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2015-2016学年高一数学人教A版必修4模块综合检测(C)

时间:2016-05-16


模块综合检测(C)
1.若角 600° 的终边上有一点(-4,a),则 a 的值是( ) 4 3 4 3 A.4 3 B.-4 3 C. D.- 3 3 2.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为( ) 3 3 A.- B. C.2 D.6 2 2 1 2 3.设向量 a=(cos α, ),若 a 的模长为 ,则 cos 2α 等于( ) 2 2 1 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 4 2 2 4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( ) A. 3 B.2 3 C.4 D.12 5.tan 17° +tan 28° +tan 17° tan 28° 等于( ) 2 2 A.- B. C.-1 D.1 2 2 6.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)· c=30,则 x 等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 π 7.要得到函数 y=sin x 的图象,只需将函数 y=cos(x- )的图象( ) 3 π π π π A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 6 3 3 6 π 8.设函数 f(x)=sin(2x+ ),则下列结论正确的是( ) 3 π π A.f(x)的图象关于直线 x= 对称 B.f(x)的图象关于点( ,0)对称 3 4 π C.把 f(x)的图象向左平移 个单位,得到一个偶函数的图象 12 π D.f(x)的最小正周期为 π,且在[0, ]上为增函数 6 9.已知 A,B,C 是锐角△ABC 的三个内角,向量 p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则 p 与 q 的夹角是( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 10.已知函数 f(x)=(1+cos 2x)sin2x,x∈R,则 f(x)是( ) π A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 的奇函数 2 π C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 → → → 11.设 0≤θ≤2π,向量OP1=(cos θ,sin θ),OP2=(2+sin θ,2-cos θ),则向量P1P2的模长的最大值为( ) A. 2 B. 3 C.2 3 D.3 2 π π π 12.若将函数 y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+ )的图象重合,则 ω 4 6 6 的最小值为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 3 2 13.已知 α、β 为锐角,且 a=(sin α,cos β),b=(cos α,sin β),当 a∥b 时,α+β=________. 2 π π 14.已知 cos4α-sin4α= ,α∈(0, ),则 cos(2α+ )=________. 3 2 3 → → → 15.若向量AB=(3,-1),n=(2,1),且 n· AC=7,那么 n· BC=________. θ π 4 16.若 θ∈[0, ],且 sin θ= ,则 tan =________. 2 5 2 3 17.已知向量 a=(sin x, ),b=(cos x,-1). 2 2 (1)当 a∥b 时,求 2cos x-sin 2x 的值; π (2)求 f(x)=(a+b)· b 在[- ,0]上的最大值. 2

18.(12 分)设向量 a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值;

19.(12 分)设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, 3sin 2x),x∈R. π π (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈[- , ],求 x; 3 3 (2)求函数 y=f(x)的单调增区间

→ → → → 20.(12 分)已知 x∈R,向量OA=(acos2x,1),OB=(2, 3asin 2x-a),f(x)=OA· OB,a≠0. (1)求函数 f(x)的解析式,并求当 a>0 时,f(x)的单调增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 5,求 a 的值. 2

1+ 3 π 21.(12 分)已知函数 f(x)= 3sin2(x+ )-cos2x- (x∈R). 4 2 (1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期; π (2)若 A 为锐角,且向量 m=(1,5)与向量 n=(1,f( -A))垂直,求 cos 2A 的值. 4

22.(12 分)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3

模块综合检测(C) 答案 1. B 2.D [∵600° =360° +240° , 是第三象限角. ∴a<0. ∵tan 600° =tan 240° =tan 60° = a = 3, ∴a=-4 3. ] -4

[a· b=6-m=0,∴m=6.] 1 2 1 1 3.A [∵|a|= cos2α+ = ,∴cos2α= .∴cos 2α=2cos2α-1=- .] 4 2 4 2 2 2 2 2 4.B [∵|a+2b| =a +4a· b+4b =4+4×2×1×cos 60° +4×1 =12.∴|a+2b|=2 3.] 5.D [tan 17° +tan 28° +tan 17° tan 28° =tan(17° +28° )(1-tan 17° tan 28° )+tan 17° tan 28° =1-tan 17° tan 28° +tan 17° tan 28° =1.] 6.C π π π π π 7.A [方法一 y=cos(x- )=sin(x+ ),向右平移 个单位即得 y=sin(x- + )=sin x,故选 A. 3 6 6 6 6
向右平移 π π 6 ? y=sin x=cos(x- ),y=cos(x- ) ???? 2 3 π y=cos(x- ),无论哪种解法都需要统一函数名称.] 2 π π π 1 8.C [∵f( )=0,∴A 不正确.∵f( )=cos = ≠0,∴B 不正确. 3 4 3 2 π π π π f(x)向左平移 个单位得 f(x)=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )=cos 2x,故 C 正确.] 12 12 3 2 π π π 9.A [∵△ABC 是锐角三角形,∴A+B> .∴ >A> -B>0. 2 2 2 π π ∵函数 y=sin x,x∈(0, )是递增函数,∴sin A>sin( -B).即 sin A>cos B.∴p· q=sin A-cos B>0. 2 2 ∴p 与 q 所成的角是锐角.] 1-cos 2x 1 1 1 1+cos 4x 1 1 10.D [f(x)=(1+cos 2x) = (1-cos22x)= - × = - cos 4x, 2 2 2 2 2 4 4 2π π ∴T= = ,f(-x)=f(x),故选 D.] 4 2 → 11.D [|P1P2|= ?2+sin θ-cos θ?2+?2-cos θ-sin θ?2= 10-8cos θ≤ 18=3 2.] π π π 12.D [由题意知 tan[ω(x- )+ ]=tan(ωx+ ), 6 4 6 π πω π π π π 1 1 即 tan(ωx+ - )=tan(ωx+ ).∴ - ω=kπ+ ,得 ω=-6k+ ,则 ωmin= (ω>0).] 4 6 6 4 6 6 2 2 π π 13. 解析 ∵a∥b,∴sin αsinβ-cos αcos β=0 即 cos(α+β)=0.∵0<α+β<π.∴α+β= . 2 2 1 15 2 14. - 解析 ∵cos4α-sin4α=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=cos 2α= . 3 6 3 5 又 2α∈(0,π).∴sin 2α= . 3 π 1 3 1 15 ∴cos(2α+ )= cos 2α- sin 2α= - . 3 2 2 3 6 → → → → → 15.2 解析 n· BC=n· (AC-AB)=n· AC-n· AB=7-(2,1)· (3,-1)=7-5=2. θ θ θ 2sin cos 2tan 2 2 2 4 θ θ 1 16. 解析 ∵sin θ=2sin cos = = = . 2 2 2 5 2θ 2θ 2θ sin +cos 1+tan 2 2 2 θ θ θ 1 θ θ θ θ 1 π π ∴2tan2 -5tan +2=0,∴tan = 或 tan =2.∵θ∈[0, ],∴ ∈[0, ].∴tan ∈[0,1],∴tan = . 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2cos x-2sin xcos x 2-2tan x 20 3 3 17.解 (1)∵a∥b,∴ cos x+sin x=0,∴tan x=- ,2cos2x-sin 2x= = = . 2 2 sin2x+cos2x 1+tan2x 13 2 π (2)f(x)=(a+b)· b= sin(2x+ ). 2 4 π 3π π π π 2 2 1 1 ∵- ≤x≤0,∴- ≤2x+ ≤ ,∴-1≤sin(2x+ )≤ ,∴- ≤f(x)≤ ,∴f(x)max= . 2 4 4 4 4 2 2 2 2 18.(1)解 因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a· (b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β =4sin(α+β)-8cos(α+β)=0, 因此 tan(α+β)=2.

?

方法二

(2)解

由 b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得

π |b+c|= ?sin β+cos β?2+?4cos β-4sin β?2= 17-15sin 2β≤4 2.又当 β=- 时,等号成立, 4 所以|b+c|的最大值为 4 2. π 19.解 (1)依题设得 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x=1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin(2x+ )+1. 6 π π 3 π π π π 5π 由 2sin(2x+ )+1=1- 3得 sin(2x+ )=- .∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ , 6 6 2 3 3 2 6 6 π π π ∴2x+ =- ,即 x=- . 6 3 4 π π π π π (2)- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z),即- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z) 2 6 2 3 6 π π 得函数单调增区间为[- +kπ, +kπ](k∈Z). 3 6 π 20.解 (1)f(x)=2acos2x+ 3asin 2x-a= 3asin 2x+acos 2x=2asin(2x+ ). 6 π π π 当 a>0 时,由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).故函数 f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6 3 6 π π π π 7π (2)由(1)知 f(x)=2asin(2x+ ).当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ]. 6 2 6 6 6 π π 5 若 a>0,当 2x+ = 时,f(x)max=2a=5,则 a= ; 6 2 2 π 7π 5 若 a<0,当 2x+ = 时,f(x)max=-a=5,则 a=-5. 所以 a= 或-5. 6 6 2 1 + 3 1+ 3 π 2 21.解 (1)f(x)= 3sin2(x+ )-cos2x- = 3[ (sin x+cos x)]2-cos2x- 4 2 2 2 1 + cos 2 x 1 3 1 π = 3sin xcos x-cos2x- = sin 2x- - =sin(2x- )-1, 2 2 2 2 6 所以 f(x)的最小正周期为 π,最小值为-2. π π π π π 4 (2)由 m=(1,5)与 n=(1,f( -A))垂直,得 5f( -A)+1=0,∴5sin[2( -A)- ]-4=0,即 sin(2A- )=- . 4 4 4 6 3 5 π π π 2π π 4 π π π 3 ∵A∈(0, ),∴2A- ∈(- , ),∵sin(2A- )=- <0,∴2A- ∈(- ,0),∴cos(2A- )= . 2 3 3 3 3 5 3 3 3 5 π π 3 1 4 3 4 3+3 ∴cos 2A=cos[(2A- )+ ]= × + × = . 3 3 5 2 5 2 10 π 22.解 (1)∵b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α= , 4 ∴f(x)=b· c=cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α=2sin xcos x+ 2(sin x+cos x). 令 t=sin x+cos x(0<x<π),则 2sin xcos x=t2-1,且-1<t≤ 2. 2 3 2 3 则 y=g(t)=t2+ 2t-1=(t+ )2- ,-1<t≤ 2.∴t=- 时,y 取得最小值,且 ymin=- , 2 2 2 2 2 11π 3 11π 此时 sin x+cos x=- .由于 0<x<π,故 x= .所以函数 f(x)的最小值为- ,相应 x 的值为 . 2 12 2 12 b π π a· (2)∵a 与 b 的夹角为 ,∴cos = =cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α). 3 3 |a|· |b| π ∵0<α<x<π,∴0<x-α<π.∴x-α= .∵a⊥c,∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0. 3 π 5 3 3 ∴sin(x+α)+2sin 2α=0,sin(2α+ )+2sin 2α=0.∴ sin 2α+ cos 2α=0.∴tan 2α=- . 3 2 2 5


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