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2017届高三数学一轮复习第十二篇复数算法推理与证明第4节直接证明与间接证明数学归纳法基丛点练理

时间:2017-03-19


第4节
【选题明细表】

直接证明与间接证明、数学归纳法
题号 3,5,8,12 7,10,11 1,2,4,9 6,13

知识点、方法 综合法 分析法 反证法 数学归纳法

基础对点练(时间:30 分钟) 1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设是( B ) (A)自然数 a,b,c 中至少有两个偶数 (B)自然数 a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 (C)自然数 a,b,c 都是奇数 (D)自然数 a,b,c 都是偶数 解析: “恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选 B. 2.设 x,y,z>0,则三个数+,+,+( C ) (A)都大于 2 (B)至少有一个大于 2 (C)至少有一个不小于 2 (D)至少有一个不大于 2 解析:假设三个数都小于 2, 则+++++<6, 由于+++++= (+)+(+)+(+)≥2+2+2=6,所以假设不成立, 所以+,+,+中至少有一个不小于 2.故选 C. 3.设 a= (A)a>b>c 解析:因为 a= ,b= ,c= ,则 a,b,c 的大小顺序是( (D)a>c>b A )

(B)b>c>a =

(C)c>a>b ,

b=

-

=

,

c=

-

=

,

又因为

+

>

+

>

+

>0,

所以 a>b>c. 3 4. (2014 高考山东卷)用反证法证明命题 “设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根” 时,要做的假设是( A ) 3 (A)方程 x +ax+b=0 没有实根 3 (B)方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 3 (C)方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 3 (D)方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根
1

解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程 x +ax+b=0 没有实根”.故 选 A. 5.(2016 成都模拟 ) 已知函数 f(x)=() ,a,b 是正实数 ,A=f( A,B,C 的大小关系为( A ) (A)A≤B≤C (B)A≤C≤B (C)B≤C≤A (D)C≤B≤A 解析:因为
x x

3

),B=f(

),C=f(

), 则





,

又 f(x)=() 在 R 上是减函数, 所以 f( )≤f( )≤f( ),

即 A≤B≤C.故选 A. 6.用数学归纳法证明 + +?+ > 时,由 k 到 k+1,不等式左边的变化是( C )

(A)增加



(B)增加



两项

(C)增加



两项同时减少



(D)以上结论都不对 解析:n=k 时,左边= + +?+

n=k+1 时,左边=

+

+?+

,

由“n=k”变成“n=k+1”时,不等式左边的变化是

+

-

.

7.设 a>b>0,m=

-

,n=

,则 m,n 的大小关系是

.

解析:法一 取 a=2,b=1,得 m<n. 法二 < ? + > ?a<b+2 · +a-b?2 · >0,显然成立,故 m<n.
2

答案:m<n 8.已知点 An(n,an)为函数 y= 图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点,其中 n∈N , . ,
*

设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为 解析:由条件得 cn=an-bn= -n=

所以 cn 随 n 的增大而减小. 所以 cn+1<cn. 答案:cn+1<cn 2 9.用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a,b,c 中至少 有一个是偶数.用反证法证明时,假设的内容是 . 解析:“至少有一个是”的否定为“都不是”. 答案:假设 a,b,c 都不是偶数 10.已知 a>0,用分析法证明 ≥a+-2.

证明:要证

-

≥a+-2,

只需证 因为 a>0, 所以(a+)-(2-

≥(a+)-(2-

).

)>0,

所以只需证(

) ≥[(a+)-(2-

2

)] ,

2

即 2(2-

)(a+)≥8-4

,

只需证 a+≥2. 因为 a>0,a+≥2 显然成立(a==1 时等号成立), 所以要证的不等式成立. 能力提升练(时间:15 分钟) 11.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证 的因应是( C ) (A)a-b>0 (B)a-c>0 (C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0 解析:由 a>b>c,且 a+b+c=0 可得 b=-a-c,a>0,c<0. < a”索

3

要证

<

a,只要证(-a-c) -ac<3a ,即证 a -ac+a -c >0,

2

2

2

2

2

即证 a(a-c)+(a+c)(a-c)>0, 即证 a(a-c)-b(a-c)>0, 即证(a-c)(a-b)>0. 故求证“ < a”索的因应是(a-c)(a-b)>0.

12.对于函数 f(x),若? a,b,c∈R,f(a),f(b),f (c)都是某一三角形的三边长,则称 f(x)为 “可构造三角形函数”.以下说法正确的是( D ) (A)f(x)=1(x∈R)不是“可构造三角形函数” (B)“可构造三角形函数”一定是单调函数 (C)f(x)= (x∈R)是“可构造三角形函数”

(D)若定义在 R 上的函数 f(x)的值域是[

,e](e 为自然对数的底数),则 f(x)一定是“可构

造三角形函数” 解析:对于 A 选项,由题设所给的定义知,? a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的 三边长,是“可构造三角形函数”,故 A 选项错误; 对于 B 选项,由 A 选项判断过程知,B 选项错误; 对于 C 选项,当 a=0,b=3,c=3 时,f(a)=1>f(b)+f(c)=,不构成三角形,故 C 错误; 对于 D 选项,由于 + >e,可知,定义在 R 上的函数 f(x)的值域是[ ,e](e 为自然对数的底

数), 则 f(x)一定是“可构造三角形函数”. 13.设 a>0,f(x)= ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N .
*

(1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. (1)解:因为 a1=1,所以 a2=f(a1)=f(1)= ;

a3=f(a2)=

;a4=f(a3)=

.

猜想 an=

(n∈N ).

*

(2)证明:①易知,n=1 时,猜想正确. ②假设 n=k 时猜想正确,

4

即 ak=

,

则 ak+1=f(ak)=

=

=

=

.

这说明,n=k+1 时猜想正确. 由①②知,对于任何 n∈N ,都有 an=
*

.

精彩 5 分钟 1. 已知三个不等式① ab>0; ② >; ③ bc>ad. 以其中两个作条件 , 余下一个作结论 , 则可组成 个正确命题. 解题关键:-= .

解析 :此题共可组成三个命题即①② ? ③ ; ①③ ? ② ; ②③ ? ① .若 ab>0,>,则 -=

>0, 得

bc-ad>0,即可得命题①②? ③正确;若 ab>0,bc>ad,则

=->0,得>,即命题①③? ②正确;

若 bc>ad,>,则-=

>0,得 ab>0,即命题②③? ①正确.综上可得正确的命题有

三个. 答案:三 2. 凸函数的性质定理为如果函数 f(x) 在区间 D 上是凸函数 , 则对于区间 D 内的任意 x1,x2,?,xn,有 ≤f( ),已知函数 y=sin x 在区间(0,π )上是凸函 .

数,则在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值为 解题关键:利用所给凸函数的性质求解. 解析:因为 f(x)=sin x 在区间(0,π )上是凸函数, 且 A,B,C∈(0,π ), 所以 ≤f( )=f(),

5

即 sin A+sin B+sin C≤3sin =

,

所以 sin A+sin B+sin C 的最大值为

.

答案: 3.(2016 洛阳模拟)下面有 4 个命题: x ①当 x>0 时,2 +的最小值为 2; ②若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= x,且其一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点
2

重合,则双曲线的离心率为 2; ③将函数 y=sin 2x 的图象向右平移个单位,可以得到函数 y=sin (2x-)的图象; ④在 Rt△ABC 中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC 的外接圆半径 r= ;

类比到空间,若三棱锥 SABC 的三条侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,且长度分别为 a,b,c,则三 棱锥 SABC 的外接球的半径 R= .

其中错误命题的序号为 . 解题关键:对四个命题的真假性逐一作出判断. x 解析:对于①,2 +取得最小值为 2 的条件是 x=0,这与 x>0 相矛盾;对于③,将函数 y=sin 2x 的图象向右平移个单位,可以得到函数 y=sin[2(x-)]=sin(2x-)的图象;易证②成立;对于④, 可将该三棱锥补成长方体,其外接球的直径恰好是长方体的体对角线. 答案:①③

6


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