) ? 0

,从而得 k ? 2 ,所以

f ( x) ? ?2 x 2 ? 2 x ,???3 分
其值域为 (?? , ] .??????????4 分 (2)解:当 a1 ? (0,

1 2

1 ) 时,数列 {an } 在这个区间上是递增数列,证明如下: 2
2

设 an ? (0, ), n ? 1 ,则 a n ?1 ? f (a n ) ? ?2a n ? 2a n ? ?2(a n ? ) ?
2

1 2

1 2

1 1 ? (0, ) ,所以对一 2 2

* 切 n ? N ,均有 a n ? (0, ) ;?????????????7 分

1 2

1 1 2 a n ?1 ? a n ? f (a n ) ? a n ? ?2a n ? 2a n ? a n ? ?2(a n ? ) 2 ? 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a n ? (0, ) ? ? ? a n ? ? ? (a n ? ) 2 ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? 0 2 4 4 4 4 16 4 8 4 8
[来源:学 &科&网 Z&X&X&K]

, 从 而 得 an?1 ? an ? 0 , 即 a n ?1 ? a n , 所 以 数 列 {an } 在 区 间 (0, ) 上 是 递 增 数

1 2

列.?????????10 分 注:本题的区间也可以是 [ , ) 、 [ , ) 、 [ , ) 等无穷多个. 另解:若数列 {an } 在某个区间上是递增数列,则 an?1 ? an ? 0
2 2 即 an?1 ? an ? f (an ) ? an ? ?2an ? 2an ? an ? ?2an ? an ? 0 ? an ? (0, ) ??7 分

1 1 5 2

1 1 4 2

1 1 3 2

1 2

1 1 ? (0, ) ,所以对 2 2 1 1 * 一切 n ? N ,均有 a n ? (0, ) 且 an?1 ? an ? 0 ,所以数列 {an } 在区间 (0, ) 上是递增数 2 2
又当 an ? (0, ), n ? 1 时, a n ?1 ? f (a n ) ? ?2a n ? 2a n ? ?2(a n ? ) ?
2 2

1 2

1 2

列.??????????10 分

1 1 ? a n ? (0, ) ; 2 2 1 1 1 1 2 2 ? a n ?1 ? ? (?2a n ? 2a n ) ? 2a n ? 2a n ? ? 2(a n ? ) 2 ,即 2 2 2 2 1 1 ? a n ?1 ? 2( ? a n ) 2 ;???12 分 2 2 1 1 2 令 bn ? ? a n ,则有 bn?1 ? 2bn 且 bn ? (0, ) ; 2 2
(3) (理科)由(2)知 a n ? (0, ) ,从而 从而有 lg bn?1 ? 2 lg bn ? lg 2 , 可得 lg bn?1 ? lg 2 ? 2(lg bn ? lg 2) , 所以数列 {lg bn ? lg 2} 是

1 2

1 lg b1 ? lg 2 ? lg 为首项,公比为 2 的等比数 3
列,?????????????????????14 分
2 n ?1

1 ?1? 从 而 得 lg bn ? lg 2 ? lg ? 2 n ?1 ? lg? ? 3 ? 3?
?1? ? ? 3 bn ? ? ? 2
2 n ?1

2 n ?1

?1? ? ? ? 3? , 即 lg bn ? lg 2

, 所 以

1 ?1? ? ? ? 2 ? 3?

2n ?1



? ? ? n ?1 1 ? 1 1 2 ? ? ? log3 (2 ? 32 ) ? log3 2 ? 2 n?1 , 所以 ? ? 2 ? 3 ,所以 log3 1 bn ? 1 ?a ? ? an ? n ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? log3 ? ? ? ? ? ? ? log3 ? ? 所以, log3 ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? ? ? 1? 2 ? n ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
n ?1

? n log3 2 ?
n 2 2 ? (log n ? ? ?1? 即 ? n log 3 2) 3 2 ?1
n

1 ? 2n ? 2n ? n log3 2 ? 1 .?????????????16 分 1? 2
2? ? n log3 22? 1 ? 1 ,所以, 2n ?1 ? ? ?1?
n ?1
n ?1

n ?1

? 恒成立
有最小值1 为。? ? ? 1

(1) 当 n 为奇数时,即 ? ? 2

恒成立,当且仅当 n ? 1 时, 2

n ?1

(2) 当 n 为偶数时,即 ? ? ?2 所 以 , 对 任 意

n ?1

恒成立,当且仅当 n ? 2 时,有最大值 ?2 为。? ? ? ?2 非 零 整 数 ,

n ? N ? , 有 ?2 ? ? ? 1 。 又 ?

? ? ? ?1 ?????????????18 分
21、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)(本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分, 第(2)小题满分 8 分。
2 已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 9,无穷等比数列 an 各项的和为

? ?

81 。 5
(1)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公比 q ; (2)对给定的 k (k ? 1, 2,3,

, n) ,设数列 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2ak ? 1 的等差数列,

求数列 T ( 2) 的通项公式及前 10 项的和。

? a1 ?1 ? q ? 9 ? 21.解: (1)依题意可知, ? -------------------4 分 2 ? a1 ? 81 2 ? 5 ?1 ? q
?a1 ? 3 ? ?? 2 -------------------6 分 q ? ? 3 ?
(2)由(1)知, an ? 3 ? ? ? 所以数列 T
( 2)

?2? ?3?

n?1

-------------------8 分

的首项为 t1 ? a2 ? 2 ,公差 d ? 2a2 ? 1 ? 3 -------------------10 分

T (2) ? 2 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ?1 (n ? N * ) -------------------12 分
S10 ? 10 ? 2 ?
即数列 T
( 2)

1 ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 , 2

的前 10 项之 和为 155。-------------------14 分

22.(上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 9 分. 已知数列 a , b, c 是各项均为正数的等差数列,公差为 d(d ? 0) .在 a , b 之间和 b,c 之 间共插入 n 个实数,使得这 n ? 3 个数构成等比数列,其公比为 q. (1)求证: | q |? 1 ; (2)若 a ? 1, n ? 1 ,求 d 的值; (3)若插入的 n 个数中,有 s 个位于 a,b 之间,t 个位于 b,c 之间,且 s , t 都为奇数,试比 较 s 与 t 的大小,并求插入的 n 个数的乘积(用 a, c, n 表示). c 22.解: (1)由题意知 qn?2 ? , c ? a ? 2d , a c 2d n?2 又 a ? 0, d ? 0 ,可得 q ? ? 1 ? ????????????2 分 ? 1, a a
即 | q n? 2 |? 1 ,故 | q |n? 2 ? 1 ,又 n ? 2 是正数,故 | q |? 1 .????????????4 分 (2)由 a , b, c 是首项为 1、公差为 d 的等差数列,故 b ? 1 ? d , c ? 1 ? 2d , 若插入的这一个数位于 a , b 之间,则 1 ? d ? q 2 , 1 ? 2d ? q 3 , 消去 q 可得 (1 ? 2d ) 2 ? (1 ? d ) 3 ,即 d 3 ? d 2 ? d ? 0 ,其正根为 d ? 若插入的这一个数位于 b, c 之间,则 1 ? d ? q , 1 ? 2d ? q 3 , 消去 q 可得 1 ? 2d ? (1 ? d ) 3 ,即 d 3 ? 3d 2 ? d ? 0 ,此方程无正根. 1? 5 故所求公差 d ? . ???????????????9 分 2 (3)由题意 得 q s ?1 ?

1? 5 .???7 分 2

b a?d c a ? 2d , qt ?1 ? ? ,又 a ? 0, d ? 0 , ? a a b a?d a ? d a ? 2d d2 a ? d a ? 2d a ? 2d ? ? ? 0 ,可得 故 ,又 ? ?0, a a?d a (a ? d ) a a?d a?d
故 q s ?1 ? qt ?1 ? 0 ,即 | q |s ?1 ?| q |t ?1 .

又 | q |? 1 ,故有 s ? 1 ? t ? 1 ,即 s ? t .

???????????????12 分

设 n ? 3 个数所构成的等比数列为 {a n } ,则 a1 ? a, as ?2 ? b ? 由 ak an? 4?k ? a1an?3 ? ac(k ? 2,3,4, ?, n ? 2) ,可得

a?c , an?3 ? c , 2

( a 2 a 3 ? an?2 )2 ? (a2 an? 2 )(a3an?1 ) ? (an?1a3 )(an? 2 a2 ) ? (ac)n?1 , ????????14 分
又 q s ?1 ?

b c ? 0 , q t ?1 ? ? 0 , a b
n ?1 2

由 s , t 都为奇数,则 q 既可为正数,也可为负数, ①若 q 为正数,则 a2 a 3 ? an ? 2 ? (ac) ,插入 n 个数的乘积为
n ?1 2 (ac) 2 ; a?c

②若 q 为负数, a 2 ,a 3 , ? , an ? 2 中共有 故 a 2 a 3 ? an ? 2 ? (?1)
n ( ?1) 2

(ac)

n ?1 2

n ? 1 个负数, 2

,所插入的数的乘积为

所以当 n ? 4k ? 2(k ? N*)时,所插入 n 个数的积为

n ?1 2 (ac) 2 ; a?c

n n ?1 ( ?1) 2 (?1) 2 (ac) 2 . a?c

n ?1 2 (ac) 2 . ???????18 分 a?c b c c (另法:由又 q s ?1 ? ? 0 , q t ?1 ? ? 0 , qn?2 ? ? 0 a b a 由 s , t 都为奇数,可知 n 是偶数,q 既可为正数也可为负数.

当 n ? 4k (k ? N*)时,所插入 n 个数的积为 ?

a2 a 3 ? an ? 2 ? (aq)(aq 2 )(aq3 ) ? (aq n ?1 ) ? a n ?1q
①若 q 为正数,则 a2 a 3 ? an ? 2 ? a n ?1 (q n ? 2 ) 故插入 n 个数的乘积为
n ?1 2 (ac) 2 ; a?c
n ?1 2

( n ?1)( n ? 2) 2

n ?1 c n ?1 ? a n ?1 ( ) 2 ? (ac) 2 , a

???????15 分

n ? 2) ②若 q 为负数,由 n 是偶数,可知 ( n ?1)( 的奇偶性与 2

可得 a2 a 3 ? an ? 2 ? (?1)

n?2 2

(ac)

n ?1 2

n?2 的奇偶性相同, 2


n ?1 2 (ac) 2 ; a?c

所以当 n ? 4k ? 2(k ? N*)时,所插入 n 个数的积为 当 n ? 4k (k ? N*)时,所插入 n 个数的积为 ?

n ?1 2 (ac) 2 . a?c

???????18 分)

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]


上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(4)数列

上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大 上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 部分:数列 第 4 部分 数列一、选择题: 选择题: 18 . ...

上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(4)数列

上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 4 部分:数列一、选择题: 18 . ( 上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科 ) 已知有穷数列 A : ...

上海市各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(4)数列

上海市各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(4)数列_高考_高中教育_教育专区。一、选择题: 17.(2 012 年上海市五校联合教学调研理科)对于实数 x, 用[...

浙江省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(4)数列

浙江省各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 4 部分:数列一、选择题: 3.(浙江省温州市 2011 年高三第一次适应性测试文科)已知等比数列 ? a n ...

江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(4) 数列

江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(4) 数列_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。江苏省各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 4 ...

上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(2)常用逻辑用语

上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 部分:常用逻辑 第 2 ...现给出以下四个命题:①数列 0,1,3,5,7 具有性质 P ; ②数列 0,2,4,...

2011年上海市各地市高考数学最新联考试题分类大汇编(16)选修系列

上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 16 部分:选修系列一、选择题: 16.(上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)已知数列 {an } 是无穷...

上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(16)选修系列

上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 部分:选修系列 第 16 部分...选择题: 选择题: 16.(上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)已知数列 {...

上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(6)不等式

上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(16份)上海市各地市2011年高考...( x) ≤ 6 x + 2 恒成立; 数列 {a n } 满足 an+1 = f (an ) ...

上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(13)统计

上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 部分: 第 13 部分 统计...但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大 频率为 ...