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走向高考·数学第二轮复习专题1第1讲(集合与常用逻辑用语).


走向高考· 数学
新课标版 ? 二轮专题复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学

专题一
集合与常用逻辑用语、函数与导数

专题一

集合与常用逻辑用语、函数与导数

走向高考 ·二轮专题复

习 ·新课标版 ·数学

专题一
第一讲 集合与常用逻辑用语

专题一

集合与常用逻辑用语、函数与导数

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命题角度聚焦

核心知识整合

学科素能培养 方法警示探究

命题热点突破

课后强化作业

专题一 第一讲

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命题角度聚焦

专题一 第一讲

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集合知识一般以一个选择题的形式出现,其中以集合知 识为载体,集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重

点,难度为中、低档;对常用逻辑用语的考查一般以一个选
择题或一个填空题的形式出现,以集合、函数、数列、三角 函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体,考查充要条 件或命题的真假判断等,难度一般不大.

专题一 第一讲

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核心知识整合

专题一 第一讲

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1.集合的概念、运算和性质 (1)集合的表示法:列举法,描述法,图示法. (2)集合的运算: ①交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}. ②并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

③补集:?UA={x|x∈U,且x?A}.
(3)集合的关系:子集,真子集,集合相等.

专题一 第一讲

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(4)需要特别注意的运算性质和结论. ①A∪?=A,A∩?=?; ②A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U.

A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A.

专题一 第一讲

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2.四种命题
(1)用p、q表示一个命题的条件和结论,?p和?q分别表示 条件和结论的否定,那么若原命题:若p则q;则逆命题:若q 则p;否命题:若?p则?q;逆否命题:若?q则?p. (2)四种命题的真假关系

原命题与其逆否命题同真同真;原命题的逆命题与原命
题的否命题同真同假.

专题一 第一讲

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3.充要条件 (1) 若 p?q ,则 p 是 q 成立的充分条件, q 是 p 成立的必要条 件. (2)若p?q且q?/ p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必

要不充分条件.
(3)若p?q,则p是q的充分必要条件.

专题一 第一讲

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4.简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非” 用逻辑联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到 一个新命题,记作“p∧q”; 用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到

一个新命题,记作“p∨q”;
对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作 “?p”.

专题一 第一讲

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5.全称量词与存在量词 (1)全称命题p:?x∈M,p(x). 它的否定?p:?x0∈M,?p(x0).

(2)特称命题(存在性命题)p:?x0∈M,p(x0).
它的否定?p:?x∈M,?p(x).

专题一 第一讲

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1.认清集合元素的属性及元素所代表的意义. 2.区分命题的否定和否命题的不同,否命题是对命题的 条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定. 3.p或q的否定:?p且?q;p且q的否定:?p或?q. 4.“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能

推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B
不能推出A.

专题一 第一讲

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命题热点突破

专题一 第一讲

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集合的概念及运算
设集合A={4,5,6,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U

=A∪B,则集合?U(A∩B)中的元素共有(
A.3个 C.5个 [答案] B [ 分析 ] [解析] B.4个 D.6个

)

依据交、并、补运算的定义可直接求出 A∪B , U = A∪B = {3,4,5,6,7,8,9} , A∩B = {4,7,9} ,

A∩B及?U(A∩B).
∴?U(A∩B)={3,5,6,8},故选B.
专题一 第一讲

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( 文 )(2014· 新 课 标 Ⅰ 理 , 1) 已 知 集 合 A = {x|x2 - 2x - 3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( )

A.[-2,-1]
C.[-1,1] [答案] A [解析] 以选A.

B.[-1,2)
D.[1,2)

A={x|x≤-1或x≥3},所以A∩B=[-2,-1],所

专题一 第一讲

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( 理 )(2014· 甘肃三诊 ) 若 A = {x|2<2x<16 , x∈Z} , B = {x|x2 -2x-3<0},则A∩B中元素个数为( A.0 B.1 )

C.2
[答案] B [解析] B.

D.3
A={2,3},B={x|-1<x<3},∴A∩B={2},故选

专题一 第一讲

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[方法规律总结] 1.用列举法给出具体集合,求交、并、补集时,直接依 据定义求解. 2.用描述法给出集合,解题时应先将集合具体化,再依

据条件求解,例如方程、不等式的解集,应先解方程(不等式)
求出集合,特别注意集合中的限制条件(如x∈Z).

专题一 第一讲

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3.解答集合间的包含与运算关系问题的思路:先正确理 解各个集合的含义,弄清集合元素的属性;再依据元素的不 同属性采用不同的方法对集合进行化简求解 ,一般的规律 为:

(1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解;
(2)若给定的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若给定的集合是抽象集合,常用Venn图求解.

专题一 第一讲

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命题真假判断与逻辑联结词、量词 (2013· 安 徽 文 , 15) 如 图 , 正 方 体 ABCD -

A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q是线段CC1上的动点,
过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面为 S,则下列命题 正确的是____________.(写出所有正确命题的编号)

专题一 第一讲

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1 ①当 0 < CQ<2时 ,S为 四 边 形 ; 1 ②当 CQ=2时 ,S为 等 腰 梯 形 ; 3 1 ③当 CQ=4时 , S 与 C1D1 的 交 点 R满 足 C1R=3; 3 ④当4<CQ<1 时 ,S为 六 边 形 ; ⑤当 CQ=1 时 ,S的 面 积 为 6 2.

专题一 第一讲

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[答案] ①②③⑤
[ 解析] ①当 Q 为 CC1 的中点时,PQ∥BC1∥AD1,此时

1 1 截面为等腰梯形 APQD1 , CQ = 2 ;②当 0<CQ< 2 时,在平面 AA1D1D 内作 AE∥PQ,显然 E 点在 DD1 上,此时截面 S 为四 边形 APQE;

专题一 第一讲

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3 ③如 图( 1 ) ,当 CQ=4时 , 作 BF∥PQ 交 CC1 的 延 长 线 于 1 G1F=2, 作 AE∥BF,交 DD1 的 延 长 线 于

F,则

1 E, 则 D1E=2,AE

C1Q ∥PQ, 连 接 EQ 交 C1D1 于 R, 则 Rt△RC1Q∽Rt△RD1E, ∴D E 1 C1R 1 1 3 =RD =2,∴C1R=3;④当4<CQ<1 时 , 如 图 ( 1 ) 设 M 为 AE 与 1 A1D1 的 交 点 , 连 接 RM, 此 时 S为 五 边 形 A P Q R M ;

专题一 第一讲

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⑤当 CQ=1 时,如图( 2 ) ,作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于 E, 交 A1D1 于点 M, 显 然 点 M 为 A1D1 的中点,∴S 为菱形 A P Q M ,

1 1 6 其面积为2MP· AQ=2× 2× 3= 2 .

专题一 第一讲

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(2014·邯郸一模)下列命题错误的是( “?x∈R,均有x2+x+1≥0”

)

A.对于命题p:“?x∈R,使得x2+x+1<0”,则?p:
B.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则x2-3x+2≠0” C.若p∧q是假命题,则p、q均为假命题

D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
[答案] C
专题一 第一讲

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[ 解析 ] ∴C错. [点评]

p∧q 是假命题时, p 与 q 至少有一个为假命题, 此类题目解答时,只要能选出符合题意的答案即

可,因此若能快速找出答案可不必逐个判断.

专题一 第一讲

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[方法规律总结]
1.判定命题真假的方法: (1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别真假. (2) 四种命题真假的判断依据:一个命题和它的逆否命题 同真假.

(3)形如p∨q、p∧q、?p命题真假根据真值表判定.
(4) 判定全称命题为真命题,必须考察所有情形,判断全 称命题为假命题,只需举一反例;判断特称命题(存在性命题) 真假,只要在限定集合中找到一个特例,使命题成立,则为 真,否则为假.
专题一 第一讲

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2.注意含逻辑联结词的命题的否定. 3 .设函数 y = f(x)(x∈A) 的最大值为 M ,最小值为 m ,若 ? x∈A , a≤f(x) 恒成立,则 a≤m ;若 ? x∈A , a≥f(x) 恒成立,则

a≥M ; 若 ? x0∈A , 使 a≤f(x0) 成 立 , 则 a≤M ; 若 ? x0∈A , 使
a≥f(x0)成立,则a≥m.

专题一 第一讲

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四种命题及其关系
有下列四个命题:

(1)若“xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题;
(2)“面积相等的三角形全等”的否命题; (3)“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题; (4)“若A∩B=B,则A?B”的逆否命题. 其中真命题为( )

A.(1)(2)
C.(4)

B.(2)(3)
D.(1)(2)(3)
专题一 第一讲

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[答案] D [ 解析] (1) 的逆命题: “ 若x 、y 互为倒数,则 xy = 1” 是 真命题; (2) 的否命题: “面积不相等的三角形不是全等三角 形 ” 是真命题; (3) 的逆否命题: “ 若x2 - 2x + m =0 没有实数

解,则m>1”是真命题;命题(4)是假命题,所以它的逆否命题
也是假命题.如 A = {1,2,3,4,5} , B = {4,5} ,显然 A?B 是错误 的,故选D.

专题一 第一讲

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已知a、b、c都是实数,则命题“若a>b,则ac2>bc2”与它

的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数
是( ) A.4 C.1 [答案] B B.2 D.0

[ 分析 ]

解答本题要特别注意 c2≥0 ,因此当 c2 = 0 时,

ac2>bc2是不成立的.
专题一 第一讲

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[解析]

a>b时,ac2>bc2不一定成立; ac2>bc2时,一定有

a>b,即原命题为假,逆命题为真,故逆否命题为假,否命题 为真,故选B. [ 点评 ] 真同假. 原命题与其逆否命题同真同假,原命题与其逆

(或否)命题无真假关系,原命题的逆命题与原命题的否命题同

专题一 第一讲

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[方法规律总结]
1.要严格区分命题的否定与否命题.命题的否定只否定 结论,否命题既否定条件,也否定结论. 常见命题的否定形式有:
原语句 是 都是 > 至少 有一 个 一个 也没 有 至多 有一 个 至少 有两 个 ?x∈A使 p(x)真 ?x0∈m, p(x0)成立

否定形 式

不是

不都 是



?x0∈A使 ?x∈M,p(x) p(x0)假 不成立

专题一 第一讲

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原语句 否定形式

p或q ?p且?q

p且q ?p或?q

2.要注意掌握不同类型命题的否定形式,

(1)简单命题“若A则B”的否定.
(2)含逻辑联结词的复合命题的否定. (3)含量词的命题的否定. 3.解答复合命题的真假判断问题,先弄清命题的结构形 式,再依据相关数学知识判断简单命题的真假,最后确定结

论.
专题一 第一讲

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充分条件与必要条件 (2014·新课标Ⅱ文,3) 函数 f(x) 在 x =x0 处导数 存在,若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( )

A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

专题一 第一讲

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[答案] C [ 解析] ∵x =x0 是f(x)的极值点, ∴f′(x) =0 ,即 q?p,而 由f′(x0)=0,不一定得到x0是极值点,故p?/ q,故选C.

专题一 第一讲

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(2013·徐州检测)已知:p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)·(x- m-1)≤0,若?p是?q的充分不必要条件,则实数m的取值范围

为________.
[答案] [2,4]

专题一 第一讲

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[解 析]

由|x-3 | ≤2 得,1≤x≤5;

由(x-m+1 ) ( · x-m-1 ) ≤0 得 , m-1≤x≤m+1 . ∵? p 是? q的 充 分 不 必 要 条 ∴q 是 p 的 充 分 不 必 要 条 件 ,
? ?m-1≥1, ∴? ? ?m+1≤5,

件 ,

∴2≤m≤4 .

专题一 第一讲

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[方法规律总结]
1.要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的 正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明. 2.要注意转化:如果p是q的充分不必要条件,那么?p是 ?q 的必要不充分条件.同理,如果 p 是 q 的必要不充分条件,

那么?p是?q的充分不必要条件;如果 p是q的充要条件,那么
?p是?q的充要条件. 3.命题p与q的真假都与m的取值范围有关,使命题p成立 的 m 的取值范围是 A ,使命题 q 成立的 m 的取值范围是 B ,则 “p?q”?“A?B”.
专题一 第一讲

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学科素能培养

专题一 第一讲

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集合与函数、不等式、解析几何等知识的交汇
2 y 设集合 A={(x,y)|x2+ 4 =1},B={(x,y)|y=

2x},则 A∩B 的子集的个数是( A.4 C.2 [ 答案] B.3

)

D.1

A

专题一 第一讲

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[解 析]

在 同 一 坐 标 系 下 画 出 椭 圆

2 y x2+ 4 =1 及 函 数 y=2x

的 图 象 , 结 合 图 形 不 难 得 知 它 们 的 图 象 有 两 个 公 共 点 , 因 此 A∩B 中 的 元 素 有 2个 , 其 子 集 共 有 22=4 个 .

专题一 第一讲

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( 2 0 1 4 ·

中原名校第二次联考

) 若 a>b>0 , 集 合 M = )

a+b {x|b<x< 2 },N={x| ab<x<a},则集合 M∩N 等于( A.{x|b<x< ab} a+b C.{x| ab<x< 2 } B.{x|b<x<a} a+b D.{x| 2 <x<a}

专题一 第一讲

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[ 答案]
[ 解析]

C
a+b ∵a>b>0,∴a> 2 > ab>b,

a+b ∴M∩N={x| ab<x< 2 }.
[方法规律总结] 解答集合与其他知识交汇的题目时,先看集合的代表元

素是什么,弄清表达式的含义,并恰当翻译,依据相关知识
求解后再回归到集合问题得出结论.

专题一 第一讲

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新定义下的集合问题
(文)对于任意的两个正数 m、n,定义运算⊙: m+n 当 m、n 都为偶数或都为奇数时,m⊙n= 2 ;当 m、n 为一 奇一偶时,m⊙n= mn,设集合 A={(a,b)|a⊙b=6,a、b∈ N*},则集合 A 中的元素个数为________. [ 答案] 17

专题一 第一讲

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[解 析] 同 为 偶 数 , 且

a+b 令 2 =6 得 , a+b=1 2, 因 为 a与b同 为 奇 数 或 a,b∈N*,∴这 样 的 (a,b)共有 11 个 , 令 a与b一 奇 一 偶 , 且 a b=

6, 则a b =3 6, 因 为 此 时 =4×9, 故 这 样 的 =1 7 个 .

3 6 =1×3 6 =3×1 2 11+6

(a,b)有 6 个 , ∴集 合 A中 共 有 元 素

专题一 第一讲

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( 理 ) 设 S 是实数集 R 的非空子集,如果 ? a 、 b∈S ,有 a +
b∈S , a - b∈S ,则称 S 是一个“和谐集”.下面命题中假命 题是( ) A.存在有限集S,S是一个“和谐集” B .对任意无理数 a ,集合 {x|x = ka , k∈Z} 都是“和谐

集”
C.若S1≠S2,且S1、S2均是“和谐集”,则S1∩S2≠? D .对任意两个“和谐集” S1 、 S2 ,若 S1≠R , S2≠R ,则 S1∪S2=R [答案] D
专题一 第一讲

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[分析] 利用“和谐集”的定义一一判断即可. [ 解析 ] 对于 A ,如 S = {0} ,显然该集合满足: 0 + 0 = 0∈S,0-0=0∈S,因此A正确;对于B,设任意x1∈{x|x=ka,

k∈Z} , x2∈{x|x = ka , k∈Z} ,则存在 k1∈Z , k2∈Z ,使得 x1
= k1a , x2 = k2a , x1 + x2 = (k1 + k2)a∈{x|x = ka , k∈Z} , x1 - x2 = (k1 - k2)·a∈{x|x = ka , k∈Z} ,因此对任意无理数 a ,集合 {x|x=ka,k∈Z}都是“和谐集”,B正确;

专题一 第一讲

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对于 C, 依 题 意 , 当

S1、S2 均是“和谐集”时 , 若 a∈S1, 则 有

a-a∈S1,即 0∈S1, 同 理 0∈S2, 此 时 S1∩S2≠?,C 正 确 ; 对 于 D, 如 取 S1={0}≠R,S2={x|x= 2k,k∈Z}≠R, 易 知 集 合 S1、S2 均是“和谐集”,此时 S1∪S2≠R,D 不正确.

专题一 第一讲

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( 文 )(2014· 豫东、豫北十所名校联考 ) 定义 A×B = {z|z =
xy , x∈A 且 y∈B} , 若 A = {x| - 1<x<2} , B = { - 1 , 2} , 则 A×B=( ) B.{-1,2} D.{x|-2<x<4} A.{x|-1<x<2} C.{x|-2<x<2}

[答案] D
[解析] ∵A={x|-1<x<2},B={-1,2},∴由A×B的定 义知,当x∈A,y=-1时,-2<z<-1;当x∈A,y=2时,- 2<z<4,∴A×B={x|-2<x<4}.
专题一 第一讲

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(理)(2014·哈三中二模)设集合A={1,2,3},B={0,1,2,4},
定义集合S={(a,b)|a∈A,b∈B,a+b>ab},则集合S中元素 的个数是( A.5 C.8 ) B.6 D.9 由a+b>ab得(a-1)(b-1)<1,∵a∈A,b∈B,∴

[答案] C
[解析] 当 a = 1 时, b 有 4 种取法,当 a = 2 时, b 有 2 种取法,当 a = 3 时,b有2种取法,由分类加法原理知,集合S中有8个元素.

专题一 第一讲

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[方法规律总结] 求解集合中的新定义问题,主要抓两点:一是紧扣新定 义将所叙述问题等价转化为已知数学问题,二是用好集合的

概念、关系与性质.

专题一 第一讲

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忽视集合关系与运算中的边界点致误 已知集合A={x|x-2<0},B={x|x<a},若A∩B =A,则实数a的取值范围是( A.(-∞,-2) C.(-∞,2] [错解] 选B. ) B.(2,+∞) D.[2,+∞)

[辨析]

当A?B时,既要注意A=?的情形,也要注意A=

B的情形,这是易错的两个地方.
专题一 第一讲

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[正解] 故选D.

∵A∩B=A,∴A?B,又∵A={x|x<2},∴a≥2,

[警示] ①A∩B=A,A∪B=B,都要考虑A=?的情形.

②A?B包括A=?和A=B的情形,注意端点值的检验.

专题一 第一讲

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课后强化作业
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专题一 第一讲


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