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2015届高三数学—不等式1:基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版)


必修五:基本不等式
应用一:求最值 例:求下列函数的值域 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 解:(1)y=3x 2+ 2 ≥2 2x 1 (2)y=x+ x 1 3x 2· 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) 2x 1 x· =2; x 1 x· x =-2

1 (2)当 x>0 时,y=x+ ≥2 x 当 x<0 时, y=x+ ?

/>
1 1 = -(- x- )≤-2 x x

∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧

技巧一:凑项 例 已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
1 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5

解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ? 技巧二:凑系数 例: 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

解析:由 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的 形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。



,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。

变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2
2 3 2x ? 3 ? 2x ? 9 ∴ 3 ? 2 x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? ? 2 2 2 ? ?

解:∵ 0 ? x ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

技巧三: 分离、换元

例:求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?
技巧四:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x ) ? x ? 例:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 解:令 x2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。

1 t

1 t

1 t

5 。 2

?5 ?2

? ?

技巧五:整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 例 : 已 知 x ? 0, y ? 0 , 且

1 9 ? ?1 , 求 x ? y 的 最 小 值 错 .解 .: x y

x ? 0, y ? 0 , 且

1 9 ? ?1 , x y

1 9? 9 ? x? y ?? 2 xy ? 12 故 ? ? ?? x ? y? ? 2 ?x y? xy

? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用均值不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等号成立条件是
x y xy

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件 x y
是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解:

? 1 9 ? y 9x 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

当且仅当

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y

技巧六 y2 例:已知 x,y 为正实数,且 x 2+ =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2 a 2+b 2 分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 。 2 同时还应化简 1+y 2 中 y2 前面的系数为 下面将 x,
2

1 , 2

x 1+y 2 =x

1+ y 2 2· = 2 x· 2

1 y2 + 2 2

1 y2 + 分别看成两个因式: 2 2 x 2+( ≤ 1 y2 + 2 2 2 )2 y2 1 x 2+ + 2 2 3 = = 2 4 1 y2 + 2 2 3 4



1 y + 2 2

即 x 1+y 2 = 2 ·x



2

技巧七: 1 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 的最小值. ab 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基 本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的 形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1 由 a>0 得,0<b<15 -2t 2+34t-31 16 16 16 =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 t· =8 t t t t 1 ∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18 法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ab 2 令 u= ab 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 令 t=b+1,1<t<16,ab= 点评:①本题考查不等式 30-2b -2 b 2+30b ab= ·b= b+1 b+1

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式 2

ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等式 (a, b ? R ?)

a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 2
技巧八、取平方 例: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2 x 的和为定值。
2 2

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2 x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

应用二:利用均值不等式证明不等式

例:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

分析:不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 “2”连乘,又
1 1 ? a b ? c 2 bc ,可由此变形入手。 ?1 ? ? ? a a a a

解:

a、b、c ? R , a ? b ? c ? 1 。?

?

1 2 ac 1 1 1 ? a b ? c 2 bc 2 ab 。同理 ? 1 ? , ?1 ? 。上述 ?1 ? ? ? b b a a a a c c

三个不等式两边均为正,分别相乘,得

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?
应用三:均值不等式与恒成立问题

例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y 1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1 ,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

?1 ?

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0

Q?

1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

∴R>Q>P。

【高考真题训练】

x y + 1.(2010·山东)已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为__3___. 3 4 2.(2011·陕西)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 B.a< ab< a+b <b 2 (B)

a+b D. ab<a< <b 2 1 -10ac+25c2 的最小值是 a-b D.5 (B)

1 3.(2010·四川)设 a>b>c>0,则 2a2+ + ab a A.2 B.4 C.2 5

4.(2013 课标全国Ⅱ,文 24)选修 4—5:不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明:

1 (1)ab+bc+ca≤ 3 ;

a 2 b2 c 2 ? ? c a ≥1. (2) b
解:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca, 2 2 2 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 2 2 2 2 由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1.
2 2 2 2 2 2

1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ 3 .

a2 b2 c2 ? b ? 2a ? c ? 2b ? a ? 2c b c a (2)因为 , , , a 2 b2 c2 ? ? ? ( a ? b ? c) b c a 故 ≥2(a+b+c), a 2 b2 c 2 ? ? b c a ≥a+b+c. 即 2 a b2 c 2 ? ? b c a ≥1. 所以
5.[2014·重庆卷] 若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( ) A.6+2 3 B.7+2 3 C.6+4 3 D.7+4 3 4 3? 4 3 4b 3a D [解析] 由 log4(3a+4b)=log2 ab,得 3a+4b=ab,则 + =1,所以 a+b=(a+b)? ?a+b?=7+ a + b ≥ a b 4b 3a 4b 3a 7+2 · =7+4 3,当且仅当 = ,即 a=4+2 3,b=2 3+3 时等号成立,故其最小值是 7 a b a b +4 3. 6.[2014·湖北卷] 某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车 辆数,单位:辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关, 76 000v 其公式为 F= 2 . v +18v+20l (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时. (1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知,l>0,v>0,所以当 l=6.05 时,

76 000v F= 2 = v +18v+121 (2)当 l=5 时, 76 000v F= 2 = v +18v+100

76 000 ≤ 121 v+ v +18 2

76 000 =1900,当且仅当 v=11 时,取等号. 121 v· v +18

76 000 ≤2000, 100 v+ v +18 当且仅当 v=10 时,取等号,此时比(1)中的最大车流量增加 100 辆/小时. 7.[2014·福建卷] 要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( ) A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元 C 4 [解析] 设底面矩形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3,高为 1 m.得另一边长为 m. x

记容器的总造价为 y 元,则 4 x+ ?×1×10 y=4×20+2? ? x? 4? =80+20? ?x+x? ≥80+20×2 =160, 4 当且仅当 x= ,即 x=2 时等号成立. x 因此,当 x=2 时,y 取得最小值 160,即容器的最低总造价为 160 元,故选 C. 1 2 4 8.[2014·辽宁卷] 对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+b2-c=0 且使|2a+b|最大时, + + 的最 a b c 小值为________. (2a+b)2 -1 [解析] 因为 4a2-2ab+b2-c=0, 所以(2a+b)2-c=6ab=3×2ab≤3× , 所以(2a+b)2≤4c, 4 1 ?2 1 2 4 2 1 +1 -1,其最小值为-1. 当且仅当 b=2a,c=4a2 时,|2a+b|取得最大值.故 + + = + 2=? a b c a a ?a ? 9.[2014·浙江卷] 已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则 a 的最大值是________. 6 3 [解析] 方法一:令 b=x,c=y,则 x+y=-a,x2+y2=1-a2,此时直线 x+y=-a 与圆 x2+y2=1- |a| 2 6 ≤ 1-a2,解得 a2≤ ,所以 a 的最大值为 . 3 3 2 x· 4 x

a2 有交点,则圆心到直线的距离 d=

方法二: 将 c=-(a+b)代入 a2+b2+c2=1 得 2b2+2ab+2a2-1=0, 此关于 b 的方程有实数解, 则Δ =(2a)2 2 6 -8(2a2-1)≥0,整理得到 a2≤ ,所以 a 的最大值为 . 3 3 10.[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是______. 6- 2 [解析] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则由正弦定理得 a+ 2b=2c.故 4
2 2 3 1 ?a+ 2b? 3 2 1 2 2 2 a + b - ? 2 ? 4a +2b - 2 ab 4a2+2b2 2 a2+b2-c2 ? ? 2 cos C= = = = - ≥ 2ab 2ab 2ab 2ab 4

3 2 1 2 a· b 4 2 6- 2 2 - = , 2ab 4 4

a 2 当且仅当 3a2=2b2,即 = 时等号成立. b 3


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