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高一数学:2.3《幂函数》教案 新人教A版必修1

时间:2011-05-03


课题: 课题:§2.3 幂函数

教学目标: 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用. 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法,来研究幂函 数的图象和性质. 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

教学重点: 重点 难点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律.

教学程序与环节设计:

创设情境

问题引入.

组织探究

幂函数的图象和性质.

尝试练习

幂函数性质的初步应用.

巩固反思

复述幂函数的图象规律及性质.

作业回馈

幂函数性质的初步应用.

课外活动

利用图形计算器或计算机探索一 般幂函数的图象规律.

-1-

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 阅读教材 P90 的具体实例(1)~(5) ,思考下列 问题: 创 设 (答案) 情 境 1. (1)乘以 1; (2)求平方; (3)求立方; (4) 师生: 共同辨析这种新 函数与指数函数的异 开方; (5)取倒数(或求-1 次方) . 同. α 2.上述问题中涉及到的函数,都是形如 y = x 的函数,其中 x 是自变量,是 α 常数. 材料一:幂函数定义及其图象. 一般地,形如 师:说明: 幂 函 数 的 定义 来 自于实践, 它同指数函 数、对数函数一样,也 是基本初等函数, 同样 也是一种“形式定义” 的函数, 引导学生注意 辨析. 生: 利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象, 观察所 图象, 体会幂函数的变 化规律. 1.它们的对应法则分别是什么? 2.以上问题中的函数有什么共同特征? 师: 引导学生分析归纳 概括得出结论. 师生双边互动 生:独立思考完成引 例.

y = x α (a ∈ R)
的函数称为幂函数,其中 α 为常数. 下面我们举例学习这类函数的一些性质. 作出下列函数的图象: 组 (1) y = x ; (2) y = x ; (3) y = x 2 ; (4) y = x ?1 ; (5) y = x 3 . 织
1 [解] ○ 列表(略) 2 ○ 图象

1 2





师: 引导学生应用画函 数的性质画图象,如: 定义域、奇偶性.

师生共同分析, 强调画 图象易犯的错误.

环节

教学内容设计

师生双边互动

-2-

材料二:幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并 且图象都过点(1,1) ; (2)α > 0 时,幂函数的图象通过原点,并且 在区间 [0,+∞) 上是增函数.特别地,当 α > 1 时, 幂函数的图象下凸;当 0 < α < 1 时,幂函数的图象 上凸;

师:引导学生观察图 象, 归纳概括幂函数的 的性质及图象变化规 律.

生:观察图象,分组讨 论, 探究幂函数的性质 和图象的变化规律, 并 (3) < 0 时, α 幂函数的图象在区间 (0,+∞) 上 展示各自的结论进行 是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时, 交流评析,并填表. 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于

+ ∞ 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.
材料三:观察与思考 组 观察图象,总结填写下表:
y=x
1

织 定义域 探 值域 奇偶性 单调性 究 定点

y = x2

y = x3

y = x2

y = x?1

材料五:例题 [例 1] (教材 P92 例题) [例 2] 比较下列两个代数值的大小: (1) ( a + 1)1.5 , a (2) (2 + a 2 )
?
2 3 1.5

师: 引导学生回顾讨论 函数性质的方法, 规范 解题格式与步骤. 并指出函数单调 性是判别大小的重要 工具, 幂函数的图象可 以在单调性、 奇偶性基 础上较快描出.

,2

?

2 3

[例 3] 讨论函数 y = x 的定义域、奇偶性,作 出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.

2 3

生:独立思考,给出解 答,共同讨论、评析.

环节

呈现教学材料

师生互动设计

-3-

1.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂 的值的大小: (1) 2.3 , 2.4 ;
6 6
3 4

3 4

(2) 0.31 5 , 0.35 5 ; (3) ( 2 ) (4) 1.1
?

?

3 2

尝 试 练 习

, ( 3)
?

?

3 2



1 2

, 0.9

1 2



2.作出函数 y = x 的图象,根据图象讨论这 个函数有哪些性质,并给出证明. 3.作出函数 y = x ?2 和函数 y = ( x ? 3) ?2 的图 象,求这两个函数的定义域和单调区间. 4.用图象法解方程: (1) x = x ? 1 ; (2) x = x ? 3 .
3 2

3 2

规律 1:在第一象限, 1.如图所示,曲线是幂 函数 y = x α 在第一象限内的 图 象 , 已 知 探 究 与 发 现 作直线 x = a ( a > 1) , 它同各幂函数图象相 交, 按交点从下到上的 顺序, 幂指数按从小到 大的顺序排列. 2.在同一坐标系内,作出下列函数的图象,你 能发现什么规律? (1) y = x ?3 和 y = x
5

α 分别取

1 ? 1,1, ,2 四个值,则相应图 2
象依次为: .

?

1 3



规律 2:幂指数互为倒 数的幂函数在第一象 限内的图象关于直线

4

(2) y = x 4 和 y = x 5 .

y = x 对称.
1.在函数 y = 作业 回馈

1 , y = 2 x 2 , y = x 2 + x, y = 1 2 x
C.2 D.3 师生互动设计
-4-

中,幂函数的个数为: A.0 B.1

环节

呈现教学材料

2.已知幂函数 y = f (x ) 的图象过点 (2, 2 ) , 试求出这个函数的解析式. 3.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体 通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四 次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速 率为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时, 其流量速率 R 的表达式; (3) (2) 已知 中的气体通过的管道半径为 5cm, 计算该气体的流量速率. 4.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口 的平均增长率为 x%, 2008 年底世界人口数为 (亿) y , 写出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界 人口数; (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解 析式. 课 外 活 动 收 获 与 体 会 利用图形计算器探索一般幂函数 y = x α 的图 象随 α 的变化规律. 1. 谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数 的奇偶性、单调性之间的关系? 2. 幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些 方面?

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