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等差数列前n项和(第2课时)


2.3等差数列的前n项和

知识回顾

等差数列前n项和公式1:
n(a1 ? an ) Sn ? 2

等差数列前n项和公式2:
n(n ? 1)d Sn ? na1 ? 2

课前小检测
1. 在等差数列{an}中,a1=100,d=-2, 则S101= 0 .

2.已知{an}为等差数列,且S10=120, 24 . 则a1+a10=

新知探究
例2,已知一个等差数列的前10项 的和是310,前20项的和是1220, 由这些条件能确定这个等差数列 的前n项和吗?

典型例题
2

1 已知数列?a n ? 的前n项和为Sn ? n ? n。 ? 例3: 2 求这个数列的通项公式,这数列是等差数列吗? 若果是,它的首项与公差分别是什么?

新知探究
一般地,如果一个数列?an ?的前n项和为 S n ? pn ? qn ? r,
2

其中p,q,r为常数,且p ? 0,那么这个数列 一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公 差分别是什么?

n(n ? 1)d 由此S n ? na1 ? 可以化为 2 d 2 d S n ? n ? (a1 ? )n, 2 2 当d ? 0时,是一个常数项为0的二次式.

2 4 3 ,…的前n和 例4 已知等差数列5,4 , 7 7
为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
5 解:因为 a1 ? 5,d ? ? 7 n? ? 5 ?? Sn ? ?10 ? (n ? 1) ? ? ? ? ? 2? ? 7 ??

?5n ? 75n 5 ? 15 ? 1125 ? ? ? ?n? ? ? 14 14 ? 2? 56
2

2

又因为 n ? N ? , 所以当n=7或8时Sn最大.

尝试应用
已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-3n+3,求an.

解:当n=1时,a1=S1=3;
当 n≥2时,

an=Sn-Sn-1=(3n2-3n+3)-[3(n-1)2-3(n-1)+3]=6n-6,
所以 an=

{6n-6

3

(n=1), (n≥2).

优化训练
1. 在等差数列{an}中,若S9=9,则a4+a6=_____. 2 2. 已知{an}为等差数列,且a20+a19+a2+a1=20,则 S20=_____. 100

3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a6+a1<0,a7>0, 则使Sn最小的n是_____. 6

4. 在等差数列{an}中,a4=9,a9=-6,且Sn=54,求n.

解:∵a9-a4=5d=-6-9=-15,

∴ d=-3,且a1=18,
由Sn=54得n2-13n+36=0.

解得n=4或n=9.

5. 在等差数列{an}中,已知a1>0,S7=S13,问n为何值 时,Sn最大?

2 解:由S7= S13得d= - a1 , 19 n( n-1) a1 100a1 2 Sn = na1 + d =- ( n-10) + 2 19 19
∵a1>0,

∴当n=10时,Sn最大.

6. 已知Sn是数列{an}的前n项和,若满足Sn=nan(n≥1),

求证:{an}是常数数列.
证明:∵an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1=n(an-an-1)+an-1,

即(n-1)(an-an-1)=0恒成立,
∴ an-an-1 =0( n≥2 ),

∴ {an}是常数列.

7. 在等差数列{an}中,a10+a11=5,则a1+a2+…+a20等于 ( C ) A.10 B.20 C.50 D.100

1 8. {an}是等差数列,公差 d = ,S100=145,则 2 a1+a3+a5…+a99的值为 ( D )
A.57 B.58 C.59 D.60

小结
1.对等差数列前n项的最值问题有两种求法 (1)利用an 当a1 ? 0, d ? 0时,前n项和有最大值,可由an ? 0, 且an ?1 ? 0,求得n的值; 当a1 ? 0, d ? 0时,前n项和有最小值,可由an ? 0, 且an ?1 ? 0,求得n的值; (2)利用S n d 2 d S n ? n ? (a1 ? )n,可用二次函数配方法求得n的值. 2 2

2.数列?an ? 为等差数列,则Sm,S2 m ? Sm, S3m ? S2 m也成等差数列.


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