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[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第三讲:第四课柯西不等式与排序不等式1

时间:2014-06-26


第三讲

柯西不等式与 排序不等式

三 排序不等式

虎林高级中学

栾红民

先思考一个具体的数字计算题: 思考 1.已知两组数 1,2,3 和 4,5,6,若 c1 , c2 , c3 是 4, 32 5,6 的一个排列,则 1c1 ? 2c2 ? 3c3 的最大值是__

___, 28 最小值是_____.

分析: 利用排列组合的知识可知共有 6 个不同 的和数,本题可以直接计算比较得答案.

如果数大一点呢 ? 思考 2.已知两组数 1, 2, 3 和 45,25,30,若 c1 , c2 , c3 是 45, 25,30 的一个排列,则 1c1 ? 2c2 ? 3c3 的最 180 220 最小值是_____. 大值是_____,

可以通过直觉猜测到答案.

对 应 关 系 ( 1,2,3) ( 25,30,45) ( 1,2,3) ( 25,45,30) ( 1,2,3) ( 30,25,45) ( 1,2,3) ( 30,45,25) ( 1,2,3) ( 45,25,30) ( 1,2,3) ( 45,30,25)







S1 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 220 S2 ? a1b1 ? a2b3 ? a3b2 ? 205 S3 ? a1b2 ? a2b1 ? a3b3 ? 215 S4 ? a1b2 ? a2b3 ? a3b1 ? 195 S5 ? a1b3 ? a2b1 ? a3b2 ? 185 S6 ? a1b3 ? a2b2 ? a3b1 ? 180

同序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和

发现:反序和≤乱序和≤顺序和.

探究 如图3.3 ? 1, 设?AOB ? ? , 自点O沿OA 边依次取n个点A1 , A2 , ? ??, An ,沿 OB 边也依次取点B1 , B2 ,
Bj
B2
B1

Bn

B

某个点Bj ? j ? 1,2,? ? ?, n ?连结, 得到

? ??, Bn .选取某个点Ai ?i ? 1,2,? ? ?n ?与 ?Ai OB j .这样一一搭配 , 一共可以
O

?
A 1 A 2 Ai An

A

得到n个三角形 .显然, 搭配的方法

图3.3 ? 1

不同, 得到的?Ai OB j 不同,因而三角形面积也可能 不同. 问 : OA 边上的点与OB 边上的点如何一一搭配 , 才能使 得到的n个三角形面积之和最大 ? 如何一一搭配 , 才能 使得到的n个三角形的面积之和最 小?

设OAi ? ai , OB j ? b j ?i, J ? 1,2,? ? ?, n ?.由已知条件 , 得 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an , b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn . 1 1 因为?Ai OB j 的面积是 ai b j sin ? ,而 sin ? 是常 2 2 数, 于是, 上面的几何问题就可以 归结为下面的
代数问题 : c1 , c2 ,? ? ?, cn 是数组b1 , b2 ,? ? ?, bn的任何一个排列 ,

问以下的n个乘积的和 S ? a1 c1 ? a2 c2 ? ? ? ? ? an cn 何时取得最大值?

我们把上面的和S 叫做数组?a1 , a2 ,? ? ?, an ?和 ?b1 , b2 ,? ? ?, bn ?的乱序和其中按相反顺序相乘 所得积的和 S1 ? a1bn ? a2bn ?1 ? a3bn ? 2 ? ? ? ? ? anb1 称为 反序和, 按相同顺序相乘所得积的 和S 2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? ? ? anbn , 称为顺序 和 .我们对一般的实数组也作同样的定义. 几何直觉告诉我们, 下面的不等式应该成立: S1 ? S ? S 2 . 即反序和? 乱序和? 顺序和. 探究 为初步检验上面的直觉 , 不妨用两组

数 ?例如1,2,3和4,5,6?试试, 看看顺序和是否 最大, 反序和是否最小 .

检验的结果会与直觉一 致, 但这还不能完全说明 直觉一定正确 .下面我们进行一般性证 明.

证明 设a1 ? a2 ? ? ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn为两组 数, c1 , c2 ,? ? ?, cn是b1 , b2 ,? ? ?, bn的任一排列,因为b1 , b2 , ? ??, bn的全排列只有n!个, 所以 S ? a1 c1 ? a2 c2 ? ? ? ? ? an cn ① 的不同的值也只有有限个?个数 ? n!?, 其中必有 最大值和最小值. 考虑① 式, 若c1 ? b1 , 则有某ck ? b1 ?k ? 1?, c1 ? ck .

将①中c1 , ck 对换, 得 S `? a1 ck ? ? ? ? ? ak c1 ? ? ? ? ? an cn



? a1ck ? ak c1 ? a1c1 ? ak ck ? ?ak ? a1 ??c1 ? ck ? ? 0. 这说明将①中的第一项调换为 a1b1后, 和式不减小 . 若c1 ? b1 , 则转而考察 c2 , 并进行类似讨论 . 类似地, 可以证明 , 将①中的第一项换为 a1b1 , 第二 项换为a2b2 后, 和式不减小 . 如此继续下去 , 经有限步调整 , 可知一切和中 ,最 大和数所对应的情况只 能是数组 ?ci ?由小到大 排序的情况, 最大和数是顺序和 , 即 S ? S2 . 同样可证, 最小和数是反序和 , 即S1 ? S1 . 因此S1 ? S ? S2 .至此我们已经证明了前 面的直觉 是正确的 .

② ? ① 得S `? S

思考 顺序和S2与反序和S1能相等吗? 如果能, 那 么什么条件下两者相等 ?

容易发现,当a1 ? a2 ? ? ? ? ? an , 或b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn 时, 顺序和等于反序和 .即S1 ? S ? S2 .
事实上, 如果a1 , a2 ,? ? ?, an 不全相等, 并且b1 , b2 ,? ? ?, bn 也不全相等 , 则一定可以找到 i, j ?1 ? i, j ? n ? 和l , k (1 ? l , k ? n)使得ai ? a j , bl ? bk .用类似上面证明 的方法, 考虑和数
?

?aibk ? a j bl ? al bi ? ak b j ?,

S ? S2 ? ?ai bi ? a j b j ? al bl ? ak bk ? ?

?aibl ? a j bk ? al bi ? ak b j ?,

S ?? ? S2 ? ?ai bi ? a j b j ? al bl ? ak bk ? ?

可以看出 , 这两个和数都符合前面 S的形式, 而且 S ?? ? S ? ? ?a j ? ai ??bk ? bl ? ? 0, 即S ? ? S ?? .
进而得 S1 ? S ? S ? S2 .
? ??

归结上面证明的结论 ,得 定理 ?排序不等式sequence inequality , 又称排序原理? 设a1 ? a2 ? ? ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn为两组实数, c1 , c2 ,? ? ?, cn是b1 , b2 ,? ? ?, bn的任一排列 , 那么 a1bn ? a2bn ?1 ? ? ? ? ? anb1 ? a1 c1 ? a2 c2 ? ? ? ? ? an cn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ? ? anbn . 当且仅当a1 ? a2 ? ? ? ? ? an或b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn时, 反 序和等于顺序和 . 排序不等式也是基本而 重要的不等式 , 它的思想简单 明了 , 便于记忆和使用 , 许多重要不等式可以借 助排序 不等式得到证明 .下面举例说明排序不等 式的应用 .

例1 有10 人各拿一只水桶去接水 , 设水龙头注满 第i ?i ? 1,2,? ? ?,10 ? 个人的水桶需要 ti 分钟, 假定这些 ti 各不相同 .问只有一个水龙头时 , 应如何安排 10 个 人的顺序 , 使他们等候的总时间最 少? 这个最少的 总时间等于多少 ? 分析 这是一个实际问题 ,需要将它数学化 ,即转化 为数学问题 .若第一个接水的人需 t1 分, 接这桶水时 10人所需等候的总时间是 10t1分; 第二个接水的人

需t2 分, 接这桶水时 9人所需等候的总时间是 9t2分; 如此继续下去 , 到第10人接水时, 只有他一人在等 , ,10人都接满水所需的 需要t10分. 所以, 按这个顺序 ?分?是10t1 ? 9t2 ? ? ? ? ? t10. 等待总时间

这个和数就是问题的数 学模型, 现在考虑t1 , t2 ,? ? ?, t10 满足什么条件这个和数 最小.

解 等待总时间?分?是 10t1 ? 9t2 ? ? ? ? ? t10 . 根据排序不等式,当t1 ? t2 ? ? ? ? ? t10 时, 总
时间取最小值. 这就是说, 按水桶的大小由小到大依次接水,

10人等候的总时间最少, 这个最少时间是 10t1 ? 9t2 ? ? ? ? ? t10 . 其中t1 ? t2 ? ? ? ? ? t10 .

例1 :有10人各拿一只水桶去接水,设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要 ti分,假定这些ti各不相同。 问:只有一个水龙头时,应该如何安排10 人的顺序,使他们等候的总时间最少? 这个最少的总时间等于多少?

解:总时间(分)是10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式,当t1<t2<…<t9<t10时, 总时间取最小值。 即:按水桶的大小由小到大依次接水, 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10

练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数,证明: a1c1 ? a2c2 ? ... ? an cn ? a ? a ? ... ? a ,
2 1 2 2 2 n

其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。

例2 设a1 , a2 ,? ? ?, an 是n个互不相同的正整数 , 1 1 1 a2 a3 an 求证 1 ? ? ? ? ? ? ? ? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 . 2 3 n 2 3 n
分析 a1 , a2 ,? ? ?, an 是n 个互不相同的正整数 ,因 此它们可以从小到大地 排序, 观察问题中的式 子, 可以猜想到与a1 , a2 , ? ? ? , an 对应另一列数是 1 1 1 1, 2 , 2 ,? ? ?, 2 .由此可以联想到用排序 不等式 2 3 n 证明的思路 .

证明 设 b1 , b2 ,? ? ?, bn 是a1 , a2 ,? ? ?, an的一个排列, 且满足b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn .

因b1 , b2 ,? ? ?, bn 是互不相同的正整数, 故 b1 ? 1, b2 ? 2,? ? ?, bn ? n.

1 1 1 又因 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ,由排序不等式, 得 2 3 n a2 a3 an b2 b3 bn a1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? b1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 ? 1?1 ? 2? 2 ? 3? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 2 3 n 1 1 1 ? 1 ? ? ? ??? ? . 2 3 n

练习
2.已知a, b, c为正数,用排序不等式证明 2(a ? b ? c ) ? a (b ? c) ? b (a ? c) ? c (a ? b).
3 3 3 2 2 2

定理(排序不等式,又称排序定理) 设a1 ? a2 ? ... ? an,b1 ? b2 ? ... ? bn为两组 实数c1 , c2 ...cn是b1 , b2 ...bn的任一排列, 那么: a1bn ? a2bn ?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2 c2 ? ... ? an cn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anb.n 当且仅当a1 ? a2 ? ... ? an或b1 ? b2 ? ... ? bn时, 反序和等于顺序和。

反序和≤乱序和≤顺序和