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广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题文(新)


汕头市金山中学 2015-2016 学年度第二学期期末考试 高二文科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1 .已知全集 U

? R ,集合 A ? x | ? 2 ≤ x≤ 3 , B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? ,那么集合

?

?

A ? (CU B) 等于( )A [?1,3]
D. [?2,4) 2.若 z ?

B

? x | x ≤ 3或x ≥ 4?

C. [?2,?1)

3 ( i 表示虚数单位) ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( ) 1 ? 2i
D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3. 已知变量 x , y 的取值如下表所示:

x
y

4 8

5 6

6 7 )

? 的值为( ? ? 2 ,则 b ? ? bx 如果 y 与 x 线性相关,且线性回归方程为 y
A.1 B.

3 2

C.

4 5

D.

5 6

4 .用反证法证明命题: “若整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么

a, b, c 中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是(
A.假设 a, b, c 都是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个是偶数



B.假设 a, b, c 都不是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数

5.双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1相切,则双曲线离心率为( 2 a b
B. 3 C. 2 D. 3



A. 2

6. 设条件 p:|x-2|<3,条件 q:0<x<a,其中 a 为正常数.若 p 是 q 的必要不充分条件, 则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D.



1

7.函数 y ? sin( x ?

?
6

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,

得到图像 C1 ,再把图像 C1 向右平移 对应的函数表达式为( A. y ? sin 2 x C. )

? 个单位,得到图像 C 2 ,则图像 C 2 6

B. y ? sin(

y ? sin

1 x 2

1 ? x? ) 2 4 1 ? D. y ? sin( x ? ) 2 12


8.阅读如图所示的程序框图,若输出的 S 是 126,则①处应填(

A.n≤5

B.n≤6

C.n≥7

D.n≤8

9 . 对 于 大 于 1 的 自 然 数 m 的 三 次 幂 可 用 奇 数 进 行 以 下 方 式 的 “ 分 裂 ” 23 ? 3 ? 5 , 33 ? 7 ? 9 ? 11, 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,?,仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 59,则 ) m 的值为( A.6 B.7 C.8 D.9 10. 在△ABC 中,AB ? AC ? AB ? AC , AB =2, AC=1, E, F 为 BC 的三等分点, 则 AE ? AF =( ) A.

8 9

B.

10 9
2

C.

25 9

D.

26 9
y A

11. 已知抛物线 C 的方程为 y

? 2px(p ? 0),一条长度为 4 p 的线段 AB 的

两个端点 A 、 B 在抛物线 C 上运动,则线段 AB 的中点 D 到抛物线 C 的准线的 距离的最小值为 ( ) A.

O

x

3 p 2

B. 2 p
3 2

C.

5 p 2

D. 3p

B

12.已知函数 f ( x) ? 2ax ? 3ax ? 1, g ( x ) ? ?

a 3 x ? ,若对任意给定的 m ? [0,2] ,关 4 2 于 x 的方程 f ( x) ? g (m) 在区间 [0,2] 上总存在两个不同的解,则实数 a 的取值范围是
( ) B. (1,??) C. (??,-1) ? (1,??) D. [-1,1] A. (-?,-1)

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13.若复数 a ? 3a ? 2 ? ? a ? 1? i 是纯虚数,则实数 a 的值为______.

?

?



2

14.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是______. 15. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 则△ABC 的面积的最大值为 . (acosB+bcosA) =2csinC, a+b=4,

16.已知抛物线 C : x 2 ? 8 y 的焦点为 F ,动点 Q 在 C 上,圆 Q 的半径为 1 ,过点 F 的直线 与圆 Q 切于点 ? ,则 FP ? FQ 的最小值为___________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ⑴求函数 f ( x) 的解析式; ⑵设 f( ) ?

?
2

)的图象如图所示

?

2

3 ? 2? 2? ,? ? ( , ),求 sin( 2? ? )的值。 5 6 3 3
1 1 , a1 , a2 , a3 ? 成等差数列,公比 q ? (0,1) 2 8

18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足: a1 ?

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 2nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 19. (本小题满分 12 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将 ?CBD 沿 BD 折起
?

到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD (1)求证: AB ? DE ; E ? ABD (2)求三棱锥 的侧面积.

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好 是抛物线 y ?

1 2 2 5 x 的焦点,离心率为 . 4 5

(1)求椭圆 C 的标准方程;

B 两点, (2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 交 y 轴于 M 点, 若 MA ? ?1 AF ,

????

??? ?

???? ??? ? MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 ? ?10 .
页 3

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ?

m ,m? R x

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ( x) 的极小值;

x 零点的个数; 3 f (b ) ? f ( a ) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. (3)若对任意 b ? a ? 0 , b?a
(2)讨论函数 g ( x ) ? f ( x) ?
'

请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则 按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:平面几何证明选讲
? 如图,在 ?ABC中,?B ? 90 , AB 为直径的⊙ O 交 AC 于 D ,过点 D 作⊙ O

D

C
F E B

的切线交 BC 于 E , AE 交⊙ O 于点 F . (1)证明: EB ? EC ; (2)证明: AD ? AC ? AE ? AF .

A

O

?

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2 ? sin(? ?

? x ? 1 ? cos? (? 为参数) ,以 O ? y ? sin ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为

O, P ,与直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长.
24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲
| x ? 1| ?| x ? a| . 设函数 f ( x) ?

(1)当 a ? 2 时,解不等式: f ( x) ? 5 ; (2)若存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2 ,试求实数 a 的取值范围.



4

参考答案: ADABC ADBCB BA 13.2;14.1,;15. ;16.3

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由图可得 A ? 1 ,且 T ? 4( 分 又 f ( x) 图像过点 ( 分 又0 ? ? ?

5? ? 2? ? ) ? ? ,从而 ? ? ,? ? 2 12 6 ?

--------3

7? 7? 7? ,?1) , ? sin( 2 ? ? ? ) ? ?1 即 sin( ? ? ) ? ?1 12 12 6

--------4

?
2

?

?? ?


?
3

7? 7? 5? 7? 3? ? ?? ? ?? ? ,? , 6 6 3 6 2

? f ( x) ? sin( 2 x ?

?

3

).

--------7

(2)由(1)可知 f( ) ? sin(? ?

?

?
3

2

)?

3 , 5

--------8



? ? ?(

?
6

,

? ? 2? ),? ? ? ? ? ? 3 2 3
3 ) ? ? 1 ? sin 2(? ?

? cos(? ?

?
3

)? 0
--------10

? cos(? ?


?

?
3

)? ?

4 5

? sin( 2? ?

2? ? ) ? sin 2 (? ? ) 3 3
= 2 sin(? ?

?

3

) cos( ? ?

?

3 4 12 ) ? 2 ? ? (? ) ? ? 3 5 5 25

--------12

分 18. (本小题满分 12 分)

设等比数列 ?a n ?公比为 q ,

? a1 ?

1 1 1 , a1 , a2 , a3 ? 成等差数列,? 2a2 ? a1 ? a3 ? , 2 8 8 1 2 即 2a1 q ? a1 ? a1 q ? , 8 1 3 2 整理得 4q ? 8q ? 3 ? 0 ,解得 q ? 或 q ? , 2 2
1 1 ?1? 1 ,? an ? ? ? ? ? n 2 2 ?2? 2 2n n (1)根据题意得 bn ? 2nan = n ? n ?1 , 2 2 3 n ?1 n S n ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , ① 2 2 2
又? q ? (0,1) ,? q ?
n ?1

???2 分

???4 分 ???6 分



5

3 n ?1 n ? ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 , ② 2 2 2 1 1 1 n ②-①得 S n ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 1 1 1 n = 2 ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? 2 ) ? n ?1 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2 ? n =4? n?2 ? 2? 1 2 n ?1 2 n ?1 1? 2 2S n ? 2 ? 2 ?
19. (本小题满分 12 分) (I)证明:在 ?ABD 中,? AB ? 2, AD ? 4, ?DAB ? 60?

???8 分

???10 分

???12 分

? BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? 2 AD cos ?DAB ? 2 3 ? AB 2 ? BD 2 ? AD 2 ,? AB ? DE
又? 平面 EBD ? 平面 ABD 平面 EBD ? 平面 ABD ? BD, AB ? 平面 ABD

? AB ? 平面 EBD ? DF ? 平面 EBD,? AB ? DE
(Ⅱ)解:由(I)知 AB ? BD, CD // AB,?CD ? BD , 从而 DE ? D 在 Rt ?DBE 中,? DB ? 2 3, DE ? DC ? AB ? 2

? S?ABE ?

1 DB ? DE ? 2 3 2

又? AB ? 平面 EBD, BE ? 平面 EBD,? AB ? BE

? BE ? BC ? AD ? 4,? S ?ABE ?

1 AB ? BE ? 4 2

? DE ? BD, 平面 EBD ? 平面 ABD ? ED ? ,平面 ABD
而 AD ? 平面 ABD,? ED ? AD,? S ?ADE ?

1 AD ? DE ? 4 2

综上,三棱锥 E ? ABD 的侧面积, S ? 8 ? 2 3 20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 (1)解:设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 ) ,??1 分 a b
抛物线方程化为 x ? 4 y ,其焦点为 (0,1) , ??????2 分
2



6

则椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) ,即 b ? 1

??????3 分

由e ?

c a 2 ? b2 2 5 2 ,∴ a ? 5 , ? ? 2 a a 5
x2 ? y2 ? 1 5
??????6 分

所以椭圆 C 的标准方程为

(2)证明:易求出椭圆 C 的右焦点 F (2, 0) , ??????7 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) ,由题意,显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,代入方程

x2 ? y 2 ? 1 并整理, 5
??????9 分



(1 ? 5k 2 ) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0
20k 2 20k 2 ? 5 x x ? , 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
1

∴ x1 ? x2 ? 又 ,

??????10 分

???? M ? A(

,x? 1

???? , y 0 ) y MB ? ( x2 , y2 ? y0 )



??? ? AF ? (2 ? x1, ? y1 ) ,

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? BF ? (2 ? x2 , ? y2 ) ,而 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,
即 ( x1 ? 0, y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) , ( x2 ? 0, y2 ? y0 ) ? ?2 (2 ? x2 , ? y2 ) ∴ ?1 ?

x1 x2 , ?2 ? , 2 ? x1 2 ? x2

????????12 分

所以

?1 ? ?2 ?

x1 x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? ? ?10 ???14 分 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2

21. (本小题满分 12 分) e x-e 解:(1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+ ,则 f′(x)= 2 ,

x

x

∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增. e ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+ =2, e ∴f(x)的极小值为 2.

x 1 m x (2)由题设 g(x)=f′(x)- = - 2- (x>0), 3 x x 3
1 3 令 g(x)=0,得 m=- x +x(x>0), 3



7

1 3 设 φ (x)=- x +x(x≥0), 3 则 φ ′(x)=-x +1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ ′(x)>0,φ (x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ ′(x)<0,φ (x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ (x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 φ (x)的最大值点, 2 ∴φ (x)的最大值为 φ (1)= . 3 又 φ (0)=0,结合 y=φ (x)的图像(如图所示),可知
2

2 ①当 m > 时,函数 g(x)无零点; 3 2 ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; 3 ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 2 综上所述,当 m> 时,函数 g(x)无零点; 3 2 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点. 3 (3)对任意的 b>a>0,

f(b)-f(a) <1 恒成立, b-a m x

等价于 f(b)-b<f(a)-a 恒成立.(*) 设 h(x)=f(x)-x=ln x+ -x(x>0), ∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 m 由 h′(x)= - 2-1≤0 在(0,+∞)上恒成立,

x x

2 ? 1? 1 2 得 m≥-x +x=-?x- ? + (x>0)恒成立, ? 2? 4 1 1 1? ? ∴m≥ ?对m= ,h′(x)=0仅在x= 时成立?, 4 2 4? ?

?1 ? ∴m 的取值范围是? ,+∞?. ?4 ?



8

请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则 按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:平面几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 BD ,因为 AB 为⊙ O 的直径,所以 BD ? AC ,又 ?B ? 90? ,所以 CB 切⊙ O 于点 B ,且 ED 切于⊙ O 于点 E ,因此 EB ? ED , ??2 分

?EBD ? ?EDB , ?CDE ? ?EDB ? 90? ? ?EBD ? ?C ,所以 ?CDE ? ?C ,
得 EC ? ED ,因此 EB ? EC ,即 E 是 BC 的中点 (Ⅱ)证明:连接 BF ,可知 BF 是 Rt ?ABC 斜边上的高,可得 ?ABE ∽ ?AFB 于是有

AB AE 2 ? ,即 AB ? AE ? AF , AF AB

2 同理可证 AB ? AD ? AC

所以 AD ? AC ? AE ? AF

23. (本题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 (1)由圆 C 的参数方程 ?

? x ? 1 ? cos ? ? x ? 1 ? cos ? ,( ? 为参数)可知 ? ? y ? sin ? ? y ? sin ?
???4 分 ???6 分

消去参数化为普通方程为

( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,又 x ? ? cos? , y ? ? sin ?
代入可得圆的极坐标方程为 ? ? 2 ? cos? ? 0 ,即 ? ? 2cos ? .
2

? ?1 ? 1 ? ? ? 2cos ? ? ? (2)设 ( ?1 ,?1 ) 为点 P 的极坐标,由 ? ,解得 ? ? ? . ???8 分 ?? ?1 ? ? ? 3 ? 3 ? ? 2 ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? 设 ( ? 2 ,? 2 ) 为点 Q 的极坐标,由 ? , ? ?? ? 3 ? ? ?2 ? 3 ? 解得 ? ???10 分 ? . ?? 2 ? 3 ? ∴ | PQ |?| ?1 ? ? 2 |? 2 ???12 分

(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲



9



10


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