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解破三角函数大题


解破三角函数大题 解破三角函数大题 函数
(名校经典题合集) 名校经典题合集)

1 π 1、已知函数 f ( x) = 2 sin( x ? ), x ∈ R. 3 6 5π (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 4 π 10 6 ? π? (Ⅱ)设 α , β ∈ ?0, ? , f (3α + ) = , f (3β + 2π ) = , 求 cos(

α + β ) 的值. 2 13 5 ? 2?

2、 f ( x ) = sin( x + 7π ) + cos( x ? 3π ), x ∈ R
4 4

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值 (2)若 cos( β ? α ) = 4 ,cos( β + α ) = ? 4 , 0 < α < β ≤ π ,求证: [ f ( β )]2 ? 2 = 0
5 5 2

π 3、已知函数 f ( x) = 4 cos x sin( x + ) ? 1 . 6

(1)求 f ( x) 的最小正周期;
π π (2)求 f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值。 6 4

4.已知函数 f ( x) = sin x cos ? + cos x sin ? (其中 x ∈ R , 0 < ? < π ) . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

π π? ? (2)若函数 y = f ? 2 x + ? 的图像关于直线 x = 对称,求 ? 的值. 6 4? ?

1

5.已知函数 f ( x ) = sin 2 ωx + 3 sin ωx sin(ωx + (Ⅰ)求 f (x ) ; (Ⅱ)当 x ∈ [ ?

π
2

)(ω > 0) 的最小正周期为 π .

, ] 时,求函数 f (x ) 的值域. 12 2

π π

6.若函数 f ( x) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x + a 在区间 [0, ] 上有最小值 5 , a ∈ R . 2 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的对称轴方程及在 [0, π ] 上的单调增区间.

π

π? ? ?π ? 7、已知函数 f ( x) = 2sin ? x + ? ? 2 cos x, x ∈ ? , π ? . 6? ? ?2 ?
(1)若 sin x = ,求函数 f (x) 的值; (2)求函数 f (x) 的值域.
4 5

8、若函数 f ( x) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x + a 在区间 [0, ] 上有最小值 5 , a ∈ R . 2 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的对称轴方程及在 [0, π ] 上的单调增区间.

π

2

9、已知函数 f ( x) = cos 2 ( x + (1)求 f (x) 的最值;

1 ) + sin 2 x . 12 2

π

(2)求 f (x) 的单调增区间.

π? ? ?π ? 10、已 知函数 f ( x) = 2 sin ? x + ? ? 2 cos x, x ∈ ? , π ? . 6? ? ?2 ?
(1)若 sin x = ,求函数 f (x) 的值; (2)求函数 f (x) 的值域.
4 5

11. 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x + 1 , ( x ∈ R ) (1)把函数 f ( x ) 表示成 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) + K ( A >0,ω >0, ? < (2)求函数 f ( x ) 的图像的最小正周期和对称轴方程;

π
2

)的形式;

π 3π (3)若 x ∈ [ , ] 时,求函数 f ( x ) 的值域。 6 4

12、已知函数 f ( x) = sin( x + ) + sin( x ? ) + cos x + a (a ∈ R, a为常数) . 6 6
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在[-

π

π

π
2



π
2

]上的最大值与最小值之和为 3 ,求实数 a 的值.

3

13、已知函数 f ( x) = 2 sin x cos x + sin( 2 x +

). 2 (1)若 x ∈ R ,求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间;

π

(2)设 x ∈ [0,

π
3

] ,求 f (x) 的值域.

14、已知函数 f ( x) = 2 sin x cos x + cos 2 x . (Ⅰ) 求 f ( ) 的值; 4

π

α 2 ,求 sin α 的值. (Ⅱ) 设 α ∈(0, π ), f ( ) = 2 2

r r r 15.已知向量 a = (cos x, sin x), b = (? cos x, cos x), c = (?1, 0).

(1)若 x =

π
6

r r ,求向量 a 与 c 的夹角;

r r π 9π (2)当 x ∈ [ , ] 时,求函数 f ( x) = 2a ? b + 1 的最大值。 2 8

v v v π v 16.已知向量, a = (m,1), b = (sin x, cos x) , f ( x) = a ? b 且满足 f ( ) = 1 。 2

(1)求函数 y = f ( x ) 的解析式;并求函数 y = f ( x ) 的最小正周期和最值及其对应的 x 值; (2)锐角 ?ABC 中,若 f ( ) = 2 sin A ,且 AB = 2 , AC = 3 ,求 BC 的长. 12

π

4

17、已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) ( A > 0, ω > 0, ? < 示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; 2 (2) 当 x ∈ [?6, ? ] 时 , 求 函 数 3 y = f ( x ) + f ( x + 2) 的最大值与最小值及相应的 x 的值.

π , x ∈ R ) 的图象的一部分如下图所 2

18、设函数 f ( x) = (sin ω x + cos ω x)2 + 2 cos 2 ω x(ω > 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 ω 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y = g ( x) 的图像是由 y = f ( x) 的图像向右平移 y = g ( x) 的单调增区间.

2π . 3

π
2

个单位长度得到,求

19、设函数 f ( x) = sin(

πx π

πx ? ) ? 2 cos 2 +1. 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期.
4 (Ⅱ) 若函数 y = g ( x) 与 y = f ( x) 的图像关于直线 x = 1 对称, 求当 x ∈ [0, ] 时 y = g ( x) 的 3

最大值.

5

20、已知函数 f ( x) = A sin(ω x + ? ), x ∈ R (其中 A > 0, ω > 0, 0 < ? < 交点中,相邻两个交点之间的距离为

π
2

)的图象与 x 轴的
2π , ?2) . 3

π
2

,且图象上一个最低点为 M (

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ∈ [ , ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

π π

21、设函数 f(x)=2 sin x cos 2 (1)求 ? .的值;

?
2

+ cos x sin ? ? sin x(0 < ? < π ) 在 x = π 处取最小值.

(2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a = 1, b = 2 , f ( A) =

3 ,求角 C.. 2

23、已知函数 f ( x) = sin 2 x ? 2sin 2 x (I)求函数 f ( x) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合。

r r r r 24.已知 a = (2 cos x,1), b = (cos x, 3 sin 2 x + m) , f(x)= a ? b 。

(1)求函数在[0,π]上的单调增区间; (2)当 x ∈ [0, ] 时,f(x)的最大值为 4,求实数 m 的值。 6

π

6

25、已知函数 f ( x) = sin 2 ωx + 3 sin ωx sin(ωx +
的最小正周期为π (1)求 f (x); (2)当 x ∈ [?

π
2

)(ω > 0)

, ]时, 求函数f ( x) 的值域。 12 2

π π

π π 26、已知函数 f (x) = sin( x + ) + sin( x ? ) ? cos2x + a(a ∈ R, a 为常数) . 2 2 6 6
(2)求函数 f (x ) 的单调递增区间; (1)求函数 f (x ) 的最小正周期;

27、已知函数 f ( x ) = 2 sin x cos( ? x ) ? 3 sin(π + x) cos x + sin( + x ) cos x 2 2 (1)求函数 y = f ( x) 的最小正周期和最值; (2)指出 y = f ( x) 图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。

π

π

28、设函数 f ( x) = 3 sin x cos x + cos 2 x + a 。 (1)写出函数 f (x) 的最小正周期及单调递减区间;

3 ? π π? (2)当 x ∈ ?? , ? 时,函数 f (x) 的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值。 2 ? 6 3?

7

x x x 29、已知函数 f ( x) = sin cos + cos 2 ? 2. 2 2 2

(Ⅰ)将函数 f ( x) 化简成 A sin(ω x + ? ) + B ( A > 0, ? > 0, ? ∈ [0, 2π )) 的形式,并指出 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x)在[π ,
17π ] 上的最大值和最小值 12

30、已知函数 f ( x) = 3 cos 2 x + 2 cos x sin x + sin 2 x . (Ⅰ)求 f (x) 的最大值,并求出此时 x 的值; (Ⅱ)写出 f (x) 的单调递增区间.

31、已知函数 f ( x ) = 2sin x cos x + cos 2 x ( x ∈ R). (1)求 f ( x ) 的最小正周期和最大值;

π? 2 ? (2)若 θ 为锐角,且 f ? θ + ? = ,求 tan 2θ 的值. 8? 3 ?

π 1 2 sin( x + ) ? 4 3. 32、已知函数 f ( x) = sin x
( Ⅰ ) 求 函 数 f ( x) 的 定 义 域 ; ( Ⅱ ) 若 f ( x) = 2 , 求 sin 2x 的 值 .

8

33、已知函数 f (x) = 2 cos 2 x + sin 2 x ? 4 cos x 。 (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 3 (Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值。

π

334、已知函数 f ( x) = 2 sin(π ? x) cos x .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;
? π π? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 2?

35、已知函数 f ( x ) = A cos(ω x + ? ) 的图象如

π 2 图所示, f ( ) = ? ,则 f (0) = 2 3
y



π
O

2

?2 3

7π 12

11 π 12
x

y=f(x)

第 13 题图

9

36.已知向量 a = (sin 2

π
6

x, cos 2

π
6

x ) , b = (sin

r

2

π
6

x, ? cos 2

π
6

x ), g ( x) = a ? b 。

(Ⅰ)求函数 g ( x ) 的解析式,并求其单调增区间; (Ⅱ)若集合 M = { f ( x) | f ( x) + f ( x + 2) = f ( x + 1), x ∈ R} ,试判断 g (x ) 与集合 M 的关系。

π? ? ?π ? 37、已知函数 f ( x) = 2sin ? x + ? ? 2 cos x, x ∈ ? , π ? . 6? ? ?2 ?
(1)若 sin x = ,求函数 f (x) 的值; (2)求函数 f (x) 的值域.
4 5

38、设 f ( x ) = sin x + cos x (0 ≤ x ≤ π ) (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及取得最大值时 x 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; 1 π (Ⅲ)若 f (α ) = ,求 sin(2α ? ) 的值。 5 2

39、已知函数 f ( x ) = 2 cos x (sin x ? cos x ) + 1 x ∈ R . , (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;
? π 3π ? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

10

40、已知向量 a = ( cos2 x,sin x ) , b = ( 2 3,2cos x ) ,设 f ( x ) = a ? b ? 3 , ( x ∈ R )
r

r

r r

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间;
π π (Ⅱ)当 x ∈ ?? , ? 时,求函数 f ( x ) 的最小值。 ? 4 4? ? ?

1

41、已知向量 a = (cos x, sin x ) , b = (? cos x, cos x ) , c = (?1,0) . (Ⅰ)若 x =

π
6

,求向量 a 、 c 的夹角;

? π? (Ⅱ)当 x ∈ ?0, ? 时,求函数 f ( x) = 2a ? b + 1 的值域. ? 4?

42、在 ?ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c .已知 B=C, 2b = 3a . (Ⅰ)求 cos A 的值;(Ⅱ)求 cos(2 A + ) 的值. 4

π

43、△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 己知 asinA+csinC- 2asinC=bsinB (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A=75°,b=2,求 a,c

44、 ?ABC 中, b, 分别为内角 A, C 所对的边长, 3 , 2 , + 2 cos( B + C ) = 0 , 在 a, c B, a= b= 1 求边 BC 上的高

11

45、在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A +
) = 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A = , b = 3c ,求 sin C 的值. 3

π

46、在 ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.
1 已知 sin A + sin C = p sin B ( p ∈ R ) , 且 ac = b 2 . 4 5 (Ⅰ)当 p = , b = 1 时,求 a, c 的值;(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; 4

47、 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,已知 sin (Ⅰ) 求 cos C 的值; (Ⅱ) 若△ABC 的面积为
3 15 4

C 2



10 4



,且 sin A+sin B=

2

2

13 16

sin C,

2

求 a,b 及 c 的值.

48、△ABC 中, 3 tan A tan B ? tan A ? tan B = 3 . (I)求∠C 的大小; 若 且△ABC 是锐角三角形, a 2 + b 2 求 (Ⅱ) 设角 A, C 的对边依次为 a, b, c , c = 2 , B, 的取值范围.

12

49、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,设 S 为△ABC 的面积,满足
S= 3 2 (a + b2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 C 的大小;

(Ⅱ)求 sin A + sin B 的最大值。

50、在△ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别为 a 、b、c,且 b cos C + c cos B = 3a cos B , (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 BA ? BC = 2 且 b = 2 2 ,求 a 和 c 的值。

51、在 ?ABC 中,已知 A = 45o , cos B =

4 . 5

(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 BC = 10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

53、 ABC 中,A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,tan C = △ (1)求 A, C ; (2)若 S?ABC = 3 + 3 ,求 a, c

sin A + sin B , sin( B ? A) = cos C . cos A + cos B

π? ? 54、已知函数 f ( x) = sin 2 ω x + 3 sin ω x sin ? ω x + ? ( ω > 0 )的最小正周期为 π . 2? ?

(Ⅰ)求 ω 的值;
? 2π ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? 3?

13

55、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c= 7 ,
7 A+ B ? cos 2C = . 2 2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.

且 4 sin 2

uuu uuur r uuu uuur r 56、在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC = 3 AB ? AC = 3BC 2 ,求角 A,B,C 的大小.

57、 ?ABC 的内角 A 、 、 的对边长分别为 a 、 、 , 设 B C b c cos( A ? C ) + cos B = 求B。

3 , 2 = ac , b 2

58、 ABC 中,A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,tan C = △ (1)求 A, C ; (2)若 S?ABC = 3 + 3 ,求 a, c .

sin A + sin B , sin( B ? A) = cos C . cos A + cos B

59、设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,cos( A ? C ) + cos B = 求 B.

3 2 , b = ac , 2

60、设函数 f(x)=cos(2x+ (1) (2)

π
3

)+sin 2 x.

求函数 f(x)的最大值和最小正周期.
1 c 1 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB= , f ( ) = ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

14

61、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,设 S 为△ABC 的面积,满足
S= 3 2 (a + b2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A + sin B 的最大值。

62、在△ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别为 a 、b、c,且 b cos C + c cos B = 3a cos B , (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 BA ? BC = 2 且 b = 2 2 ,求 a 和 c 的值。

ur 63、已知以角 B 为钝角的 ?ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , m = (a, 2b) , ur r r n = (1, ? sin A) ,且 m ⊥ n .

(1)求角 B 的大小; (2)求 sin A + cos C 的取值范围.

64 、 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 已 知 a 2 ? b 2 = 3c , 且 sin A cos B = 2 cos A sin B ,求边长 c.

65、 在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 满足 sin B + sin C = sin A(cos B + cos C ). (Ⅰ)求 ∠A 的度数; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积是 4,求 ?ABC 的周长的最小值。

15

67、在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,b+c=2,△ABC 的面积为 (1)求角 A 的最大值; (2)当角 A 取最大值时,求 a

3 。 4

68、已知向量 m=(sinB,1-cosB),且向量 m 与向量 n=(2,0)的夹角为 C 是△ABC 的内角。 (1)求角 B 的大小;

,其中 A,B, 3 (2)求 cosSA·cosC 的取值范围。

π

69、已知点 O(0,0) ,A(2,0) ,B(0,2) ,C( cos α ,sin α ) ,且 0 < α < π , uuu uuur r uuu uuur r uuur uuu r (1)若 | OA + OC |= 7 ,求 OB与OC 的夹角; (2)若 AC ⊥ BC , 求 tan α 的值。

70. 在 ?ABC 中,已知 cos A + cos B ? cos( A + B ) =

3 ,试判断 ?ABC 的形状。 2

ur r ur r ? 71 、 已 知 m = cos x, sin x), n = (sin ? , 2 cos 2 ? 1)(0 < ? < π ), f ( x) = m ? n , 若 f ( x) 在 ( 2 x = π 处取得最小值。 (1)求 ? 的值;
3 (2)a,b,c 分别是 ?ABC 内角 A,B,C 的对边,若 f ( A) = 且a=2 ,求 ?ABC 面积的最大 5 值。

16


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