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高考理科第一轮复习课件(6.2一元二次不等式)


第二节 一元二次不等式

1.一元二次不等式的意义
ax2+bx+c>0(≥0) ax2+bx+c<0(≤0) 形如________________或________________的不等式(其中

a≠0),叫作一元二次不等式.

2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如

判别式 Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象

Δ >0

Δ =0

Δ <0

判别式 Δ =b2-4ac 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根
x1 ?

Δ >0 有两相异实数根
?b ? ? , 2a

Δ =0

Δ <0

有两相等实数根
x1 ? x 2 ? ? b 2a b } 2a

?b ? ? x2 ? 2a (x1 ? x 2 )

没有实数根

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

{x|x<x1或x>x2} _____________ {x|x1<x<x2} ___________

{x ? R | x ? ?

R __ ? __

? __

在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可先 根据不等式的性质,将其转化为正数,再对照上表求解.

3.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用框图表示为

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. ( )

(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方 程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( )

(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式

ax2+bx+c>0的解集为R.(

)

(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ =b24ac≤0.( )

(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式 ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( )

【解析】(1)正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)可

知函数对应的抛物线开口向上,因此必有a>0.
(2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知 结论是正确的. (3)错误.只有当a>0时才成立,当a<0时,若方程ax2+bx+c=0 没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为空集.

(4)错误.还要考虑a=0的情况,不等式ax2+bx+c≤0在R上恒
成立的条件是a=0,b=0,c≤0或a<0且Δ=b2-4ac≤0. (5)正确.当抛物线开口向下时,在x轴下方一定存在图象,因 此ax2+bx+c<0的解集一定不是空集. 答案:(1)√ (2)√ (3)〓 (4)〓 (5)√

1.不等式(x+2)(x-1)>4的解集为(

)

(A)(-∞,-2)∪(3,+∞)
(C)(-2,3)

(B)(-∞,-3)∪(2,+∞)
(D)(-3,2)

【解析】选B.原不等式可化为x2+x-6>0, 即(x+3)(x-2)>0,所以x>2或x<-3, 即解集为(-≦,-3)∪(2,+≦).

2.函数 f ? x ? ? 3x ? x 2 的定义域为(
(A)[0,3] (C)(-∞,0]∪[3,+∞) (B)(0,3)

)

(D)(-∞,0)∪(3,+∞)

【解析】选A.依题意有3x-x2≥0,解得0≤x≤3,即定义域为 [0,3].

3.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是 ( ? , ), 则a+b=(
(A)10 (B)-10 (C)14
2

1 1 2 3

)

(D)-14
3

【解析】选D.由题意a<0, x1 ? ? 1 , x 2 ? 1 是方程ax2+bx+2=0的两 个根, 所以 ? 1 ? 1 ? ? b , ? 1 ? 1 ? 2 ,
2 3 a 2 3 a

解得a=-12,b=-2, 故a+b=-14,选D.

4.不等式ax2+2ax+1≥0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值
范围为________. 【解析】当a=0时,不等式为1≥0恒成立;
?a>0, ?a>0, 当a≠0时,需 ? 即? 2 ?? ? 0, ?4a -4a ? 0,

?0<a≤1,综上0≤a≤1. 答案:[0,1]

5.某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系 式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240),若每台产品的售价为25 万元,则生产者不亏本时的最低产量是______. 【解析】要使生产者不亏本,则应满足25x≥3 000+20x0.1x2, 整理得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去), 故最低产量是150台. 答案:150台

考向 1

一元二次不等式的解法

【典例1】(1)(2013·临汾模拟)若关于x的不等式ax-b>0 的解集是(1,+∞),则关于x的不等式 ax ? b >0 的解集是(
x?2

)

(A)(-∞,1)∪(2,+∞)
(B)(-1,2)

(C)(1,2)
(D)(-∞,-1)∪(2,+∞)

(2)(2012·湖南高考)不等式x2-5x+6≤0的解集为_____. (3)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 【思路点拨】(1)根据不等式解集的端点与相应方程的根之

间的关系,可确定a,b关系,即可解不等式.
(2)按照一元二次不等式的解法步骤进行求解.

(3)首先对a的符号进行分类讨论,在每一种情况中,如果有
必要再按照根的大小进行讨论.

【规范解答】(1)选D.≧不等式ax-b>0的解集为
(1,+≦),?a>0, b ? 1. 则不等式 ax ? b >0变为 x ? 1 >0, 即
a x?2 x?2

(x+1)(x-2)>0.解得x<-1或x>2. (2)不等式可化为(x-2)(x-3)≤0, 因此2≤x≤3,即不等式的解集为{x|2≤x≤3}. 答案:{x|2≤x≤3}

(3)①当a=0时,原不等式变为-x+1<0,此时不等式的解集为
{x|x>1}. ②当a≠0时,原不等式可化为 a ? x ? 1? (x ? 1 ) ? 0. 若a<0,则上式即为 ? x ? 1? (x ? 1 ) ? 0,
a a a

又因为 1 ? 1, 所以此时不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? 1}.
a

若a>0,则上式即为 ? x ? 1? (x ? 1 ) ? 0. (ⅰ)当
1 1 ? 1 即a>1时,原不等式的解集为 {x | ? x ? 1}; , a a a

(ⅱ)当 1 ? 1, 即a=1时,原不等式的解集为?;

a 1 (ⅲ)当 ? 1, 即0<a<1时,原不等式的解集为 {x |1 ? x ? 1}. a a

综上所述,原不等式解集为:
当a<0时, {x | x ? 1 或x ? 1};
a

当a=0时,{x|x>1}; 当0<a<1时, {x |1 ? x ? 1 };
a

当a=1时,?; 当a>1时,{x | 1 ? x ? 1}.
a

【拓展提升】解含参数的一元二次不等式的分类依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是小于0,还是大于0,然后 将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要 讨论两根的大小关系,从而确定解集形式. 【提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论 其等于0的情况.

【变式训练】(1)(2013·西城模拟)已知函数f(x)=x2+ bx+1是R上的偶函数,不等式f(x-1)<x的解集为_______. 【解析】由于函数是偶函数,可得b=0, 此时f(x)=x2+1,于是不等式f(x-1)<x 可化为x2-3x+2<0,解得1<x<2. 答案:{x|1<x<2}

(2)解关于x的不等式(1-ax)2<1. 【解析】由(1-ax)2<1,得a2x2-2ax<0, 即ax(ax-2)<0, 当a=0时,不等式的解集为空集; 当a>0时,由ax(ax-2)<0,得 a 2 x(x- 2 )<0,
a

即 0<x<2;
a

当a<0时,2 <x<0.
a

综上所述:当a=0时,不等式解集为空集;当a>0时,不等式 解集为 {x | 0<x< 2 }; 当a<0时,不等式解集为{x | <x<0}.
a 2 a

考向 2

一元二次不等式的恒成立问题

【典例2】已知函数f(x)=x2+ax+3.

(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的范围.
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的范围.

【思路点拨】(1)可直接利用判别式Δ≤0求解.(2)可转化
为求f(x)-a在[-2,2]上的最小值,令其最小值大于或等于0

即可.

【规范解答】(1)f(x)≥a即x2+ax+3-a≥0,要使x∈R时, x2+ax+3-a≥0恒成立, 应有Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0, 解得-6≤a≤2. (2)当x∈[-2,2]时,设g(x)=x2+ax+3-a. 分以下三种情况讨论: ①当 ? a ? ?2,即a≥4时,g(x)在[-2,2]上是增加的,g(x)在
2

[-2,2]上的最小值为g(-2)=7-3a,因此 ?

?a ? 4, a无解; ?7 ? 3a ? 0,

②当 ? a ? 2,即a≤-4时,g(x)在[-2,2]上是减少的,g(x)在
2

[-2,2]上的最小值为g(2)=7+a,
?a ? ?4, 因此 ? 解得-7≤a≤-4; ?7 ? a ? 0, ? ?2 ? ? a ? 2, 即-4<a<4时,g(x)在[-2,2]上的最小值为 2 ??4 ? a ? 4, 2 a a 因此 ? a 2 解得-4<a≤2. g(? ) ? ? ? a ? 3, ? 2 4 ?? ? a ? 3 ? 0, ? 4

综上所述,实数a的取值范围是-7≤a≤2.

【互动探究】本例中,若对一切a∈[-3,3],不等式 f(x)≥a恒成立,那么实数x的取值范围是什么? 【解析】不等式f(x)≥a即x2+ax+3-a≥0. 令g(a)=(x-1)a+x2+3, 要使g(a)≥0在[-3,3]上恒成立,
?g ? ?3? ? 0, ? x 2 ? 3x ? 6 ? 0, ? 只需 ? 即? 2 ? ?g ? 3? ? 0, ? x ? 3x ? 0, ? ?

解得x≥0或x≤-3.

【拓展提升】恒成立问题的两种解法 (1)更换主元法 如果不等式中含有多个变量,这时选准“主元”往往是解题的 关键.即需要确定合适的变量或参数,能使函数关系更加清晰 明朗.一般思路为:将已知范围的量视为变量,而待求范围的 量看作是参数,然后借助函数的单调性或其他方法进行求解.

(2)分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边,那么这时可以 通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒 成立时参数的取值范围.一般地,a≥f(x)恒成立时,应有 a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立时,应有a≤f(x)min.

【变式备选】若函数 f ? x ? ? 数m的取值范围是( (A)(-∞, 3 ) (C)( 3 , +∞)
4 4

x?4 的定义域为R,则实 2 mx ? 4mx ? 3

) (B)[0, 3 )
4 (D) (? 3 , 3 ) 4 4

【解析】选B.依题意mx2+4mx+3≠0对一切x∈R恒成立.当m=0时 显然成立;当m≠0时应有Δ=16m2-12m<0,解得 0 ? m ? 3 . 综上,
4

实数m的取值范围是[0, 3 ).
4

考向 3

一元二次不等式的实际应用

【典例3】汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向 前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹 车距离是分析事故的一个重要因素. 在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发 现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车 的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、 乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关 系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.

问:甲、乙两车有无超速现象?
【思路点拨】由甲、乙两车的实际刹车距离建立关于甲、乙两 车车速的不等式,求出两车的实际车速然后判断是否超速.

【规范解答】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2>12,即 x2+10x-1 200>0, 解得x>30或x<-40(不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过 12 m,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车,有0.05x+0.005x2>10, 即x2+10x-2 000>0, 解得x>40或x<-50(不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.

【拓展提升】构建不等式模型解决实际问题

不等式的应用问题常常以函数为背景,多是解决实际生活、生
产中的最优化问题,解题时,要仔细审题,认清题目的已知条

件以及要解决的问题,理清题目中各量之间的关系,建立恰当
的不等式模型进行求解.

【变式训练】某产品生产厂家根据已往的生产销售经验得到下 面有关销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x) 万元,其中固定成本为2万元,并且每生产100台的生产成本为 1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)满足
??0.4x 2 ? 4.2x ? 0.8, ? x ? 5, 0 R ?x? ? ? ?10.2,x ? 5.

假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律:

(1)要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围?
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售

价为多少?

【解析】(1)设厂家纯收入为y万元,由题意G(x)=x+2,
??0.4x 2 ? 3.2x ? 2.8, ? x ? 5, 0 ? y=R ? x ?-G ? x ?=? ?8.2 ? x, x>5, ?0 ? x ? 5, ? x>5, 令y>0得 ? 或? ?0.4x 2 ? 3.2x ? 2.8 ? 0 ?8.2-x>0, ?

解得1<x<8.2, 故当1<x<8.2时工厂有盈利.

(2)当0≤x≤5时, y=-0.4x2+3.2x-2.8=-0.4(x-4)2+3.6, ?当x=4时,ymax=3.6; 当x>5时,y<8.2-5=3.2, ?当生产400台产品时盈利最大,此时R(4)=-0.4〓42+ 4.2〓4-0.8=9.6,

故每台产品的售价为

96 000 =240 (元). 400

【创新体验】不等式、函数、方程的交汇 【典例】(2012·江苏高考)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b ∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集

为(m,m+6),则实数c的值为__________.

【思路点拨】 找准 将二次函数、一元二次方程、一元二次不等式交汇在 创新 一起考查它们之间的关系 点 (1)由二次函数的值域可知其最小值,从而获得a,b 的关系式 (2)由不等式f(x)<c的解集可知一元二次方程f(x)寻找 c=0的两根是m和m+6 突破 (3)由一元二次方程根与系数的关系建立关于参数c, 口 m的等式,消去m即得c的值 (4)另一种思路是:将a,b的关系式代入原不等式, 直接求解不等式,得到其解集,解集的端点与m,m+6 对应,消去m即得c的值

2 【规范解答】方法一:由题意 4b ? a ? 0, 即a2-4b=0,所以不

等式f(x)<c可转化为 x 2 ? ax ? a ? c ? 0,
a2 由已知可得m,m+6为方程 x ? ax ? ? c ? 0 的两根,则 4 ?m ? m ? 6 ? ?a, ? ? a2 ?m ? m ? 6 ? ? ? c, 4 ? 2 [ ? ? 2m ? 6 ?] a2 所以c ? ? m ? m ? 6 ? ? ? m(m ? 6) 4 4
2

2

4

4

=m2+6m+9-m2-6m=9.

4b ? a 2 2 方法二:由题意 ? 0, 即a -4b=0, 4 a2 2 所以不等式f(x)<c,即 x ? ax ? ? c, 4 即 (x ? a ) 2 ? c, 由已知必有c>0, 2 a a 且 ? c? ?x? c? , 即不等式解集是( ? c ? a , c ? a ),于是 2 2 2 2 a a m ? ? c ? ,m ? 6 ? c ? , 2 2 因此 ? m ? 6 ? ? m ? ( c ? a ) ? (? c ? a ) ? 2 c, 2 2

故c=9. 答案:9

【思考点评】

1.方法感悟:本题考查了函数、方程、不等式三者之间的内在
联系,充分体现了一元二次不等式与一元二次方程根的关系在

解题中的应用,即在解答中根据不等式f(x)<c的解集为
(m,m+6),可得方程f(x)=c的两个根是m,m+6,从而可利用一元 二次方程根与系数的关系求出c的值.

2.技巧提升:由于一元二次不等式的解法是通过二次函数、一
元二次方程、一元二次不等式三者之间的对应关系得到的,因

此一元二次不等式的解集与相应方程的根有着密切的联系,已
知不等式的解集,就可以得到方程的根.例如,如果不等式

ax2+bx+c<0(ax2+bx+c>0)的解集是(α,β),则必有a>0
(a<0),且α,β是方程ax2+bx+c=0的两根,由一元二次方程

根与系数的关系可得 ? ? ? ? ? b , ?? ? c , 由此可进一步得到a,b,c
a a

之间的关系,就可以解决一元二次不等式中参数求值的问题.

1.(2013·渭南模拟)函数 y ? (A)(-∞,-4)∪(1,+∞) (C)(-4,0)∪(0,1)

x ? x ? 3x ? 4
2

的定义域为(

)

(B)(-4,1) (D)(-1,4)

【解析】选B.依题意得-x2-3x+4>0,即x2+3x-4<0,解得 -4<x<1,故函数的定义域为(-4,1).

2.(2013·赣州模拟)设函数f(x)=x2+(2a-1)x+4,若x1<x2,
x1+x2=0时,有f(x1)≥f(x2),则实数a的取值范围是( (A)a> 1
2

)
1 2

(B)a≥ 1

(C)a≤

2 【解析】选C.由题意 ? 2a ? 1 ? 0, 即2a-1≤0, ? a ? 1 . 2 2

1 2

(D)a<

3.(2013·太原模拟)不等式 2 > ? 3 的解集为(
x

)

(A)(-∞, ? 2 )
3

(B)(-∞, ? 2 )∪(0,+∞)
3

(C)( ? 2 , 0)∪(0,+∞)
3

3 【解析】选B.原不等式变为 2 ? 3>0,即 3x ? 2>0, x x 2 等价于x(3x+2)>0,解得 x<? 或x>0,故选B. 3

(D)( ? 2 , 0)

4.(2013·沈阳模拟)某商场若将进货单价为8元的商品按每 件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价,减少 进货量的方法来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元, 销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上, 销售价每件应定为( )

(A)12元
(C)12元到16元之间

(B)16元
(D)10元到14元之间

【解析】选C.设每件提高x(0≤x≤10)元,即每件获利润(2+x)
元,每天可销售(100-10x)件.设每天获得总利润为y元,由 题意有y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200, 要使每天利润在320元以上, 则有-10x2+80x+200>320, 即x2-8x+12<0,解得2<x<6. 故每件定价在12元到16元之间时,能确保每天赚320元以上.

5.(2013·临汾模拟)不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为
R,则实数a的取值范围是______.

【解析】若a2=1,则a=〒1,当a=1时原不等式即为-1<0恒成立,
当a=-1时,原不等式变为2x-1<0. 则
?a 2 ? 1<0, ? 解得 ? 2 2 ? ? ? a ? 1)? 4 ? a ? 1?<0. ? (

1 不合题意.若a≠〒1, x< 2 3 ? <a< 1. 5

综上 ? 3 <a ? 1.
5

答案: ? 3, ( 1]
5

1.已知集合P={x|4+3x>x2},集合M满足(M∪P)?(M∩P),
则集合M为( )

(A){x|x>4或x<-1}
(C){x|-1<x<4}

(B){x|x>1或x<-4}
(D){x|-4<x<1}

【解析】选C.由4+3x>x2得x2-3x-4<0, 解得-1<x<4,即P={x|-1<x<4}. 又因为(M∪P)?(M∩P),所以M∪P=M∩P, 从而必有M=P={x|-1<x<4}.故选C.

2.对于实数x,当n≤x<n+1(n∈Z)时,规定[x]=n,则不等式 4[x]2-36[x]+45<0的解集为( (A){x|2≤x<8} (C){x|2≤x≤8} )

(B){x|2<x≤8} (D){x|2<x<8}

【解析】选A.令t=[x],则不等式化为4t2-36t+45<0,解得
3 15 由[x]的定义可知x 3 15 [ ? ? t ? ,而t=[x],所以 ? x] , 2 2 2 2

的取值范围是2≤x<8,即不等式解集为{x|2≤x<8}.

3.已知A=[-1,2),B={x|x2-ax-1≤0},若B?A,则实数a的 取值范围是( (A)[-1,1) (C)[0,3) ) (B)[-1,2) (D)[0, 3 )
2

【解析】选D.对于B中的不等式x2-ax-1≤0,由于Δ=a2+4>0, 令f(x)=x2-ax-1,所以要使B?A,
? ?f ? ?1? ? 0, ? 应满足 ?f ? 2 ? ? 0, 即 ? a ? ?1 ? ? 2, 2 ?
? ?a ? 0, ? 3 3 ? 2a ? 0, 故 0 ? a ? . ? 2 ? a ??1 ? ? 2, 2 ?


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