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三角函数图像和性质练习题(附答案)


三角函数的图像与性质
一、选择题
1.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ?

? ?
3 4
,

]上的最小值是-2,则 ? 的最小值等于( C.2 D.3



A.

2 3

B.



2.若函数 y ? cos(? x ?

?
3

3 2

) (? ? 0) 的图象相邻两条对称轴间距离为
B. 12 C.2

? ,则 ? 等于 2
D.4



A.

1 2

3.将函数 y ? sin( x ?

?
6

)( x ? R ) 的图象上所有的点向左平行移动

? 个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到 4

原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象的解析式为 A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ?
4.函数 y ? cos(2 x ?

x ? )( x ? R) 2 12
?
6

5? )( x ? R) 12

B. y ? sin( ?

x 5? )( x ? R ) 2 12 x 5? )( x ? R ) D. y ? sin( ? 2 24
/ /

) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F ,F 的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于

? A. ( ,?2) 6

? B. ( ,2) 6

C. (?

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

5.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 ? (0 ? ? ? 2? ) 个单位后,得到函数 y ? sin( x ?

?
6

) 的图象,则 ? 等于(



A.

? 6

B.

7? 6

C.

6.函数 y

? sin 2x ? 3 cos2x ( ?
B. ?? 2,0?

?
6

11? 6

D.

?x?

?
6

5? 6

) 的值域为
C. ?0,2? D. [? 3,0]

A. ?? 2,2?

7.将函数

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),

再将所得的图象向左平移

个单位,得到的图象对应的解析式是





A.
8.函数 f(? ) =

B. sin? -1 的最大值和最小值分别是 cos? -2

C.

D. ( )

4 (A) 最大值 3 和最小值 0 4 (C) 最大值 -3 和最小值 0
9 . t ? sin ? ? cos ? 且 sin
3

3 (B) 最大值不存在和最小值 4 3 (D) 最大值不存在和最小值-4 )

? ? cos3 ? <0,则 t 的取值范围是(

A. ? 2 ,0

?

?

B. ? 2 , 2

?

?

C. ?? 1,0? ? 1, 2

?

?

D. ? 3,0 ?

?

? ? 3,???

10.把函数 y ? f ( x) 的图象沿着直线 x ? y ? 0 的方向向右下方平移 2

2 个单位,得到函数 y ? sin 3x 的图象,则
D、 y ? sin(3x ? 6) ? 2

A、 y ? sin(3x ? 2) ? 2

B、 y ? sin(3x ? 6) ? 2

C、 y ? sin(3x ? 2) ? 2

二、填空题
11.设函数

[来源:学科网 ZXXK]

f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ). 若 f ( x) ? f ?( x) 是奇函数,则 ? =

.

) ? 1 在区间 (0, ? ) 内的解是 . 4 ? 13.函数 y ? 2 sin( ? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间 6
12.方程 2 cos( x ? 14.已知 x ? R ,则函数

?

sin x ? cos x ? ? f ( x) ? max ?sin x,cos x, ? 的最大值与最小值的和等于 2 ? ?



三、解答题
15.△ABC 的三个内角为 A、B、C,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos

B?C 取得最大值,并求出这个最大值. 2

16.已知函数 f(x)=sin x+

2

3 xcosx+2cos2x,x ? R.

(I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区 间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

17.向量 a = (cosx + sinx, 2 cosx),b = (cosx – sinx, 2 sinx),f (x) = a·b.

(Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间; (Ⅱ)若 2x2 – ? x≤0,求函数 f (x)的值域
18.已知函数 f ( x) ? cos x, g ( x) ? 1 ?
2

(1)若点 A (? , y) ( ? ? [0,

?
4

1 sin 2 x . 2

] )为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的公共点,试求实数 ? 的值;
[来源:Zxxk.Com]

(2)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条对称轴,求 g (2 x0 ) 的值; (3)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x), x ? [0,

?
4

] 的值域。

答案 一、选择题 1.B 2.C 3.B 4.D 解析:由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ?

?
6

, 2) 时, F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇

函数,故选 D.
5.C 解析:依题意得 y ? sin( x ?

?
6

) ? sin( x ?

?
6

? 2? ) ? sin( x ?

单位后得到函数 y ? sin( x ?
6.B 7.C 8.A 9.A 10.D
[来源:Zxxk.Com]

11? ? ) 的图象,即 y ? sin( x ? ) 的图象。故选 C 6 6

11? 11? ) ,将函数 y ? sin x 的图象向左平移 个 6 6

二、填空题 11.

? 6

12.

7 ? 12

13. [

?
3

,

5? ] 6

14. 1 ?

2 2

三、解答题 15.解析:由 A ? B ? C ? ? , 得

B?C ? A ? ? , 2 2 2

[来源:Z#xx#k.Com]

所以有

cos

B?C A ? sin . 2 2

cos A ? 2 cos

B?C A ? cos A ? 2 sin 2 2
? 1 ? 2 sin 2 A A ? 2 sin 2 2

? ?2(sin
当 sin

A 1 2 3 ? ) ? . 2 2 2

A 1 ? B?C 3 ? , 即A ? 时, cos A ? 2 cos 取得最大值 . 2 2 3 2 2

16.解析: (1)f(x)=

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

=

3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? 3 )? . 6 2 2? ∴f(x )的最小正周期 T = =π . 2 ? ? 由题意得 2kπ - ≤2x+ ,k∈Z, 2 6
=sin(2x+

∴f(x)的单调增区间为[kπ (2)方法一:

? ],k∈Z. 3

? ? 个单位长度,得到 y=sin(2x+ )的图象,再把所得图象上所有的点向上 12 6 3 ? 3 平移 个单位年度,就得到 y=sin(2x+ )+ 的图象. 2 6 2
先把 y=sin 2x 图象上所有的点向左平移 方法二: 把 y=sin 2x 图象上所有的点按向量 a=([来源:Z.xx.k.Com]

? 3 , )平移,就得到 y=sin(2x+ )+ 的图象. 12 3 6 2

? 2

17.解析:(1)f (x) = a·b = (cosx + sinx, 2 cosx)·(cosx – sinx, 2 sinx)

= cos2x + sin2x = 2 sin (2x + 由 2k? ? 由 2k? ?

? ).……2分 4

[来源:Zxxk.Com]

?
2

? 2x ? ? 2x ?

?
4

? 2k? ? ? 2k? ?

?
2

(k∈Z) ,解得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? (k∈Z). 8 8

?
2

?
4

3? ? 5? (k∈Z),解得 k? ? ? x ? k? ? (k∈Z). 2 8 8

3? ?? ? ∴函数 f (x)的单调递增区间是 ?k? ? , k? ? ? (k∈Z); 8 8? ? ? 5? ? ? 单调递减区间是 ?k? ? , k? ? ? (k∈Z).……7分 8 8? ?

(2)∵2x2– ? x ≤0,∴0≤x ≤

? .……8分 2
? 时,f (x)单调递增; 8
[来源:学,科,网]

由(1)中所求单调区间可知,当 0≤x≤ 当

? ? ≤x≤ 时,f (x)单调递减.……10分 2 8

又∵f (0) = 1>f (

? ? ? ) = – 1,∴–1 = f ( )≤f (x)≤f ( ) = 2 . 2 2 8

∴函数 f (x)的值域为 [?1, 2] .……12分

18.解析: (1)∵点 A (? , y) ( 0 ? ? ? ? )为函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象的公共点

∴ cos ? ? 1 ?
2

1 1 1 1 sin 2? ? ? cos 2? ? 1 ? sin 2? 2 2 2 2 ? cos 2? ? sin 2? ? 1

? cos2 2? ? sin 2 2? ? 2sin 2? cos 2? ? 1 ? sin 4? ? 0
∴ 4? ? k? , k ? Z ? ? ? (2)∵ f ( x) ? cos x ?
2

k? ,k ?Z 4

∵ ? ? [0,

?
4

] ∴? ? 0 ,

? 4

[来源:Z§xx§k.Com]

1 1 ? cos 2 x 2 2 1 1 sin 4 x0 ? 1 ? sin 2k? ? 1 2 2
[来源:学科网]

∴ 2 x0 ? k? , k ? Z ∴ g (2 x0 ) = 1 ? (3) ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x)

∴ h( x) ? cos x ? 1 ?
2

1 1 1 1 sin 2 x ? ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x 2 2 2 2

?

1 1 3 2 2 2 3 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ( cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 2 2 2 2 2

?
∵ x ? [0,

2 ? 3 sin(2 x ? ) ? 2 4 2
]


?
4

?
4

? 2x ?

?
4

?

3? 4



2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4

∴2 ?

2 ? 3 3? 2 . sin(2 x ? ) ? ? 2 4 2 2

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

即函数 h( x) 的值域为 [2,

3? 2 ]. 2


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