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2015年浙江省数学竞赛模拟卷一


2015年浙江省高中数学竞赛模拟卷一
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. A、充分不必要条件
2

1、 “ ? ? 1 ”是“数列 an ? n2 ? 2?n?n ? N *? 为递增数列”的( B、必要不充分条件 C、充要条件 B. {x |1 ? x ? 2}
3

) D、

都不是

2.若集合 M ? {x | x ? 4, x ? R} , N ? {x |1 ? x ? 3, x ? R} ,则 N A. {x | ?2 ? x ? 1} C. {x | ?2 ? x ? 2}

(CR M ) ? ( D. {x | x ? 2}
)



3.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 4 sin x cos x( x ? R) 的最小正周期为(
A.

? D. ? 2 4.已知 a ? R ,则“ a ? 0 ”是“ f ?x? ? x2 ? x ? a 在 ?? ?,0? 上是减函数”的(
B. C. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

? 8

? 4

)

1 1 5.已知, x ? 1, y ? 1 ,且 ln x, , ln y 成等比数列,则 xy 有( ) 4 4 A、最小值 e B、最小值 e C、最大值 e D、最大值 e
6.如图,水平放置的棱长为 2 的正四面体 A-BCD 中, 若以△ABC 为视角正面,则其正视图的面积是( ) A. 3 B.

7.已知数列 ?an ? 为等差数列,满足 a9 ? 3a11 ? 0 , a10 ? a11 ? 0 ,且数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 有最大值,则 Sn 取得最小正值时 n=( ) A.21 B.20 C.19 D.17 8.若沿三角形三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥,则( ) A.一定是等边三角形 B.一定是锐角三角形 C.可以是直角三角形 D.可以是钝角三角形

2 6 3

C. 2

D. 2 2

x2 y 2 a2 2 2 9.过双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的左焦点 F (?c, 0) ( c ? 0 ) ,作圆 x ? y ? 4 a b 1 的切线 ,切点为 E ,直线 EF 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? (OF ? OP ) ,则此双曲线的 2
离心率为( A. 10 ) B.

10 5

C. 2

D.

10 2

10.△ABC 中,BC=3,AC=4,AB=5,点 P 是△ABC 三边上的任意一点,则 PA ? PB 的最小值 是( ) A.-25 B. ?

25 4

C. ?

9 4


D.0

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 7 分, 共 49 分. 11.已知 sin(

?

12.记数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2?an ? 1? ,则 a2 ? ____________. 13.已知 A, B 是圆 C ( C 为圆心)上的两点, | AB |? 2 ,则 AB ? AC =

4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5

.

.

14.已知函数 f ( x) ?| 1 ? 3 sin 2 x | ,若 f (2 x ? a) ? f (2 x ? a) 恒成立,则实数 a 的最小正 值为 .

1

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 15.若实数 x 、 y ,满足 ? y ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 x ? 1 D ?4 x ? 3 y ? 12 ?
16.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,DB=2,DC=1, A E BC= 5 ,AB=AD= 2 ,将△ABD 沿直线 BD 折起,使二面角 A-BD-C 为 60°。 B 则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 .

. C

y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , m M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称.若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,则 m 的取值范围是_________.
17.设如图,椭圆 C : x ?
2

三、解答题:本大题共 3 小题,每小题 17 分, 共 51 分。 18.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线(倾斜角为锐角)交抛物线于点 M、N,交 其准线于点 E(点 M 位于 x 轴上方,点 N 位于 x 轴下方) 。若|NE|=2|NF|,且|MF|=4。 (1)求抛物线的方程; (2)若动△ABC 内接于该抛物线,且△ABC 的重心恰好是抛物线的焦点,求△ABC 的面积 的最大值。

19.设数列 ?an ? 满足 Sn ? n ? an ,数列 ?bn ?满足 bn ? ?2 ? n??an ? 1? ,且对任意的正整数 n, 都有 bn ?

t ? t 2 ,求实数 t 的取值范围。 4

20.已知 f ( x) ? ax ? bx 。
2

(1)当 a ? b ? 1 时,是否存在区间 ?m, n ? ,使得 f ( x) 在 ?m, n ? 上单调且值域是 ?m, n ? ? (2)求所有满足条件的实数 a ,至少存在一个正数 b ,使得 g ( x) ? 值域相同。

ax2 ? bx 的定义域和

2

答案: ABCCA BCBDB
2

7 ? ?3 ? 2? 3? 2 ? ;4;2; ; ? ,11? ; ; ? 0, ?。 ? 25 2 ?2 ? 4 ? 4 ?

18、 (1)y =4x。 (提示:结合定义用相似比来处理) (2)设 A、B、C 三点的坐标,利用重心,得到 A、B 两点坐标间的关系,用直线 AB 与抛物 线相交,考察△ABF 的最大值即可。 19、 an ? 1 ? ? ? , bn ? b3 ? 20、 (1)不存在; (2) a ? 0, a ? ?4 。

?1? ? 2?

n

1 1 1 。t ? 或t ? ? 。 8 4 2

3


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