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用均值不等式求最值的方法和技巧


几个重要的均值不等式 ① a 2 ? b 2 ? 2ab ? ab ?
a2 ? b2 (a、b ? R), 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; 2
2

?a?b? ? ② a ? b ? 2 ab ? ab ? ? 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; ? (a、b ? R ), ? 2 ? 注:① 注意运用均值不等式求最

值时的条件:一“正” 、二“定” 、三“等” ;
② 熟悉一个重要的不等式链:

2

1 ? a b

a?b ? ab ? ? 1 2

a 2 ? b2 。 2

三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项(配常数项) 例 1 求函数
y ? 3x 2 ? 16 2 ? x 2 的最小值.

2、 配系数(乘、除项) 例 2 已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足 3x ? 2 y ? 12 ,求 lg x ? lg y 的最大值.

1

3、 裂项 例 3 已知 x ? ?1 ,求函数
y?

? x ? 5?? x ? 2 ?
x ?1

的最小值.

4、 取倒数
0? x?

例 4 已知

( x ? 1)2 1 y? x(1 ? 2 x) 的最小值. 2 ,求函数

5、 平方
y2 2x ? ? 8 x 6 ? 2 y2 3 例 5 已知 x ? 0, y ? 0 且 求 的最大值.
2

2

6、 换元(整体思想) 例 6 求函数
y? x?2 2 x ? 5 的最大值.

7、 逆用条件
1 9 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 例 7 已知 x y ,则 x ? y 的最小值是(

) .

8、 巧组合 例 8 若 a, b, c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,求 2a ? b ? c 的最小值 .

3

9、 消元
y2 例 9、设 x, y, z 为正实数, x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 xz 的最小值是.

4

几个重要的均值不等式 ① a 2 ? b 2 ? 2ab ? ab ?
a2 ? b2 (a、b ? R), 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; 2
2

?a?b? ? ② a ? b ? 2 ab ? ab ? ? 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; ? (a、b ? R ), ? 2 ? 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正” 、二“定” 、三“等” ;
② 熟悉一个重要的不等式链:

2

1 ? a b

a?b ? ab ? ? 1 2

a 2 ? b2 。 2

三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项(配常数项) 例 1 求函数
y ? 3x 2 ? 16 2 ? x 2 的最小值.
16 2 ? x2

解:x 2 ? 2 ? 0, y ? 3x 2 ? ? 3( x 2 ? 2) ? 16 ?6 2 ? x2 16 ?6 2 ? x2

? 2 3( x 2 ? 2) ? ?8 3 ?6

当且仅当 是8 3 ?6 .

3( x 2 ? 2) ?

16 4 3 x2 ? ?2 2 2 ? x ,即 3 时,等号成立. 所以 y 的最小值

2、 配系数(乘、除项) 例 2 已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足 3x ? 2 y ? 12 ,求 lg x ? lg y 的最大值.
解:x ? 0, y ? 0 3x ? 2 y 6 2 ? 1 ? 3x ? 2 y ? ? ? 1 ? 12 ? 2 ? ? lg ? ? ? ? ? lg ? ? ? ? 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ?6 ? 2 ? ? ? ? lg 6 lg x ? lg y ? lg( xy ) ? lg

当且仅当 3x ? 2 y ,即 x ? 2, y ? 3 时,等号成立 . 所以 lg x ? lg y 的最大值是
lg 6 .
5

3、 裂项 例 3 已知 x ? ?1 ,求函数
y?

? x ? 5?? x ? 2 ?
x ?1

的最小值.

4? 1? ?? x ? 1? ? ? ? ?? x ? ? ? ? 1 解:x ? 1 ? 0y , ?? x ?1 4 4 ? ( x ? 1) ? ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ?5 x ?1 x ?1 ?9

当且仅当

x ?1 ?

4 x ? 1 ,即 x ? 1 时,取等号.

所以 ymin ? 9 .

4、 取倒数
( x ? 1)2 1 y ? 0? x? x(1 ? 2 x) 的最小值. 2 ,求函数 例 4 已知
0? x? 1 2 ,得 1 ? x ? 0 , 1 ? 2 x ? 0 .

解 由

1 x(1 ? 2 x) 1 3 x 1 ? 2 x ? ? ? ? y (1 ? x) 2 3 1? x 1? x ? 3x 1 ? 2 x ? ? 1 ?1? x 1? x ? 1 ? ? ? ? 3? 2 ? 12 ? ? 取倒数,得
1 3x 1 ? 2 x x? ? 当且仅当 1 ? x 1 ? x ,即 5 时,取等号.
2

故 y 的最小值是12 .

5、 平方
y2 2x ? ? 8 x 6 ? 2 y2 3 例 5 已知 x ? 0, y ? 0 且 求 的最大值.
2

解: ( x 6 ? 2 y 2 ) 2 ? x 2 (6 ? 2 y 2 ) ? 3 ? 2 x 2 (1 ? ? 2 y2 ? 2 x ? (1 ? )? ? 9 2 3 ? 3? ? ? 3( ) 2 2 ? ? ? ? ? ?
2

y2 ) 3

6

当且仅当 故

2 x 2 ? (1 ?

3 y2 42 x? ) y? 2, 3 ,即 2 时,等号成立.

x 6 ? 2 y2

9 3 的最大值是 2 .

6、 换元(整体思想) 例 6 求函数
t

y?

x?2 2 x ? 5 的最大值.
x0? ,t 2 ? 则 2 ,

解:令 x ? 2 ? t t, ? (t ? 0 ) 2t ? 1 当t ? 0时,y ? 0;
2

y?

当t ? 0时,y ?

1 2t ? 1 t

?

1 2 2t ? 1 t

?

2 4

1 2 当且仅当2t = ,即t ? 时,取等号. t 2 3 2 所以x ? ? 时,取最大值为 . 2 4

7、 逆用条件
1 9 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) x y 例 7 已知 ,则 x ? y 的最小值是(
解:由x ? 0, y ? 0, 1 9 ? ?1 ,得 x y 1 9 y 9x x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? ? ? 10 x y x y y 9x ? ? 10 ? 16 x y y 9x ? , 即x ? 4, y ? 12时,等号成立. x y

) .

?2

当且仅当

故x ? y的最小值是16.

8、 巧组合 例 8 若 a, b, c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,求 2a ? b ? c 的最小值 .

7

解:由a, b, ?c 知 0 , ? a 2 ? ? b ?2 ?2 a ( ? b )?a ( ?c ) 4 ? 2?3
2

?c ? ( a? ) b a ? b a c

( a b c ,

) c

?2 a ?

?2 当且仅当 3 2 ,b ? c . 2 .

即b ? c ? 3 ? ? 1 a时,等号成立 故2a ? b ? c的最小值为 2 ?3

9、 消元
y2 例 9、设 x, y, z 为正实数, x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 xz 的最小值是.

x ? 3z 可得 , 2 2 y2 x ? 9 z ? 2 xz 6 xz 6? xz 6 = ? ? 3 , xz 4 xz 4 xz y 当且仅当x ? 3z,即x ? y, z ? 时,取“=”. 3 2 y 故 的最小值为3. xz 解:由x, z ? 0y , ?

8


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