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11.2直线的倾斜角和斜率(1)ppt课件


11.2 直线的倾斜角和斜率

如何用数学概念来刻画直线相对于x轴的“倾斜”的程度呢? 1.什么是直线的倾斜角?
若直线 l 与 x 轴相交于点 M ,将 x 轴绕点 M 逆时针方向旋转至与直线 l 重合 时所成的最小正角 ? 叫做直线 l 的倾斜角.如图:
2.5
2

2

1.5

r />
1.5

1

1

0.5

0.5

a
1 2 3 4

a
-1

1

2

3

4

5

-0.5

-0.5

-1

-1

-1.5

-1.5

当直线 l 与 x 轴平行或重合(即 l 与 y 轴垂直)时,规定其倾斜角 ? ? 0 .

根据定义:直线的倾斜角 ? 的取值范围是 [0, ? ) . 特别地, l 与 x 轴垂直时, ? ?

?
2

.

平面上任一直线都有唯一确定的倾斜角。 引入倾斜角的概念是为了帮助确定一条直线, 但是倾斜角是几何定义,无法直接对应直线的方程。 所以我们需要将直线的倾斜角代数化, 因此我们引入了斜率的概念。

2.什么是斜率?
当? ?

?
2

时,记 ? 的正切值为 k ,把 k ? tan ? 叫做直线 l 的斜率;

?? ? 当 ? ? 时,直线 l 的斜率 k 不存在.即: k ? tan ? ? ? ? ? 2 2? ?
?
注意:不是每一条直线都有斜率的,倾斜角为

? 除了倾斜角是 的直线以外, 任何直线的倾斜角与它的斜率之间是一一对应的 2

? 的直线不存在斜率。 2

3.倾斜角和斜率的变化关系:
随着倾斜角 ? 在 [0, ? ) 内的取值变化,斜率的值如何变化呢?

? ? 我们可以作出 y ? tan ? 在 [0, ) ? ( , ? ) 的图像, 2 2 ? ? 正切函数 y ? tan ? 在区间 [0, ) 为单调递增, 在区间 ( , ? ) 内也是单调递增。 2 2 ? ? y 但在 [0, ) ? ( , ? ) 内,却不具有单调性. 2 2

O

? 2

?

x

所以我们得到以下结论: ? (1) 0 ? ? ? 2 随着倾斜角 ? 的不断增大,直线斜率不断增大, k ?[0, ??) . (2)

?
2

?? ??

随着倾斜角 ? 的不断增大,直线的斜率不断增大, k ? (??,0) .

? ? 反之, k ? 0时, ? ? (0, ); k ? 0时, ? ? 0; k ? 0时, ? ? ( , ? ). 2 2

4.直线的点斜式方程:
我们知道两点也可以确定一条直线的方向, 所以已知两点也可以对应一条直线的倾斜角,斜率。

问题一:如果直线 l 经过点 P ? x1, y1 ? , P ? x2 , y2 ? , 1 2 那么直线 l 的倾斜角 ? 和斜率 k 分别是什么?

12

如图,我们不难发现: 当 x1 ? x2 时,直线 l 的倾斜角为 当 x1 ? x2 时, k ? tan ? ? 两点连线的斜率公式

10

? ,直线 l 的斜率不存在 2

8

P2
6

y1 ? y2 (1) x1 ? x2
-10 -5

4

a P1

2

a
5 10 -2

-4

1)当 k ? 0 时, ? ? arctan k 2)当 k ? 0 时, ? ? ? ? arctank

既然我们已经知道,已知直线过一点,以及直线的斜率, 可以唯一确定一条直线,那么如何求出该直线的方程呢?
问题二:如果直线 l 经过点 P ? x0 , y0 ? ,斜率为 k ,求直线 l 的方程 0
解:设直线上任意一点 M ? x, y ?? x ? x0 ? , 则根据直线上两点的斜率公式,有: k ? 经过整理得: y ? y0 ? k ? x ? x0 ?
y ? y0 x ? x0

我们称方程: y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 叫做直线 l 的点斜式方程;

特别地,如果直线 l 经过点 P ? 0, b? , 0 则方程: y ? kx ? b 叫做直线 l 的斜截式方程,
b 称为直线 l 在 y 轴上的的截距。

例题解析:
? ? 3? ? 例 1. (1)已知直线的倾斜角 ? ? ? , ? ,求其斜率 k 的取值范围 ?4 4 ?
?? ? ? 解:当 ? ? ? , ? 时, k ? tan ? ??1, ??? ; ?4 2?

? ? 3? ? 当 ? ? ? , ? 时, k ? tan ? ?? ??, ?1? ?2 4 ?

综上所述: k ?? ??, ?1? ??1, ???

? 3 ? ,1? ,求其倾斜角 ? 的取值范围 例 1. (2)已知直线的斜率 k ? ? ? 3 ? ? 解:如图易得:
2.5 2 1.5 1

? ? ? ? 5? ? ? ? ?0, ? ? ? , ? ? ? 4? ? 6 ?

0.5

-2

-1

1

2

3

-0.5

-1

-1.5

3 例 2.已知直线 l 的倾斜角 ? 满足: sin ? ? ,求直线的斜率 5
3 解:1)若 ? 是锐角,则 k ? tan ? ? ; 4 3 2)若 ? 是钝角,则 k ? tan ? ? ? 4 3 3 思考:如果把条件中的“ sin ? ? ”改为“ cos ? ? ”呢? 5 5

例 3.求经过下列两点的直线的倾斜角 ? 和斜率 k : (1) A?1,2? , B ? 2,3? (2) A?1,2? , B ?1, ?1? (3) A? m, m ?1? , B ? 2, m ?1?

解: (1) k ?

2?3 ? ? 1, ? ? arctan1 ? 1? 2 4

(2) k 不存在, ? ?

?

2

(3)若 m ? 2 ,则 k 不存在, ? ?
2 若 m ? 2 ,则 k ? m?2

?
2

当 k ? 0, 即 m ? 2 时, ? ? arctan

2 ; m?2

? ?2 ? 当 k ? 0, 即 m ? 2 时, ? ? ? ? arctan ? ? ? m?2?

例 4.已知直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 的倾斜角为 ? , l 与 x 轴交于点 M , 现将直线 l 绕点 M 逆时针旋转 ? 角得直线 l ' ,求直线 l ' 的点斜式方程。

解:将直线 l 的方程整理为斜截式方程: y ?

1 1 x ? 1 ,则直线 l 的斜率 k ? tan ? ? 2 2 2 tan ? 4 ' ' ' ? ,易得 M ? ?2,0? 设直线 l 的斜率为 k ,则 k ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 3 4 所以直线 l ' 的点斜式方程为: y ? ? x ? 2 ? 3

变式:如果直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 方程变为 x ? 2y ? 2 ? 0 答案是什么?

小结:
1.倾斜角与斜率的概念 2.斜率和倾斜角的相互联系,两点连线的斜率公式 3.直线的点斜式,斜截式方程


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