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双曲线及其标准方程第一课时

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复习回顾
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>

;|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
思考:
2. 引入问题:

Y

M ? x, y ?

F1 ?? c , 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?
双曲线图象 拉链画双曲线

①如图(A),
P ? {M | | MF1 | - | MF2 |? 2a}

②如图(B),

P ? {M | | MF2 | - | MF1 |? 2a}
由①②可得:

P ? {M | | | MF1 | - | MF2 | | ? 2a}

(差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

一、 双曲线定义(类比椭圆)
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
M

② |F1F2|=2c ——焦距.
说明: 思考: (1)若2a=2c,则轨迹是什么?(1)两条射线 0<2a<2c ;
F1 o F2

x

(2)若2a>2c,则轨迹是什么?(2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线

二、 双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F1

O

F2

x

|MF1| - |MF2|=±2a


4.化简

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ?2 a

? ( x ? c) ? y ? ? ?? 2a ?
2 2 2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a ? ? a ( x ? c) ? y
2 2

2

( c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c 2 ? a 2 ? b2
x a2
2

? b 2 ? 1( a ? 0, b ? 0)

y2

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

思考:若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M

F2 x
F1
O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

焦点在y轴上 焦点在x轴上 (a ? 0,b ? 0)

讨论: 1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? 看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上;
2 2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有 何区别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆 定 义 方 程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

F(±c,0) F(±c,0) 焦 F(0,±c) F(0,±c) 点 a.b.c a>b>0,a2=b2+c2 a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2 的关 a最大(长半轴) c最大(半焦距) 系

讨论:
当 m、n 取何值时,方程mx ? ny ? 1表示 椭圆,双曲线,圆 。
2 2

解:由各种方程的标准方程知, 当 m ? 0, n ? 0, m ? n 时方程表示 的是椭圆;

当 m ?n ? 0 时方程表示双曲线;
当 m ? n 时方程表示圆。

三、例题选讲 例1 已知两定点 F1 ?? 5, 0?, F2 ?5, 0? ,动点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程
解:∵ F1 F2 ? 10 >6,
PF1 ? PF2 ? 6

∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 ( ?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. x2 y2 ? ?1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16


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