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高二数学双曲线的标准方程课件

时间:2015-05-27


双曲线及其标准方程
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y
M

F1

o

F2

x

1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和

等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹.
Y

M ? x, y ?

O 平面内与两定 点F1、F2的距 F1?? c, 0 ? 离的 差 等于常数

X ? ? c , 0 F2

的点的轨迹是什么呢?

动 画

定义: 平面内与两个定点F1, F2的距离的差 的绝对值 等于常数 (小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线.
M F1 o F2

动 画

① 两个定点F1、F2——双 曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距..
③ | |MF1| - |MF2| | = 2a (1)2a<2c ; 注意 F (2)2a >0 ;
1

M

o

F2

|MF1| 想一想?

- |MF2|= ? 2a

1、 2a < |F1F2 |
2 、2a = | 3、

双曲线
两条射线

F1F2 |

2a > |F1F2 |

无轨迹

1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴, y 线段F1F2的中点o为原点建立直角 y 如何求这优美的曲线的方程? 坐标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则焦距为2c(c>0); FF O o 1 常数为 2a(a>0) 1 首


M(x,y) F F22 x x

3.列式. |MF1|
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- |MF2|= ? 2a



(x+c)2 + y2 -

_ 2a (x-c)2 + y2 = +

4.化简.

( x ? c) 2 ? y 2 ?

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ?2a

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c ? a ? b (b ? 0)
2 2 2
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x a2

2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0)

? 想一想
焦点在y轴上的双 曲线的标准方程
y x ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 2 2 a b
2 2

y
F2

o
F1

x

F1(0,-c),
2 2

F2(0,c)
2

c ?a ?b

双曲线的标准方程
y
y
M

M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? ? 1 2 2 a b (a ? 0,b ? 0)

2

2

y x ? ? 1 2 2 a b (a ? 0,b ? 0)

2

2

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)
F1

2

2

y
M

y
M F2
o F2

x
F1

x

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)

2

2

问题:如何判断双曲线的焦点 在哪个轴上?

确定焦点位置:椭圆看分母 大小,双曲线看系数正负。

练习:写出以下双曲线的 焦点坐标
x y 1. ? ?1 16 9 2 2 y x 3. ? ?1 16 9
2 2

x y 2. ? ? 1 F(±5,0) 9 16 2 2 y x 4. ? ? 1 F(0,±5) 9 16

2

2

练习1:根据双曲线的方程指出焦点坐标: x y (1) ? ?1 16 9
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2

2

F1 (?5,0) F2 (5,0)

x2 y 2 (2) ? ? ?1 64 36 (3) 4 x ? 9 y ? 36
2 2

F1 (0, ?10) F2 (0,10)
F1 (? 13,0) F2 ( 13,0)

例1 已知双曲线的焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6,求双曲线 的标准方程.

解:根据双曲线的焦点在 x 轴 上,设它的标准方程为:

∵2a = 6,
2 ∴b =

x y ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 2 2 a b

2

2

c=5 ∴a = 3, c = 5

所以所求双曲线的标准方程为: =16 2 2
x 9 y ? ?1 16

2 2 5 -3

例2、若P是以F1、F2为焦点 的双曲线 x

? 25
2

y 75

2

?1

上的点,且P到F1的距离是 12,求点P到F2的距离。

定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

图 象
方程
焦点
a.b.c 的关 系

y

F1

o

F2

x
F1

x

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

2

2

c ?a ?b
2

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 圆 双曲线

定义

||MF1|- |MF1|+ |MF ||=2a 2 |MF2|=2a
x2
a2 y2 a2 + y2

方程

b2 +

=1

x2 a2
y2

-

y2 b2

=1

x2 =1

b2

a2

- b2

x2

= 1

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 焦点 圆 双曲线

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的 关系

a>b>0,
a2=b2+c2

a>0,b>0,

但a不一定大于 b,c2=a2+b2

x y 练习1:如果方程 ? ?1 2?m m?1 表示双曲线,求m的取值范
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2

2

围.如果是椭圆,M的范围 又是多少? 分析: 由 (2 ? m)(m ? 1) ? 0

得?1? m ? 2

变式一:2 2 方程 x ? y ? 1 表示

2?m m?1

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双曲线时,则m的取值

m ? ? 1 或 m ? 2 范围_________________.
思考:焦点在X轴时M的取值范 围?当在Y轴时M的取值范围?

变式二:上述方程表示焦点 在y轴的双曲线时,求m的 范围和焦点坐标。
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分析: ?m ? 1 ? 0
2

?m?2 ? ?2 ? m ? 0

c ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? 2m ? 1
? ( 0,? ? 2m,?? 3 ) 2m ? 1 ) ? 焦点为 (0

x y ?1 练习2:证明椭圆 ? 25 9
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2

2

与双曲线x -15y
2

2=15的焦

点相同.

变式:
上题的椭圆与双曲线的一 个交点为P,焦点为 F1,F2,求|PF1|.

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|PF |+|PF |=10, 1 2 ? 分 ? 析: ? | PF1 | ? | PF2 |? ?2

15.

思考:
当 0°≤θ≤180°时,方程 2 2 x cosθ+y sinθ=1 的曲线怎样变化?


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