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不等式高考题

时间:2015-02-07


总题数:17 题 第 1 题(2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷))
题目

设 a,b,c∈R,且 a>b,则(

).

A.ac>bc C.a >b
答案
2 2

B. D.a >b
3 3

D 解析:A

选项中若 c 小于等于 0 则不成立,B 选项中若 a 为正数 b 为负数则不成立,C 选项中若 a,b 均为 负数则不成立,故选 D. 第 2 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(辽宁卷))
题目

设变量 x,y 满足 A.20
答案

则 2x+3y 的最大值为( C.45 D.55



B.35

D 不等式组表示的平面区域如图所示,

则 2x+3y 在 A(5,15)处取得最大值,故选 D.

第 3 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(辽宁卷))
题目

在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大 于 20 cm 的概率为(
2



A.
答案

B.

C.

D.

C 此概型为与长度相关的几何概型,由于在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,因此总的几何度量为 12,设

AC=x cm,则 BC=(12-x) cm,故邻边为 AC、CB 的矩形面积为 S=x·(12-x).
由 S>20,即 x(12-x)>20,解得 2<x<10. 所以满足条件的点 C 的几何度量为 10-2=8(如图).

因此所求概率为

,即

,故选 C.

第 4 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(浙江卷))
题目

设 a>0,b>0,(
a b



A.若 2 +2a=2 +3b,则 a>b B.若 2 +2a=2 +3b,则 a<b C.若 2 -2a=2 -3b,则 a>b D.若 2 -2a=2 -3b,则 a<b
答案
a b a b a b

A 考查函数 y=2 +2x 为单调递增函数,若 2 +2a=2 +2b,则 a=b,若 2 +2a=2 +3b,则 a>b.
x a b a b

第 5 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷))
题目

设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论:



;②a <b ;③logb(a-c)>loga(b-c). ) D.①②③

c

c

其中所有的正确结论的序号是( A.①
答案

B.①②

C.②③

D





∵a>b>1,c<0,∴

.



.故①正确.
c

②考察函数 y=x (c<0),可知为单调减函数. 又∵a>b>1,∴a <b .故②正确. ③∵a>b>1,c<0,∴logb(a-c)>0,loga(b-c)>0,
c c



.









,故③正确.

第 6 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷))
题目

已知变量 x,y 满足约束条件 A.3
答案

则 z=x+2y 的最小值为( D.-6



B.1

C.-5

C 由约束条件作出可行域如图所示,

当 z=x+2y 过点 A 时 z 取得最小值,联立方程组 ∴zmin=-1+2×(-2)=-5.



第 7 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷))
题目

某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在 生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生 产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( A.1 800 元
答案



B.2 400 元

C.2 800 元

D.3 100 元

C

设某公司生产甲产品 x 桶, 生产乙产品 y 桶, 获利为 z 元, 则 x, y 满足的线性约束条件为 目标函数 z=300x+400y. 作出可行域,如图中四边形 OABC 的边界及其内部整点.

作直线 l0:3x+4y=0,平移直线 l0 经可行域内点 B 时,z 取最大值,由 意,所以 zmax=4×300+4×400=2 800. 第 8 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷))
题目

得 B(4,4),满足题

若变量 x,y 满足约束条件 A.12
答案

则 z=3x+4y 的最大值是( D.33



B.26

C.28

C 作出可行域如图五边形 OABCD 边界及其内部,作直线 l0:3x+4y=0,平移直线 l0 经可行域内点 B 时,z 取最 大值.



得 B(4,4),

于是 zmax=3×4+4×4=28,故选 C. 第 9 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷))
题目

不等式

的解集为(



A.(

,1]

B.[

,1]

C.(-∞,
答案

)∪[1,+∞)

D.(-∞,

]∪[1,+∞)

A

不等式可化为

解不等式组得

<x≤1,故选 A 项.

第 10 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷))
题目

设变量 x,y 满足约束条件

则目标函数 z=3x-y 的取值范围是(



A.[

,6]

B.[

,-1]

C.[-1,6]
答案

D.[-6,



A 作出可行区域如图所示.目标函数 z=3x-y 可变为 y=3x-z,作 l0:3x-y=0,在可行域内平移 l0,可

知在 A 点处 z 取得最小值为

,在 B 点处 z 取得最大值 6,故选 A 项.

第 11 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷))
题目

若 x,y 满足约束条件
答案

则 z=3x-y 的最小值为__________.

-1 解析: 由题意画出可行域, 由 z=3x-y 得 y=3x-z, 要使 z 取最小值, 只需截距最大即可, 故直线过 A(0,1) 时,z 最大.

∴zmax=3×0-1=-1. 第 12 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷))
题目

满足约束条件|x|+2|y|≤2 的目标函数 z=y-x 的最小值是__________.
答案

-2

解析:约束条件可化为不等式组 求 z=y-x 最小值,即为求 y=x+z 在 y 轴上截距的最小值. 由图可知(2,0)为最优解,所以 zmin=0-2=-2.

第 13 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(浙江卷))
题目

设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x -ax-1)≥0,则 a=__________.
答案

2

解析:因为 x>0,

所以由不等式可得:(a-1-

)(x-a-

)≥0

即[a-(1+

)][a-(x-

)]≤0

设 f(x)=1+

.g(x)=x-

,则上式为(a-f(x))(a-g(x))≤0.(*)

因 g′(x)=1+

>0,f′(x)=-

<0 ,

所以 f(x)在(0,+∞)上单调减,g(x)在(0,+∞)上单调增.

令 f(x)=g(x),即 1+
2

=x-



也就是 x -x-2=0,解得 x=-1(舍),x=2 即当 0<x<2 时,f(x)>g(x),不等式(*)的解为 g(x)≤a≤f(x) 当 x≥2 时,f(x)≤g(x)不等式(*)的解为 f(x)≤a≤g(x).

要使不等式恒成立,则 a=f(z)=g(2)=



第 14 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷))
题目

设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足
答案

则 z 的取值范围是__________.

[0,



解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分,

结合图象知,O 点,C 点分别使目标函数取得最小值、最大值,代入得最小值为 0,最大值为



第 15 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷))
题目

若 x,y 满足约束条件
答案

则 x-y 的取值范围是__________.

[-3,0] 解析:作出可行域如图所示,令 z=x-y,当 z=0 时,得 l0:x-y=0.平移 l0,当 l0 过点 A(0,3)时满足

z 最小,此时 zmin=0-3=-3;当 l0 过点 B(1,1)时,此时 zmax=1-1=0,故 x-y 的取值范围为[-3,0].

第 16 题(2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(福建卷))
题目

已知关于 x 的不等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是__________.
答案

2

(0,8)

解析:∵x -ax+2a>0 在 R 上恒成立,∴ 围是(0,8).

2

=(-a) -4·2a<0,即 a -8a<0,0<a<8.故 a 的取值范

2

2

第 17 题(2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷))
题目

已知函数 f(x)=e ,x∈R. (1)求 f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程;

x

(2)证明:曲线 y=f(x)与曲线 y=

x2+x+1 有唯一公共点;

(3)设 a<b,比较
答案



的大小,并说明理由.

解:(1)f(x)的反函数为 g(x)=ln x,设所求切线的斜率为 k,

∵g′(x)=

,∴k=g′(1)=1,

于是在点(1,0)处切线方程为 y=x-1.

(2)解法一:曲线 y=e 与 y= ∵φ (0)=1-1=0, ∴φ (x)存在零点 x=0.

x

x2+x+1 公共点的个数等于函数 φ (x)=ex-

x2-x-1 零点的个数.

又 φ ′(x)=e -x-1,令 h(x)=φ ′(x)=e -x-1,则 h′(x)=e -1, 当 x<0 时,h′(x)<0, ∴φ ′(x)在(-∞,0)上单调递减. 当 x>0 时,h′(x)>0, ∴φ ′(x)在(0,+∞)上单调递增.

x

x

x

∴φ ′(x)在 x=0 有唯一的极小值 φ ′(0)=0, 即 φ ′(x)在 R 上的最小值为 φ ′(0)=0. ∴φ ′(x)≥0(仅当 x=0 时等号成立), ∴φ (x)在 R 上是单调递增的, ∴φ (x)在 R 上有唯一的零点,

故曲线 y=f(x)与 y=

x2+x+1 有唯一的公共点.

解法二:∵e >0,

x

x2+x+1>0,

∴曲线 y=e 与 y=

x

x2+x+1 公共点的个数等于曲线

与 y=1 公共点的个数,



,则 φ (0)=1,

即 x=0 时,两曲线有公共点.

又 φ ′(x)= ∴φ (x)在 R 上单调递减, ∴φ (x)与 y=1 有唯一的公共点,

≤0(仅当 x=0 时等号成立),

故曲线 y=f(x)与 y=

x2+x+1 有唯一的公共点.

(3)







设函数 u(x)=e -

x

-2x(x≥0),

则 u′(x)=e +

x

-2≥

-2=0,

∴u′(x)≥0(仅当 x=0 时等号成立), ∴u(x)单调递增.

当 x>0 时,u(x)>u(0)=0.令



则得





.


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