nbhkdz.com冰点文库

§3.4基本不等式


§3 不等式
课标要求与教材分析 不等关系在日常生活中大量存在,是客观世界的基本数量关系。因为任何人都需要对发生在我 们周围的事物作出某种判断,判断有时需借助于量与量的比较来实现,而完成量与量比较的过程就 是建立不等式这一数学模型的过程。本章把不等式作为刻画和描述现实世界中事物不等关系的一种 工具,作为描述、刻画优化问题的一种数学模型。不等式在中学数学中有着广泛的应用,

例如讨论 方程或方程组解得情况;研究函数的定义域、值域、单调性、最值;解决线性规划问题;讨论曲线 的分布范围等都需要用到不等式的相关知识。因此,不等式在中学数学中有着重要的地位,也是进 一步学习数学的基础之一。 学情分析 学生在初中学习了不等式的概念,不等式的基本性质,以及一元一次不等式的解法。但是,学 生对已学知识的应用意识不强,代数式的变形没有目的性,随意性较大。 教学目标 (1)不等式的性质及其证明; (2)掌握基本不等式的证明及应用; (3)掌握比较法,综合法证明不等式;. (4)通过不等式的教学,培养学生的同解变形能力,分析问题解决问题的能力;同时渗透分类讨论的 思想,转化的思想,数形结合思想;对学生进行辩证唯物主义的教育。

§3.4 基本不等式
教学目标 知识与能力: 理解两个实数的平方和不小于它们之积的 2 倍的不等式的证明;理解两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释。 过程与方法: 回顾完全平方差公式,探究两个实数的平方和与它们之积的 2 倍的关系,从中发现基本不 等式。 情感、态度与价值观: 感受由重要不等式过度到基本不等式的过程,提高学生举一反三的逻辑推理能力;通过对 基本不等式的几何解释,增强学生数形结合的能力。本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不 等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程,难点是用基本不等式求最值。 教学方法与手段 启发、引导式教学 使用教材的构想 本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式,需要学生理解六字 方针:一正二定三等。这是比较抽象的内容。尤其是“定”的相关变化比较灵活,不可能在一节课 解决。因为我把这部分内容放到第二节课。本节课主要让学生掌握“正”“等”的意义。

教学流程 一、引入 教师:展示第 24 届国际数学家大会会标,并介绍古数学家赵爽。

教师:大家能在图中找出一些相等关系或不等关系吗? 预设:观察、猜想、思考。 教师:4 个直角三角形有怎样的关系?能计算出它们的面积吗?图形中间的四边形是怎样的四 边形?能计算出它的面积吗? 预设:全等, S Rt? ?

1 ab , S正方形 ? a 2 ? b 2 。 2

教师:4 个直角三角形的面积之和与这个正方形的面积有怎样的关系? 预设: S正方形>4S Rt? 教师:也就是说 a ? b >2ab ,那么什么时候等号成立?等号成立的时候图形有什么特点?
2 2

a ? b ? 2ab。 预设:当 a ? b时,等号成立,即 这时直角三角形变成等腰三角形,正方形
2 2

缩为一个点。 师生: a, b ? R ? a ? b ? 2ab
2 2 ?

教师:当 a, b ? R 时,上述不等关系还成立吗? 预设:思考。 二、新授 (一)推理论证 教师:完全平方差公式是什么? 预设: ?a ? b? ? a 2 ? 2ab ? b 2 。
2

教师:这一公式对 a , b 的取值有什么要求? 预设: a, b ? R
2 2 教师:当 a ? b 时, ?a ? b? ? 0 ,那么此时 a ? b 与 2ab 的大小关系如何?当 a ? b 时呢?

2

2 2 2 2 预设:当 a ? b 时, a ? b ? 2ab ;当 a ? b 时, a ? b ? 2ab 。

2 2 教师:这就是说 a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立。 )

2 2 当 a ? b 时等号成立,其含义是:如果 a ? b ,那么 a ? b ? 2ab ; 2 2 仅当 a ? b 时等号成立,其含义是:如果 a ? b ? 2ab ,那么 a ? b 。

(二)拓展提高 教师:利用 a, b ? R ? a 2 ? b 2 ? 2ab ,以及不等式的性质,大家能否推理论证得到下面两个 不等式?(1) a, b ? R ? ? 上来一试身手? 预设:(1)? a, b ? R
2 ? a ? b? ?

?a ? b? 。哪两位同学愿意 ?a ?b? 2 2 (2) a , b ? R ? a ? b ? ? ? ab ; 2 ? 2 ?
2
2

? a 2 ? b 2 ? 2ab ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 4ab
2

? ?a ? b? ? 4ab
2

4

?a ?b? ) ; ? ab ? ? ? ? ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立。 ? 2 ?
? a 2 ? b 2 ? 2ab
2

(2)? a, b ? R

? a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? a 2 ? b 2
2 2 2 ? a ? b? (当且仅当 a ? b 时, 等号成立。 ) 。 ?

? 2 a ? b ? ?a ? b?
2

?

?

2

?a ? b

2

教师:上述第(1)个不等关系有什么应用价值? 预设:观察,猜想,思考。 教师:当然应用是比较多的,最关键的应用是我们可以利用这一不等关系,把 2 个实数的和与 积进行互相转化。 (三)基本不等式

?a ?b? 教师: 由(1)a, b ? R ? ? )可知, 既然 a, b ? R ? ? ab(当且仅当 a ? b 时,等号成立。 ? 2 ?
时上述不等式成立,那么当 a, b ? R 时,上述不等式成立吗?
?

2

?a?b? 预设:成立, a, b ? R ? ? ) 。 ? ? ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立。 ? 2 ?
?

2

教师:上述不等式能否利用不等式的性质———开方法则,进行开方呢? 预设:能,因为满足开方法则的条件: a ? b ? 0 ? n a ? n b ( n ? N , n ? 2 ) 。 教师:既然可以,那么开方后的结果是什么?

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立。 ) 2 a?b 教师:这一不等式叫基本不等式,称 为 a , b 的算术平均数,称 ab 为 a , b 的几何平均数; 2
预设: a, b ? R ?
?

a , b 的等差中项是多少?它们的等比中项呢?

预设: a , b 的等差中项是

a?b , a , b 的等比中项是 ab 。 2

教师:这说明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两个正数的等差中项不小于它 们的正的等比中项。 C

A O

D

B

教师:请同学们观察上图,如果设 AD ? a, BD ? b ,那么 OC , CD 分别等于多少? 预设:学生思考并作答: OC ?

a?b , CD ? ab 。 2

教师:这说明半径不小于半弦。由基本不等式出发我们可以得到如下两个等价变形式: 当 a, b ? R ? 时: (1) a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立。 ) ; (2) ab ? ?

?a?b? ) 。 ? (当且仅当 a ? b 时,等号成立。 ? 2 ?

2

教师:由(1)可知,积定和最小;由(2)可知,和定积最大。 三、例题分析 例 1:已知: a, b, c, d 均为正数; 求证: ?ab ? cd ??ac ? bd ? ? 4abcd 。 例 2:已知: x ? 0 ; 求: x ?

1 的取值范围。 x
?

例 3:已知: x, y ? R , 且x ? y ? 1; 求:

1 1 ? 的取值范围。 x y

(设计意图:以教师引导,学生主动学习的方式逐步突破重难点,巩固所学知识) 四、反馈练习 课本 P100 ,1,2。 (此处练习让学生板演,及时反馈学生掌握的情况,对症下药,解决学生存在的 问题) 五、小结 教师:通过本节课的学习,你对基本不等式有什么认识?你有什么收获?

预设:学生可能只是把基本不等式的结论总结一下,在此基础上教师要引导学生谈谈对条件的 把握。 教师:我们要站在不同角度深刻理解基本不等式,比如算术平均数与几何平均数;等差中项与 等比中项;半径与半弦。本节课运用的数学思想方法有哪些? 预设:学生可能回答的不完善,教师予以引导,用到了转化与化归,数形结合等思想。 六、作业 课本 P100 习题 3.4A 组 1,2。 板书设计 一、引入 全等, S Rt? ?

1 ab , S正方形 ? a 2 ? b 2 。 2

S正方形>4S Rt?
即 a ? b >2ab
2 2

a, b ? R ? ? a 2 ? b 2 ? 2ab
猜想:当 a, b ? R 时,上述不等关系还成立吗? 二、推理论证

?a ? b?2 ? a 2 ? 2ab ? b 2
2 2 当 a ? b 时, ?a ? b? ? 0 ,此时 a ? b ? 2ab

2

2 2 当 a ? b 时, ?a ? b? ? 0 ,此时 a ? b ? 2ab

2

) a, b ? R ? a 2 ? b 2 ? 2ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立。 (1) a, b ? R ? ? 三、基本不等式

?a ? b? 。 ?a ?b? 2 2 (2) a , b ? R ? a ? b ? ? ? ab ; 2 ? 2 ?
2
2

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立。 ) 2 a?b 说明: (1) 为 a , b 的算术平均数,称 ab 为 a , b 的几何平均数; 2 a?b (2) a , b 的等差中项是 , a , b 的等比中项是 ab ; 2 a?b (3) 为半径, ab 为半弦; 2 a, b ? R ? ?
? (4)当 a, b ? R 时:① a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立。 ) ;

② ab ? ? 四、例题讲解

?a?b? ) 。 ? (当且仅当 a ? b 时,等号成立。 ? 2 ?

2

教学反思 本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不等式, 并从不同角度探索基本不等式的证明过程, 难点是用基本不等式求最值。本节课是基本不等式的第一课时,我从代数证明和几何证明两方面说 明基本不等式的正确性。在新课讲解方面,本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。如 何用好基本不等式,需要学生理解六字方针:一正二定三相等。这是比较抽象的内容。尤其是“定” 的相关变化比较灵活,不可能在一节课解决。因为我把这部分内容放到第二节课。本节课主要让学 生掌握“正”“等”的意义。课堂实施的过程中以学生为主体。包括课前预习,例题放手让学生做,还有 练习让学生上台板书等环节,都让学生主动思考,并在发现问题的过程中展示典型错误,及时纠错, 达到良好的效果。 教师简介 苗体元 中教二级 太原市第四十九中学教师 2002 年参加工作。


§3.4基本不等式

§3.4基本不等式_数学_高中教育_教育专区。§3.4 基本不等式 ab ? a?b 2 【教学目标】 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何...

3.4基本不等式

2013-2014 学年高一数学必修五导学案 编制: 王朝明 审核:何浩明 日期: 2014-06-27 (第1课时) 导学案:3.4基本不等式【使用说明及学法指导】 1.先精读一遍...

3.4基本不等式

3.4基本不等式_数学_高中教育_教育专区。数学必修 5 第三章 不等式 §3.4 基本不等式知识点、要求层次及知识属性分析水平要求 知识点 1、推导并掌握基本不等式...

§3.4基本不等式 (2)

§3.4基本不等式 (2)_数学_高中教育_教育专区。课题:§ 3.4 学校 乐从中学 年级 高一 学科 数学 导学案 授课人 授课时间 班级 姓名 小组 基本不等式 ab ...

§3.4基本不等式 (1)

§3.4基本不等式 (1)_互联网_IT/计算机_专业资料。课题第 周第 课时 ●教学目标 §3.4 基本不等式总第 课时 ab ? a?b (1) 2 审核人:徐慧琳 主备人...

3.4基本不等式

3.4基本不等式_数学_高中教育_教育专区。3.4.1 基本不等式(1) 1 【教学目标】 1 学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不...

§3.4基本不等式

OK 基本不等式 5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 §3.4基本不等式 隐藏>> 基本不等式一、教材...

§3.4基本不等式(1)

3.4.1基本不等式1 19页 1财富值 3[1].4基本不等式复习学案 7页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈...

3.4基本不等式

3.4 基本不等式(1)【学习目标】 (1)了解基本不等式的几何背景,并能推导并掌握基本不等式; (2)理解定理的几何意义,能够简单应用定理证明不等式. 【学习重点】...