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2009高考数学重点难点复习(1):集合的思...

时间:2013-06-13


难点 1

集合思想及应用

集合是高中数学的基本知识, 为历年必考内容之一, 主要考查对集合基本概念的认识和 理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观 点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用. ●难点磁场 (★★★★★)已知集合 A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且 0≤x≤2},如果 A∩ B≠ ? ,求实数 m 的取值范围. ●案例探究 [例 1] A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在 k、 设 b∈N,使得(A∪B)∩C= ? ,证明此结论. 命题意图: 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力, 即能从集合符号上分辨 出所考查的知识点,进而解决问题.属★★★★★级题目. 知识依托:解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= ? 转化为 A∩C= ? 且 B∩C= ? , 这 样难度就降低了. 错解分析: 此题难点在于考生对符号的不理解, 对题目所给出的条件不能认清其实质内 涵,因而可能感觉无从下手. 技巧与方法:由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行 限制,可得到 b、k 的范围,又因 b、k∈N,进而可得值. 解:∵(A∪B)∩C= ? ,∴A∩C= ? 且 B∩C= ? ∵?

?y2 ? x ?1 ? y ? kx ? b

∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0

∵A∩C= ? ∴Δ 1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0 ∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是 16b2-16>0,即 b2>1



?4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ∵? ? y ? kx ? b
∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0 ∵B∩C= ? ,∴Δ 2=(1-k)2-4(5-2b)<0 ∴k2-2k+8b-19<0,从而 8b<20,即 b<2.5 ② 由①②及 b∈N,得 b=2 代入由Δ 1<0 和Δ 2<0 组成的不等式组,得

? 2 ?4k ? 8k ? 1 ? 0, ? 2 ?k ? 2 k ? 3 ? 0 ?
∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= ? . [例 2]向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的人数是全体 的五分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人.问对 A、B 都赞成的学生和 都不赞成的学生各有多少人? 命题意图:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考 生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目. 知识依托: 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件, 想到用韦恩图直观地表示出来.

错解分析: 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂, 一时理不清头绪, 不好找线索.

技巧与方法:画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系. 解:赞成 A 的人数为 50×

3 =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如上图,记 50 名学生组 5 x +1,赞成 A 而 3

成的集合为 U,赞成事件 A 的学生全体为集合 A;赞成事件 B 的学生全体为集合 B. 设对事件 A、 都赞成的学生人数为 x,则对 A、 都不赞成的学生人数为 B B 不赞成 B 的人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x. 依题意(30-x)+(33-x)+x+(

x +1)=50,解得 x=21. 3

所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人. ●锦囊妙计 1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用 描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P;要重 视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题. 2.注意空集 ? 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性, 如 A ? B,则有 A= ? 或 A≠ ? 两种可能,此时应分类讨论. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)集合 M={x|x=

kx ? k? ? ? ,k∈Z},N={x|x= ? ,k∈Z},则( 2 4 2 2

)

A.M=N B.M N C.M N D.M∩N= ? 2.(★★★★)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠ ? ,若 A∪B=A,则 ( ) A.-3≤m≤4 B.-3<m<4 C.2<m<4 D.2<m≤4 二、填空题 3.(★★★★)已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R},若 A 中元素至多有 1 个,则 a 的取 值范围是_________. 4.(★★★★)x、 y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|

x y =1,a>0,b>0},当 A∩B 只有一个元 ? a b

素时,a,b 的关系式是_________. 三、解答题 5.(★★★★★)集合 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2+2x-8=0}, 求当 a 取什么实数时,A∩B ? 和 A∩C= ? 同时成立. 6.(★★★★★)已知{an}是等差数列,d 为公差且不为 0,a1 和 d 均为实数,它的前 n 项 和记作 Sn,设集合 A={(an,

Sn 1 2 2 )|n∈N*},B={(x,y)| x -y =1,x,y∈R}. 4 n

试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明. (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ? . 7.(★★★★)已知集合 A={z||z-2|≤2,z∈C},集合 B={w|w=

1 zi+b,b∈R},当 A∩B=B 时, 2

求 b 的值. 8.(★★★★)设 f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}. (1)求证:A ? B; (2)如果 A={-1,3},求 B. 参考答案 难点磁场

? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 解:由 ? 得 x2+(m-1)x+1=0 x ? y ? 1 ? 0(0 ? x ? 2) ?



∵A∩B≠ ? ∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由Δ =(m-1)2-4≥0,得 m≥3 或 m≤-1,当 m≥3 时,由 x1+x2=-(m-1)<0 及 x1x2=1>0 知,方程①只有负根,不符合要求. 当 m≤-1 时,由 x1+x2=-(m-1)>0 及 x1x2=1>0 知,方程①只有正根,且必有一根在区 间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 故所求 m 的取值范围是 m≤-1. 歼灭难点训练

? ,n∈Z}∪{x|x= 4 3? ? nπ + ,n∈Z},对 N 将 k 分成四类,k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ + ,n 4 2 3? 5? ∈Z}∪{x|x=nπ + ,n∈Z}∪{x|x=nπ +π ,n∈Z}∪{x|x=nπ + ,n∈Z}. 4 4
一、1.解析:对 M 将 k 分成两类:k=2n 或 k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ + 答案:C 2.解析:∵A∪B=A,∴B ? A,又 B≠ ? ,

? m ? 1 ? ?2 ? ∴ ?2 m ? 1 ? 7 即 2<m≤4. ?m ? 1 ? 2 m ? 1 ?
答案:D 二、3.a=0 或 a≥

9 8
ab x y , ? =1 相切,则 1= 2 a b a ? b2

4.解析:由 A∩B 只有 1 个交点知,圆 x2+y2=1 与直线

即 ab= a 2 ? b 2 .

答案:ab= a 2 ? b 2 三、5.解:log2(x2-5x+8)=1,由此得 x2-5x+8=2,∴B={2,3}.由 x2+2x-8=0,∴C={2,- 4},又 A∩C= ? ,∴2 和-4 都不是关于 x 的方程 x2-ax+a2-19=0 的解,而 A∩B ? ,即 A ∩B≠ ? , ∴3 是关于 x 的方程 x2-ax+a2-19=0 的解,∴可得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时,得 A={2,3},∴A∩C={2},这与 A∩C= ? 不符合,所以 a=5(舍去);当 a= -2 时,可以求得 A={3,-5},符合 A∩C= ? ,A∩B ? ,∴a=-2.

n(a1 ? an ) S S 1 ,则 n ? (a1+an),这表明点(an, n ) 2 n 2 n S 1 1 1 的坐标适合方程 y ? (x+a1),于是点(an, n )均在直线 y= x+ a1 上. 2 2 2 n 1 1 ? ? y ? 2 x ? 2 a1 ? (2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标 x,y 应是方程组 ? 的解, 由方程组消 ?1 x2 ? y2 ? 1 ?4 ?
6.解:(1)正确.在等差数列{an}中,Sn= 去 y 得:2a1x+a12=-4(*),当 a1=0 时,方程(*)无解,此时 A∩B= ? ;当 a1≠0 时,方程(*)
2 ? ? 4 ? a1 y? ? 2 2a1 ? 4 ? a1 ? 只有一个解 x= ,此时,方程组也只有一解 ? ,故上述方程组至多有一解. 2 2a1 ? y ? a1 ? 4 ? 4a1 ?

∴A∩B 至多有一个元素. (3)不正确.取 a1=1,d=1,对一切的 x∈N*,有 an=a1+(n-1)d=n>0,

Sn >0,这时集合 A 中的 n

元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于 a1=1≠0.如果 A∩B≠ ? ,那么据(2) 的结论,A∩B 中至多有一个元素(x0,y0),而 x0=
2 a ? x0 3 ? 4 ? a1 2 ? ? <0,y0= 1 ? <0,这样 2a1 5 2 4

的(x0,y0)?A,产生矛盾,故 a1=1,d=1 时 A∩B= ? ,所以 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ? 是不正 确的.

1 2w ? 2b zi+b 得 z= , 2 i 2w ? 2b ∵z∈A,∴|z-2|≤2,代入得| -2|≤2,化简得|w-(b+i)|≤1. i
7.解:由 w= ∴集合 A、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面,集合 A 表示以点(2,0)为圆心, 半径为 2 的圆面,集合 B 表示以点(b,1)为圆心,半径为 1 的圆面. 又 A∩B=B,即 B ? A,∴两圆内含. 因此 (b ? 2) 2 ? (1 ? 0) 2 ≤2-1,即(b-2)2≤0,∴b=2. 8.(1)证明:设 x0 是集合 A 中的任一元素,即有 x0∈A. ∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0). 即有 f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故 A ? B. (2)证明:∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x},

∴方程 x2+(p-1)x+q=0 有两根-1 和 3,应用韦达定理,得

?? 1 ? 3 ? ?( p ? 1), ? p ? ?1 ?? ? ?( ?1) ? 3 ? q ?q ? ?3
∴f(x)=x2-x-3. 于是集合 B 的元素是方程 f[f(x)]=x,也即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x(*)的根. 将方程(*)变形,得(x2-x-3)2-x2=0 解得 x=1,3, 3 ,- 3 . 故 B={- 3 ,-1, 3 ,3}.


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