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专题5:三角函数专题


专题五:三角函数 (一)求值与化简问题 前提:对诱导公式、同角基本关系、两角和与差公式、倍角公式、辅助角公式等三角公式能灵活运用 基本思路是:一角二名三结构。 首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心! 第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ; 第三观察代数式的结构特点。 求值与化简问题:解决此类问题时应以角的变换即统一角思想和切弦互化思想

为指导,从角、名、形、幂 方面做考虑 就能找到突破口,使问题解决。 1.巧变角(角的拼凑) :已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) , ? ? ? ? 2? ? ?? 2 , ??? 2 ? ?? ? ? 2 ? ?? ? ? ? 2 ? 例题 1.已知 tan(? ? ? ) ? 2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____。 5 4 4 4 2.三角函数名互化(切化弦), 例题 2.求值 sin 50? (1 ? 3 tan10? ) 3.公式变形使用。 例题 3.已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____ 4.三角函数次数的降升 例题 4.若 ? ? ( ? , ? ) ,化简 3 2 1 1 1 1 ? ? cos 2? 为_____ 2 2 2 2 5.化简与证明问题:式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 例题 5. 求证: 1 ? sin ? 1 ? 2sin 2 ? 2 ? 1 ? tan 1 ? tan ? ? 2; sec2 x ? ? cos tan 2 x ? tan x ? cot x ? tan ? ? sin ? ? ? 等) 6.常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin , 2 2 2 例题 6.已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? 的值。 sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” 7.正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 , 例题 7.若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __ ; 2 2 4 2 8.辅助角公式(收缩代换)的应用: a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a, b 的符号确定, b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a 例题 8.若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. ? 角的值由 tan ? ? (二)三角函数 y ? A sin(? ? x ? ? ) 的有关问题 (1)三角函数 y ? A sin(? ? x ? ? ) 的图象变换 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象变换涉及三种基本变换: 1.相位变换:把 y ? sin x 的图象上所有点向左(当 ? >0 时)或向右(当 ? <0 时)平移| ? |个单位,得到 y ? sin(x ? ? ) 的图像。 2.周期变换:把 y ? sin(x ? ? ) 的图象上所有

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