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初高中数学衔接知识(因式分解)

时间:2017-06-27


2011年 2011年1月8日星期六

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形, 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它 与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、 与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用. 程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要 的基本技能. 的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的

因式分解的方法较多, 提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公 提取公因式法和公式法 平方差公式和完全平方公 公式法(立方和 式)外,还有公式法 立方和、立方差公式 、十字相 外 还有公式法 立方和、立方差公式)、 乘法、分组分解法、配方法、 添 项法等等. 项法等等 乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等.

2011年 2011年1月8日星期六

立方和、 一、公式法(立方和、立方差公式 公式法 立方和 立方差公式)
a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 ? ab + b 2 ) a 3 ? b 3 = (a ? b )(a 2 + ab + b 2 )

两个数的立方和(差 , 等于这两个数的和 两个数的和(差 乘 两个数的立方和 差 ),等于这 两个数的和 差 )乘 以它们的平方和与它们积的差(和 . 以它们的平方和与它们积的差 和). 【例1】因式分解: 】因式分解:
(1) 8 + x 3 (2) 0.125 ? 27b 3
解 : (1) 8 + x 3 = 23 + x 3 = ( 2 + x )( 4 ? 2 x + x 2 ).

( 2) 0.125 ? 27b3 = 0.53 ? (3b)3 = (0.5 ? 3b)[0.52 + 0.5 × 3b + (3b)2 ] = (0.5 ? 3b )(0.25 + 1.5b + 9b 2 ).

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立方和、 一、公式法(立方和、立方差公式 公式法 立方和 立方差公式)

【例2】因式分解: 】因式分解:
(1) 3a 3 b ? 81b 4 (2) a 7 ? ab 6

解 : (1) 3a 3 b ? 81b4 = 3b(a 3 ? 27b 3 ) = 3b(a ? 3b)(a 2 + 3ab + 9b 2 ).
( 2) a 7 ? ab 6 = a (a 6 ? b 6 ) = a (a 3 + b 3 )(a 3 ? b 3 ) = a (a + b )(a 2 ? ab + b 2 )(a ? b )(a 2 + ab + b 2 ) = a (a + b )(a ? b )(a 2 + ab + b 2 )(a 2 ? ab + b 2 ).

或a 7 ? ab 6 = a (a 6 ? b6 ) = a(a 2 ? b 2 )(a 4 + a 2b 2 + b4 ) = a (a 2 ? b 2 )[(a 2 + b 2 )2 ? a 2b 2 ] = a (a + b )(a ? b )( a 2 + ab + b 2 )( a 2 ? ab + b 2 ).

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二、分组分解法 从前面可以看出, 从前面可以看出 , 能够直接运用公式法分解的 多项式,主要是二项式和三项式. 多项式, 主要是二项式和三项式 .而对于四项以上 的多项式, 既没有公式可用, 的多项式,如 ma + mb + na + nb 既没有公式可用,也 没有公因式可以提取.因此, 没有公因式可以提取. 因此 ,可以先将多项式分组 处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分 处理 .这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分 解法.分组分解法的关键在于如何分组. 解法.分组分解法的关键在于如何分组.
2 【例3】因式分解: ax ? 10ay + 5by ? bx 】因式分解: 说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续 说明:用分组分解法, 完成因式分解,由此合理选择分组的方法. 完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也 可以将一、四项为一组, 三项为一组, 可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不 妨一试. 妨一试.

解 : 2ax ? 10ay + 5by ? bx = 2a ( x ? 5 y ) ? b( x ? 5 y ) = ( x ? 5 y )( 2a ? b ).
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二、分组分解法

【例4】因式分解 2x2 + 4xy +2y2 -8z2 】
解 : 2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 ? 8 z 2 = 2( x 2 + 2 xy + y 2 ? 4 z 2 ) = 2[( x + y )2 ? ( 2 z )2 ] = 2( x + y + 2 z )( x + y ? 2 z ).

【例5】因式分解 ab(c2-d2)-(a2-b2)cd 】
解 : ab(c 2 ? d 2 ) ? (a 2 ? b 2 )cd = abc 2 ? abd 2 ? a 2 cd + b 2 cd = (abc 2 ? a 2 cd ) + (b 2 cd ? abd 2 ) = ac(bc ? ad ) + bd (bc ? ad ) = ( bc ? ad )(ac + bd ).

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三、十字相乘法
1. x 2 + ( p + q ) x + pq 型的因式分解
x 2 + ( p + q ) x + pq = x 2 + px + qx + pq = x ( x + p ) + q( x + p ) = ( x + p )( x + q )

x 2 + ( p + q ) x + pq = ( x + p)( x + q )
(2)x 2 + 13 x + 36

【例6】因式分解:(1)x 2 ? 7 x + 6 】因式分解:
(2)x 2 + 13 x + 36 = ( x + 4)( x + 9).

解 : (1)x 2 ? 7 x + 6 = [ x + ( ?1)][ x + ( ?6)] = ( x ? 1)( x ? 6).

(1) 【例7】因式分解: x 2 + xy ? 6 y 2 (2)( x 2 + x )2 ? 8( x 2 + x ) + 12 】因式分解: 解 : (1)x 2 + xy ? 6 y 2 = x 2 + yx ? 62 = ( x + 3 y )( x ? 2 y ). (2)( x 2 + x )2 ? 8( x 2 + x ) + 12 = ( x 2 + x ? 6)( x 2 + x ? 2) = ( x + 3)( x ? 2)( x + 2)( x ? 1).
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三、十字相乘法
2.一般二次三项式 ax + bx + c 型的因式分解 .
2

大家知道, 大家知道, ( a1 x + c1 )( a 2 x + c2 ) = a1 a2 x + ( a1 c2 + a2 c1 ) x + c1 c2 .
2

反过来,就得到: 反过来,就得到: a1 a2 x + (a1 c2 + a 2 c1 ) x + c1 c2 = (a1 x + c1 )(a 2 x + c2 )
2

a 我们发现, 我们发现,二次项系数 a 分解成 a1 a2 ,常数项 c 分解成 c1c2 ,把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 1 a2
2

c ×c12 ,这里按

斜线交叉相乘,再相加, 斜线交叉相乘,再相加,就得到 a1c2 + a2 c1 ,那么 ax + bx + c 就可以分解成 (a1 x + c1 )(a2 x + c2 ) . 这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法. 这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法. 借助画十字交叉线分解系数

【例8】因式分解:(1)12 x 2 ? 5 x ? 2 】因式分解:
解 : (1)12 x ? 5 x ? 2 = (3 x ? 2)( 4 x + 1).
2

(2)5x 2 + 6 xy ? 8 y 2
3 4 1 5

× ×

?2 1 2 ?4
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( 2)5 x 2 + 6 xy ? 8 y 2 = ( x + 2 y )(5 x ? 4 y ).

三、十字相乘法 【例9】因式分解: 】因式分解:
(1)( x 2 + 2 x ) ? 7( x 2 + 2 x ) ? 8 (2)x 2 + 2 x ? 15 ? ax ? 5a

分析:用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底, 分析:用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底,有 时可能会多次使用十字相乘法, 时可能会多次使用十字相乘法,并且对于项数较多的 多项式,应合理使用分组分解法,找公因式,如五项 多项式,应合理使用分组分解法,找公因式, 可以三、二组合. 可以三、二组合
解 : (1)原式 = ( x 2 + 2 x + 1)( x 2 + 2 x ? 8).
(2)原式 = ( x 2 + 2 x ? 15) ? (ax + 5a ) = ( x ? 3)( x + 5) ? a ( x + 5) = ( x + 5)( x ? 3 ? a ).
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四、配方法

( 【例10】因式分解:1)x 2 + 6 x ? 16 】因式分解:

(2)x 2 + 4 xy ? 4 y 2

解 : (1)x 2 + 6 x ? 16 = ( x + 3)2 ? 52 = ( x + 8)( x ? 2).

(2)x 2 + 4 xy ? 4 y 2 = ( x 2 + 4 xy + 4 y 2 ) ? 8 y 2
= ( x + 2 y )2 ? 8 y 2 = ( x + 2 y + 2 2 y )( x + 2 y ? 2 2 y ).

说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法 设法配成有完全平方式的方法叫做配方法, 说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法, 配方后将二次三项式化为两个平方式, 配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差 公式分解. 公式分解.
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五、拆(添)项法 添 项法 【例11】因式分解: x 3 ? 3 x 2 + 4 】因式分解:
解 : x 3 ? 3 x 2 + 4 = ( x 3 + 1) ? (3 x 2 ? 3) = ( x + 1)( x 2 ? x + 1) ? 3( x + 1)( x ? 1) = ( x + 1)[( x 2 ? x + 1) ? 3( x ? 1)] = ( x + 1)( x 2 ? 4 x + 4) = ( x + 1)( x ? 2)2 .

说明:一般地,因式分解,可按下列步骤进行: 说明:一般地,因式分解,可按下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; 先提取公因式 (2) 如果各项没有公因式,那么可以运用公式法或分组 如果各项没有公因式,那么可以运用公式法或分组 分解法或其它方法(如十字相乘法 来分解; 如十字相乘法)来分解 分解法或其它方法 如十字相乘法 来分解; (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分 因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分 因式分解必须进行到每一个多项式因式 解为止. 解为止.
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