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2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案


2015 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00—11:30) 题号 得分 评卷人 复核人 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 3.书写不要超过装订线; 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 ? e ? x ,x ? R 的最小值是 2. 设

x1 ? 1,xn ? . . 2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 4.不得使用计算器. 一 二 9 10 11 12 总分

xn?1 ? 1 ,n ? 2 .数列 {xn } 的通项公式是 xn ? 2 xn?1 ? 4

3. 设平面向量 ? , ? 满足 1 ? | ? |,| ? |,| ? ? ? | ? 3 ,则 ? ? ? 的取值范围是 . 4. 设 f ( x) 是定义域为 R 的具有周期 2? 的奇函数,并且 f (3) ? f (4) ? 0 ,则 f ( x) 在
[0,10] 中至少有

个零点.

5. 设 a 为实数,且关于 x 的方程 (a ? cos x)(a ? sin x) ? 1 有实根,则 a 的取值范围是 . 6. 给定定点 P(0,1) , 动点 Q 满足线段 PQ 的垂直平分线与抛物线 y ? x 2 相切,则 Q 的轨 迹方程是 .
z ?i 的实 1? z

7. 设 z ? x ? yi 为复数,其中 x, y 是实数, i 是虚数单位,其满足 z 的虚部和 部均非负,则满足条件的复平面上的点集 ( x, y ) 所构成区域的面积是 .

8. 设 n 是正整数.把男女乒乓球选手各 3n 人配成男双、女双、混双各 n 对,每位选手 均不兼项,则配对方式总数是 .

二、解答题(第 9 题 20 分,第 10━12 题 22 分,共 86 分)
9.

设正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 .求证: a 2 ?

1 1 ? b2 ? ? 3 . a b

10. 在如图所示的多面体 ABCDEF 中,已知 AD, BE, CF

都与平面 ABC 垂直.设 AD ? a,BE ? b,CF ? c ,
AB ? AC ? BC ? 1 .求四面体 ABCE 与 BDEF 公共部

分的体积(用 a, b, c 表示) .

11. 设平面四边形 ABCD 的四边长分别为 4 个连续的正整数。证明:四边形 ABCD 的面

积的最大值不是整数。

12. 已知 31 位学生参加了某次考试, 考试共有 10 道题, 每位学生解出了至少 6 道题. 求

证:存在两位学生,他们解出的题目中至少有 5 道相同.

试题解答
一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 当 x ? ?3 时, f(x ) ? ?2x ? 4 ? e?x ,f ? (x ) ? ?2 ? e?x ? 0 , 因此 f (x )单调减; 当 ? 3 ? x ? ?1 时, f(x ) ? 2 ? e?x , f ? (x ) ? ? e?x ? 0 ,此时 f ( x) 亦单调减;
(x ) ? 0 得 x ? ? ln 2. 当 x ? ?1 时, f(x ) ? 2x ? 4 ? e?x , f ? (x ) ? 2 ? e?x . 令 f ?

因此 f ( x) 在 x ? ? ln 2 处取得最小值 6-2ln2.

2.

设 u ? a ? cos x,v ? a ? sin x . 方程有实根 ? 双曲线 uv ? 1 与圆 (u ? a) 2 ? (v ? a) 2 ? 1 有公共交点. 注意到圆的圆心位于直线 y ? x 之上,只须找到圆与双曲线相切时圆 心的位置即可. 易计算得,圆与双曲线切于 A(1,1)点时,圆心坐标为 1 ?

2 / 2或

1?

圆心坐标为 ? 1 ? 2 / 2 .圆与双曲线切于 B(-1,-1)点时,

2 / 2或 ? 1 ?

2 / 2.

? ? 2 2? 2 2? , ?1 ? , 1? 因此,a 的取值范围为 a ? ?? 1 ? ? ? ?1 ? ?. 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

x ?1 x ? 1 3 x n ?1 ? 1 ? 3 ? 2x ?1 3. 由 xn ? 1 ? 3 n?1 和 2 xn ? 1 ? 2 n?1 ,可得 n ? ?? ? 2 xn?1 ? 4 2 xn?1 ? 4 2 x n ? 1 2 2 x n ?1 ? 1 ? 2 ?
故 xn ?
2 n?2 ? 3n?2 . 2 ? 3n?2 ? 2 n?2

n?2



4.

? ?? ?

1 2 2 ? ?? ?? ? ? 2

?

2

?9 17 1 ?? 1? 9 ? ? . ? ? ? ? ?? ? ? 2 2 4

2

?? ??

2

?? 9 . 4

? 17 9 ? 以上等号均可取到.故 ? ? ? 的取值范围是 ?? , ? . ? 2 4?

5.

由题设可知 f (? ? x ) ? f (?? ? x ) ? ?f (? ? x )。 令 x=0 得 f (? ) ? 0 。 另一方面,

f(2? ? 4) ? f(?4) ? ?f(4) ? 0. 类似地, f(2? - 3) ? 0 因此, f ( x) 在 [0,10] 中
的零点一定包含 0,2π ? 4,3, π,2π ? 3,4,2π,4π ? 4,2π ? 3,3π,4π ? 3 这 11 个零点.

2t ). 则 l 的方程为 6. 设 PQ 的垂直平分线 l 与抛物线 y ? x 2 相切于 (t , t 2 ) ,切向为(1,

y ? 2t ( x ? t ) ? t 2 .设 Q( x, y) ,由 PQ 与 l 垂直且 PQ 中点在 l 上,可得

? x ? 2t ( y ? 1) ? 0 ① . ?1 2 ? 2 ( y ? 1) ? tx ? t ②
由 ① 解得 t ?
x ,代入 ② 得 Q 的轨迹方程为 2 ? 2y

? 1? (2 y ? 1) x 2 ? 2( y ? 1)( y ? 1) 2 ? 0 , y ? ?? 1, ? . ? 2?

7.

Re

z ?i x ? (y ? 1)i x(1 ? x ) ? (y ? 1)y ? Re ? ? 0 等价于 1?z 1?x ?yi (1 ? x )2 ? y 2
1 2 . 又由于 y

(x ? 1 )2 ? (y ? 1 )2 ? 2 2
计算得其面积为

? 0 ,故满足条件的点集构成了圆的一部分,

3? ? 2 . 8

8. 从 3n 名男选手中选取 2n 人作为男双选手有 C32nn 种选法,把他们配成 n 对男双选 手有
(2 n )! 种配对方式。女选手类似。把 n 个男选手和 n 个女选手配成 n 对混双有 n! 2n n !
2

(3n)! ? n n! ? n!? 种配对方式。因此,配对方式总数是 ? C 32nn C 2 . n n ? 2 ? (n!) 3 2 2 n ?

二、 解答题(第 9 题 20 分,第 10━12 题每题 22 分,共 86 分)
1),由均值不等式有 9. 证明:对任意 a ? (0,

4a ?
因此,

1

a

? 2 4a ?

1

a

? 4. ----------------------------------(5 分)

a2 ?

1 1 ? a 2 ? 4a ? 4a ? ? a 2 ? 4a ? 4 ? 2 ? a .------------(15 分) a a

1), b 2 ? 同理,对于任意 b ? (0,

1

b

? 2 ? b.

因此, a 2 ?

1 1 ? b 2 ? ? 2 ? a ? 2 ? b ? 3 .---------------------(20 分) a b

10. 设 AE ? BD ? G,BF ? CE ? H ,则四面体 BEGH 是 ABCE 与 BDEF 的公共部分. -----------------------------------------------------(5 分) 易计算得: G 到直线 AB 的距离 d 1 ?
G 到平面 BCFE 的距离 d 2 ?
H 到直线 BC 的距离 d 3 ?

ab ,---------------------------------(10 分) a?b

3d1 , ------------------------------------------(15 分) 2a

bc b ? d3 , S ?BEH ? .----------------(20 分) b?c 2

因此,V BEGH ?

S ?BEH d 2
3

3b 3 .---------------------(22 分) ? 12(a ? b )(b ? c )

11. 不妨设 ABCD 是凸四边形,其面积为 S.记 a ? AB ,b ? BC ,c ? CD,d ? DA 。由

S ? AC 2
可得

1 1 ab sin B ? cd sin D, 2 2 , 2 2 2 2 ? a ? b ? 2ab cos B ? c ? d ? 2cd cos D

2S ? ab sin B ? cd sin D, (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) / 2 ? ab cos B ? cd cos D
两遍平方和得

,--------------(8 分)

1 4S 2 ? (ab) 2 ? (cd ) 2 ? 2abcd cos(B ? D) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) 2 4 1 ? (ab ? cd ) 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) 2 4 1 ? (b ? c ? d ? a)(a ? c ? d ? b)(a ? b ? d ? c)(a ? b ? c ? d ). 4
等号成立当且仅当 B ? D ? ? ,即 A, B, C , D 四点共圆--------------------(16 分)
(n ? 1). 由此 现根据假设 a,b ,c ,d 为四个连续整数 n ,n ? 1,n ? 2,n ? 3

S ?

n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3). 显然 n 2 ? 3n ? S ? n 2 ? 3n ? 1. 因此,S 不是

整数。----------------------------------------------------(22 分)

12. 证明:设 S 是所有试题的集合, Si 是第 i 位学生解出的试题的集合, Ti ? S \ S i .题 目即证存在 i ? j 使得 S i ? S j ? 5 .--------------------------------(5 分)
3 不妨设 Si ? 6,Ti ? 4,?i . S 共有 C10 ? 120个三元子集,每个 Ti 恰包含 4 个三元

子集.因此,存在 i ? j 使得 Ti , T j 包含相同的三元子集, Ti ? T j ? 3 .---(15 分) 从而, S i ? S j ? S i ? S j ? S i ? S j ? 2 ? Ti ? T j ? 5 .-----------------(22 分)


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