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2012高考试题分类汇编:三角函数(文)

时间:2013-07-17


2012 高考试题分类汇编:三角函数
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 (A) 向左平移 1 个单位 (B) 向右平移 1 个单位 (C) 向左平移

1 个单位 2

(D) 向右平移

1 个单位 2

8.【2012 高考上海文 17】在△ ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则△ ABC 的

2.【2012 高考新课标文 9】已知 ω>0, 0 ? ? ? ? ,直线 x ?

?
4

和x?

5? 是函数 4

形状是(

) B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
D C

f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ= π π π 3π (A) (B) (C) (D) 4 3 2 4 ?x ? ? ? 3.【2012 高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 3? ? 6 (A) 2 ? 3 (B)0 (C)-1 (D) ?1 ? 3

A、钝角三角形

9.【2012 高考四川文 5】如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( )

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? 3 ? 2? 3? 5? (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3 3 5.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 sin 2? ? 5 24 12 12 24 (A) ? (B) ? (C) (D) 25 25 25 25 ? ? ? sin 47 ? sin17 cos 30 6.【2012 高考重庆文 5】 cos17? 3 3 1 1 (A) ? (B) ? (C) (D) 2 2 2 2
4.【2012 高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin 7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到 的图像是

5 5 D、 10 15 E 10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? 2 ,
(1) B、 C、

3 10 10

10 10

A

B

? ? (0,π ),则 sin 2? =(
(A) ? 1 (B) ?



2 2

(C)

2 2

(D) 1

【点评】 本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力, 属于容 易题。 11.【2012 高考江西文 4】若 A. -

3 4

B.

3 4

C. -

4 3

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 4 D. 3

12.【2012 高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin 2 ( x ? A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

?

1 , ) 若 a=f(lg5) b ? f (lg ) 则 4 5

13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上 的高等于 A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常 考内容.
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14.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三 边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 15.【2012 高考广东文 6】在△ ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则
? ?

24.【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c, 若 a=2 ,B=

?
6

,c=2 3 ,则 b=

.

AC ?

A. 4 3

B. 2 3

C.

3

D.

16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x=

?
4

3 2

三、解答题 25.【2012 高考浙江文 18】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 26.【2012 高考安徽文 16】 (本小题满分 12 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有

)的图像的一条对称轴是 D.x=-

?
4

? B.x= 2

C.x=-

?
4

? 2
?
4

17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ? x (其中 ? >0)的图像向右平移 个单 位长度,所得图像经过点( (A) 二、填空题 18.【2012 高考江苏 11】 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? (5 值为 ▲ .
1 3
3? 4

2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。 27.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

,0) ,则 ? 的最小值是 C)
5 3

(B)1

(D)2

sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C .

? ?

? ?? 4 ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的 6? 5 12

(Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 28.【2012 高考湖南文 18】 (本小题满分 12 分)

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 19.【2102 高考北京文 11】在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A= 为_________。 20. 【2102 高考福建文 13】 在△ABC 中, 已知∠BAC=60°, ∠ABC=45°,BC ? 则 AC=_______.

?
3

已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? ,则∠C 的大小 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?

3,

12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

21.【2012 高考全国文 15】当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? ___________. 【答案】

29.【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2

5? 6

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

22.【2012 高考重庆文 13】设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且

1 a =1,b=2, C ? ,则 sin B ? cos 4
23.【2012 高考上海文 3】函数 f ( x) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10

sin x ?1

2 cos x

30.【2012 高考广东文 16】 (本小题满分 12 分) 的最小正周期是
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已知函数 f ( x) ? A cos ? (1)求 A 的值;

?x ?? ? ? , x ? R ,且 ?4 6?
4 ? 30 ? ? 4? ? ? ? ? ? ,f 3 ? 17 ?

?? ? f ? ?? 2 ?3?
2 ? 8 ? 求 ? 4 ? ? ? ? ? , cos(? ? ? ) 3 ? 5 ?

(2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

? ?? (2) ? ? ? ? ? 0, ? ,f 设 ? 2?

??? ???? ??? ??? ? ? ? 36.【2012 高考江苏 15】 (14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .
(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

的值. 31.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 32.【2012 高考重庆文 19】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)设 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ? 值 2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为 数 g ( x) ?

5 ,求 A 的值. 5

37.【2012 高考天津文科 16】 (本小题满分 13 分) 在 △ABC 中, 内角 A, C 所对的分别是 a,b, 已知 a=2.c= 2 ,cosA= B, c。 (I)求 sinC 和 b 的值; (II)求 cos(2A+

2 . 4

?

?
2

6

处取得最大

д )的值。 3

(I)求 f ( x) 的解析式; (II)求函

38.【2012 高考湖北文 18】 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= π 对称,其中 为常数,且 1.求函数 f(x)的最小正周期; 的图像关于直线 x=

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域。

33.【2012 高考新课标文 17】 (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 34.【2102 高考北京文 15】 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

3asinC-ccosA 2.若 y=f(x)的图像经过点 ,求函数 f(x)的值域。 39.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,其对边 a 、 b 、 c 满足 2b 2 ? 3ac , 求 A。

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递减区间。 35.【2012 高考陕西文 17】 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对

称轴之间的距离为

? , 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式;
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2012 高考试题分类汇编:三角函数
1-5 CAACB 6-10CAABA 11-15BCBDB 16-17CD

27【答案】 (I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

17 2 18【答案】 50
20【答案】 2 .

19【答案】 90? 21【答案】

5? 6

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a, b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b 2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

15 22【答案】 4
24【答案】2.

23【答案】 ?

25【解析】 (1)? bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 即得 tan B ? 3 ,? B ?

?
3

a 2 ? c2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4

.

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

(2)? sinC=2sinA,由正弦定理得 c ? 2a ,由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,

9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos
26【解析】

?

3

,解得 a ? 3 ,? c ? 2a ? 2 3 .

1 1 7 7 ∴△ ABC 的面积 S ? ac sin B ? ? 1 ? 2 ? . ? 2 2 4 4

28【答案】

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? 因为点 ( , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? 又? 0 ? ? ? ,? 即 ? ?? ? , 从而 ? ? =? , ? = . 2 6 6 3 6 6
【解析】 (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2( 又 点 0,1) 函 数 图 像 上 , 所以 A sin 在 (

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) 12 ? 6 ? 12 ? 6 ? ? ? ? ? ? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3 1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x
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?

6

? 1, A ? 2 , 故 函 数 f( x) 的 解 析 式 为

?

? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

12 ? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? , k ? z. 12 12 ? ? ?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4 ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ,即 cos ? ? 。 5 3 ? 6 6? 5 ? ? 8 3 ? ?? 因为 ? ? ? ? ? 0, ? , 所以 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ,sin ? ? 1 ? cos2 ? ? , 17 5 ? 2? 8 4 15 3 13 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ?? 。 17 5 17 5 85
31.【2012 高考辽宁文 17】 【答案】

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期

11? 5? 2? 从而 T ? 2( ? ) ? ? , 从而求得 ? ? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A , 12 12 T 求出 f x) ( 的解析式; 第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的
单调性求得. 29.【2012 高考四川文 18】 【解析】

【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等 比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以 利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的 关系,再来求最后的结果。 30.【2012 高考广东文 16】

? 2 ?? ? ?? ?? 【答案】 (1) f ? ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? A ? 2 ,解得 A ? 2 。 4 2 ?3? ? 12 6 ? 4 ? ? ?? ?? 30 ? ? ? ( 2 ) f ? 4? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? ,即 3 ? 3 6? 2? 17 ? ? ? 15 sin ? ? , 17
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32【答案】 (Ⅰ) ? ? 【解析】

?
6

(Ⅱ) [1, ) ? ( , ]

7 4

7 5 4 2

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L

3π ? π ? ? ? (2)原函数的单调递增区间为 ? ? ? kπ ,π ? k ? Z , ? kπ , ? kπ ? k ? Z 。 k 8 ? 8 ? ? ?

35.【2012 高考陕西文 17】 【答案】

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos 2 x ? [0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 4 4 2 ?
(3) 33.【2012 高考新课标文 17】 【答案】

3 cos 2 x ? 1 2

36.【2012 高考江苏 15】 ??? ???? ??? ??? ? ? ? 【 答 案 】 解 : 1 ) ∵ AB ? AC ? 3BA? BC , ∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B , 即 (

AC ?cos A=3BC ?cos B 。
由正弦定理,得

AC BC = ,∴ sin B ?cos A=3sin A? B 。 cos sin B sin A sin B sin A =3? 即 cos B cos A

又 ∵ 0 < A ? B < ? , ∴ cos A > 0,cos B > 0 。 ∴

tan B ? 3tan A 。

? 5? 2 5 5 ( 2 ) ∵ cos C ? , <C < ? , ∴ sin C ? 1 ? ? 0 ? 5 ? = 5 。 ? 5 ? ?
∴ tan C ? 2 。 ∴ 34.【2102 高考北京文 15】 (sin x ? cos x)sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x 【答案】 f ( x) ? ? ? 2(sin x ? cos x) cos x sin x sin x π? ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , x | x ? kπ ,k ? Z? ? 4? ? 。 (1)原函数的定义域为 ? x | x ? kπ ,k ? Z? ,最小正周期为 π . ∴

2

tan ?? ? ? A ? B ? ? ? 2 ? ?





tan ? A ? B ? ? ?2



tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B
由 (1) ,得

4 tan A 1 ? ?2 ,解得 tan A=1, A= ? 。 tan 2 1 ? 3tan A 3

∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=
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? 。 4
L

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【考点】 平面微量的数量积, 三角函数的基本关系式, 两角和的正切公式, 解三角形。 ??? ???? ??? ??? ? ? ? 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函 数关系式证明。 (2) cos C ? 由

中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式

T?

2?

?

来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量 x 的范围确定函数 ? x ? ? 的

5 由三角形三角关系, 得到 tan ?? ? ? A ? B ? ? , ,可求 tan C , ? ? 5

范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查. 39.【2012 高考全国文 17】【答案】

从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。 37.【2012 高考天津文科 16】 【答案】

3.38.【2012 高考湖北文 18】 【答案】

【解析】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求 解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形
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