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2015全国高中数学联赛预赛模拟题5


2015 全国高中数学联赛预赛模拟题 5

? f ? x?? ? 0 不同实数根的数目为_____. 解:因为 f ? f ? x ? ? ? ? x ? 3x ? 2 ? ? 3 ? x ? 3x ? 2 ? ? 2 ? x ? 6 x ? 10 x ? 3x ,所以
1. 已知二次函数 f ? x ? ? x2 ? 3x ? 2 , 则方程 f


2 2 2 4 3 2

3? 5 , 因此原方程有 4 个不同实根。 2 3 注 也可以讨论 f ? x ? ? 0 根的分布情况。因为当 x ? 时,函数 f ? x ? 单调下降, 2 3 3 当 x ? 时,函数 f ? x ? 单调上升,且 f ? x ? ? 0 的两个根为 1, 2 ,所以当 x ? 时,函 2 2 3 ? 1 ? 数 f ? x ? ? ? ? , ?? ? ? ?1, 2? ,因此 f ? f ? x ?? ? 0 有两个不同实根;当 x ? 时,函数 2 ? 4 ? ? 1 ? f ? x ? ? ? ? , ?? ? ? ?1, 2? ,因此 f ? f ? x ?? ? 0 也有两个不同实根。综上所述,原方程 ? 4 ? 有 4 个不同实根。
有 x ? x ? 3? x ? 3x ? 1 ? 0, x1 ? 0, x2 ? 3, x3,4 ?
2

?

?

2.函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是
2 解:令 t ?| cos x |? [0,1] ,则 y ? t ? | 2t ?1| .

2 2

.

1 9 2 2 ? t ? 1 时, y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ,得 ? y ? 2; 4 8 2 2 1 2 9 2 2 9 2 当 0?t ? 时, y ? ?2t ? t ? 1 ? ?2(t ? ) ? ,得 ? y? . 4 8 2 2 8
当 又 y 可取到

2 2
2

, 故填

2 2



3.若二次方程 x ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的方程有___个. 解:由 ? ? p2 ? 4q ? 0, ?q ? 0 , 知方程的根为一正一负.
2 2 设 f ( x) ? x ? px ? q ,则 f (3) ? 3 ? 3 p ? q ? 0 , 即 3 p ? q ? 9 .

由于 p, q ? N*, 所以 p ? 1, q ? 5 或 p ? 2, q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p, q) 符 合题意. 4.由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样的 五位数共有_____个.
1 1 2 3 解:在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次,有 C5 (C4 ? C4 ? C4 ) ? 70 个; 2 1 2 若 1 只出现 2 次,有 C5 (C3 ? C3 ) ? 60 个; 3 1 若 1 只出现 3 次,有 C5 C2 ? 20 个. 则这样的五位数共有 150 个.

1

5.设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 向量 OB ? (-

? 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2

11 23 5,5) . 解:设 OA ? (m, n) , 则 OB ? (?n, m) , 所以

2OA ? OB ? (2m ? n, 2n ? m) ? (7,9) . 23 ? m? , ? 2 m ? n ? 7 , ? 23 11 11 23 ? 5 即 ? 解得 ? 因此, OA ? ( , ), OB ? ( ? , ) . 5 5 5 5 ? m ? 2n ? 9 . ? n ? 11 . ? 5 ? s i n? x ? 4 ? 5? 6 . 函 数 f ? x? ? , x? ? 0? , 9 ? 0? , 则 f ? x ? 的 最 大 值 与 最 小 值 的 乘 积 s i n? x ? 6 ? 0?
为 解 : 因 为 f ?? x? ? 。答

s i n 1?5 ? 0 , 所 以 f ? x? 严 格 递 增 , 于 是 最 大 值 为 s i n ? x ? 6?0 ?
2

2 3 。 3

f ?9 0 ?? ?

,最小值为 f ? 0? ? ? 2

2 3 2 ,其积为 。 3 3

注 单调性也可以直接由定义证明。 7. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n ,

an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为___________.
解:由题意知

an ? 2 (a ? 2) 2 ? 2Sn , 即 Sn ? n . 2 8 a ?2 ? 2a1 , 从而 a1 ? 2 . 由 a1 ? S1 得 1 2 (a ? 2)2 Sn ?1 ? n ?1 (n ? 2) , 又由 ① 式得 8

……… ①

……… ②

(an ? 2)2 (an ?1 ? 2) 2 ? (n ? 2) , 8 8 整理得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 . 因 an ? 0, an?1 ? 0 , 故
于是有

an ? Sn ? Sn?1 ?

an ? an?1 ? 4 (n ? 2), a1 ? 2 . 所 以 数 列 {an } 是 以 2 为 首 项 、 4 为 公 差 的 等 差 数 列 , 其 通 项 公 式 为 N*). an ? 2 ? 4(n ? 1) ,即 an ? 4n ? 2 . 故填 an ? 4 n ? 2 (n ? 8.考虑 4 ? 4 的正方形方格表中的 25 个格点,则通过至少 3 个格点的不同直线的数目 为 。答 32 。 解:水平和竖直的直线共有 10 条,与两条对角线平行的直线共有 10 条,其它满足条件 的直线还有 12 条,因此共有 32 条。
2

9.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕

2 ,得到乙、丙公司面试的概率为 p,且三个公司是否让 3 1 其面试是相互独立的。记 ? 为该毕业生得到面试的公司个数。若 P (? ? 0) ? ,则随 12 机变量 ? 的数学期望 E? ? _______. 2 1 1 2 ? p ? , ? 的取值为 0,1,2,3 【解析】: P (? ? 0) ? (1 ? )(1 ? p) ? 3 12 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 4 P (? ? 0) ? , P(? ? 1) ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? 12 3 2 3 2 2 3 2 2 12 21 1 2 1 1 2 11 5 2 1 1 2 P(? ? 2) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? , P(? ? 3) ? ? ? ? 32 2 3 2 2 3 2 2 12 3 2 2 12 1 4 5 2 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 故 E? ? 0 ? 12 12 12 12 3 2008 ? 2008k ? 10.设 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,则 ? ? 。 ? 的值是 k ?1 ? 2009 ? 2008k 解:对于 k ? 1, 2, , 2008 ,因为 不是整数,所以 2009 2008k ? ? 2008k ? ? 2008 ? 2009 ? k ? ? ? 2008k ? ? ?? ? ? 2008 ? ? 2007 ,于是有 ??? ? ? ? 2009 2009 ? ? 2009 ? ? ? ? ? 2009 ? ?
业生得到甲公司面试的概率为
2008 k ?1

? ?? ?? ?? ? 2009 ? ? 2 ?? ? 2009 ? ?

? 2008k ?

1 2008 ? ? 2008k ? ? 2008 ? 2009 ? k ? ? ? 1 ? ? 2008 ? 2007 ? 2015028 ?? ? 2009 k ?1 ? ? ?? 2
BC BM ? ? , 试求 (用 ? 表示). BN MN
A

11.已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 N , 且 AB 是

?NBC 的外接圆的切线, 设

证明:在 ?BCN 中,由 Menelaus 定理得

BM NA CD ? ? ?1. MN AC DB BM AC ? 因为 BD ? DC ,所以 . MN AN

N B M D C

AB AC CB ? ? 由 ?ABN ? ?ACB ,知 ?ABN ∽ ?ACB ,则 . AN AB BN

AB AC ? CB ? 所以, ? ?? ? , 即 AN AB ? BN ?
2

2

AC ? BC ? ?? ? . AN ? BN ?

2

BC BM BM ? BC ? ??, 故 ? ?2 . 因此, ?? ? . 又 BN MN MN ? BN ?
3

12.已知数列 a1 , a2 , 通项公式。 解

, an ,

满足: a1 ? 1, a2 ? 1, an ?1 ?

2 n 2 an ?5 ? n ? 2 ? ,求 an 的 ? n2 ? 1? an?1

2 2 2 由 n ? 1 an ?1an ?1 ? n an ? 5 ,

?

?

两式相减得 n ? 1 an ?1an ?1 ? n ? n ? 2 ? an ? 2 an ? n an ? ? n ? 1? an ?1 ,
2 2 2 2 2

?

即 ? n ?1? an?1

设 bn ? nan ? n ? 1? ,则有 bn?1 ?bn?1 ? bn?1 ? ? bn ?bn ? bn?2 ? , 即

?? n ?1? a

?

?? n ?1? ?1? a
2

n?2 n

2 a ? ? n ? 1? an ?1 ? 5 2

n?1

? ? n ?1? an?1 ? ? nan ? nan ? ? n ? 2? an?2 ? 。

bn?1 ? bn?1 bn ? bn ?2 。 ? bn bn ?1 b ? bn?2 设 cn ? n ? n ? 3? ,由 a1 ? 1, a2 ? 1, a3 ? 3 ,可得 b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 9 , bn?1 b ? b1 于是有 cn ? cn ?1 ? ? c3 ? 3 ? 5。 b2
因为 bn ? 5bn?1 ? bn?2 ? 0 ,特征方程为 x ? 5 x ? 1 ? 0 ,特征根为 x1,2 ?
2

5 ? 21 , 2

? 5 ? 21 ? ? 5 ? 21 ? 从而可设 bn ? ?1 ? 由 b1 ? 1, b2 ? 2 及 bn ? 5bn?1 ? bn?2 ? 0 , ? ? ? 2? ? 2 ? ? 2 ? ? 。 ? ? ? ? ? 5 ? 21 ? ? 5 ? 21 ? ? ? 定义 b0 ? 3 ,于是有 3 ? b0 ? ?1 ? ?2 ,1 ? b1 ? ?1 ? ? ? 2 ? 2? ? 2 ? ?, ? ? ? ?
从而可得 ?1 ?

n

n

63 ? 13 21 63 ? 13 21 ,因此有 , ?2 ? 42 42
n n

63 ? 13 21 ? 5 ? 21 ? 63 ? 13 21 ? 5 ? 21 ? bn ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? , 42 42 ? ? ? ? n n 1 ? 63 ? 13 21 ? 5 ? 21 ? 63 ? 13 21 ? 5 ? 21 ? ? ?。 an ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? n? 42 42 ? ? ? ? ? ?

4

13. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 , 当

, xn ,

?x
i ?1

n

i

? 0 时, 总有

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn?1 ? x1 ).

2 解: 当 n ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 0 ,得 x1x2 ? x2 x1 ? ?2x1 ? 0.

所以 n ? 2 时命题成立. 当 n ? 3 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,得

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ?

所以 n ? 3 时命题成立. 当 n ? 4 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ,得

2 2 2 2 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 ) ?( x12 ? x2 ? x3 ) ? ? 0. 2 2

x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ?( x2 ? x4 )2 ? 0 . 所以 n ? 4 时命题成立.
当 n ? 5 时,令 x1 ? x2 ? 1, x4 ? ?2 , x3 ? x5 ? 但是,

? xn ? 0 , 则

?x
i ?1

n

i

? 0.

?x x
n ?1

n

i i ?1

? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立.

综上可知,使命题成立的自然数是 n ? 2, 3, 4 .

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂 a 2 b2 直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , y 使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e R Q 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. Q' 解:如图, 设线段 PQ 的中点为 M . M‘ M 过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 O F x 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则 P’ P 1 | MM ' |? (| PP ' | ? | QQ ' |) 2 1 | PF | | QF | | PQ | ? ( ? )? 2 e e 2e 3 | PQ | 3 | PQ | , 且 | MM ' | ? | RM | , 即 假设存在点 R ,则 | RM |? ? | PQ | , 2 2e 2 3 所以, e ? . 3 1 | MM ' | | PQ | 2 1 o t ?RMM ' ? cos?RMM ' ? ? ? ? 于是, , 故c . | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e2 ? 1 若 | PF | ? | QF | (如图),则
14. 设椭圆的方程为
5

k PQ ? tan?QFx ? tan?FMM ' ? cot ?RMM ' ?
当e ?

1 3e 2 ? 1

.

1 3 时 , 过点 F 作斜率为 的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于 R , 3 3e 2 ? 1 3 由上述运算知, | RM |? | PQ | . 故 ?PQR 为正三角形. 2 1 若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得 kPQ ? ? . 3e2 ? 1 x2 y 2 3 又 e ? 1 , 所以, 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 e ? ( ,1) ,直 a b 3 1 线 PQ 的斜率为 ? . 3e 2 ? 1

6


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