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不等式高级水平必备


不等式高级水平必备 目录 Ch1. 伯努利不等式 Ch2. 均值不等式 Ch3. 幂均不等式 Ch4. 柯西不等式 Ch5. 切比雪夫不等式 Ch6. 排序不等式 Ch7. 琴生不等式 Ch8. 波波维奇亚不等式 Ch9. 加权不等式 Ch10. 赫尔德不等式 Ch11. 闵可夫斯基不等式 Ch12. 牛顿不等式 Ch13. 麦克劳林不等式 Ch14. 定义多项式 Ch15. 舒

尔不等式 Ch16. 定义序列 Ch17. 缪尔海德不等式 Ch18. 卡拉玛塔不等式 Ch19. 单调函数不等式 Ch20. 3 个对称变量 pqr 法 Ch21. 3 个对称变量 uvw 法 Ch22. ABC 法 Ch23. SOS 法 Ch24. SMV 法 Ch25. 拉格朗日乘数法 Ch26. 三角不等式 Ch27. 习题与习题解析



1



Ch1. 伯努利不等式 1.1 若实数 xi ( i ? 1, 2, ..., n )各项符号相同,且 xi ? ?1 ,则:

(1 ? x1 )(1 ? x2 )...(1 ? xn ) ? 1 ? x1 ? x2 ? ... ? xn
( 1) 式为伯努利不等式.

( 1)

当 x1 ? x2 ? ... ? xn ? x 时, ( 1) 式变为: (1 ? x )n ? 1 ? nx Ch2. 均值不等式 2.1 若 a1 , a2 ,..., an 为正实数,记:

(2)

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ⑴ Qn ? ,为平方平均数,简称平方均值; n
⑵ An ?
a1 ? a2 ? ... ? an ,为算术平均数,简称算术均值; n

⑶ Gn ? n a1a2 ...an ,为几何平均数,简称几何均值; ⑷ Hn ?
n 1 1 1 ? ? ... ? a1 a 2 an

,为调和平均数,简称调和均值.

则: Qn ? An ? Gn ? Hn
iff

( 3)

a1 ? a2 ? ... ? an 时,等号成立. (注: iff ? if and only if 当且仅当.)

( 3 ) 式称为均值不等式.

Ch3.幂均不等式 3.1 设 a ? (a1 , a2 ,..., an ) 为正实数序列,实数 r ? 0 ,则记:

? a1r ? a2 r ? ... ? an r ? r M r (a ) ? ? ? n ? ?
( 4 ) 式的 M r (a ) 称为幂平均函数.

1

(4 )

3.2 若 a ? (a1 , a2 ,..., an ) 为正实数序列,且实数 r ? 0 ,则:

M r ( a ) ? M s (a )

(5 )

当 r ? s 时, ( 5 ) 式对任何 r 都成立,即 M r (a ) 关于 r 是单调递增函数.
( 5 ) 式称为幂平均不等式,简称幂均不等式.

3.3 设 m ? (m1 , m2 ,..., mn ) 为非负实数序列,且 m1 ? m2 ? ... ? mn ? 1 ,若 a ? (a1 , a2 ,..., an ) 为 正实数序列,且实数 r ? 0 ,则:
第 2 页

Mrm (a ) ? (m1a1r ? m2 a2 r ? ... ? mnanr ) r
(6 ) 式称为加权幂平均函数.

1

(6 )

3.4 若 a ? (a1 , a2 ,..., an ) 为正实数序列,且实数 r ? 0 ,对 Mrm (a) 则: Mrm (a) ? Msm (a) 即: (m1a1r ? m2 a2 r ? ... ? mnan r ) r ? (m1a1 s ? m2 a2 s ? ... ? mnan s ) s
1 1

(7 )

当 r ? s 时, (7 ) 式对任何 r 都成立,即 Mrm (a) 关于 r 是单调递增函数.
(7 ) 式称为加权幂平均不等式,简称加权幂均不等式.

Ch4. 柯西不等式 4.1 若 a1 , a2 ,..., an 和 b1 , b2 ,..., bn 均为实数,则:

(a12 ? a2 2 ? ... ? an2 )(b12 ? b2 2 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2
iff

(8 )

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立.(注: iff ? if and only if 当且仅当.) b1 b2 bn

( 8 ) 式为柯西不等式.

4.2 柯西不等式还可以表示为:
a1 2 ? a2 2 ? ... ? an 2 b1 2 ? b2 2 ? ... ? bn 2 a b ? a2 b2 ? ... ? anbn 2 ( )( )?( 1 1 ) n n n
(9 )

简称: “平方均值两乘积,大于积均值平方” 我们将
a1b1 ? a2 b2 ? ... ? an bn a b ? a2 b2 ? ... ? anbn 简称为积均值,记: Dn ? 1 1 . n n
(10 )

则: [Qn (a)]2 [Qn (b)]2 ? [ Dn (ab)]4 ,即: Qn (a )Qn (b) ? Dn (ab) 4.3 推论 1:若 a, b, c, x, y, z 为实数, x , y , z ? 0 ,则:

a 2 (a ? a2 ? ... ? an )2 a12 a2 2 ? ? ... ? n ? 1 b1 b2 bn b1 ? b2 ? ... ? bn
iff

(11)

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立. b1 b2 bn

(11) 式是柯西不等式的推论,称权方和不等式.

4.4 推论 2:若 a1 , a2 ,..., an 和 b1 , b2 ,..., bn 均为实数,则:
a12 ? b12 ? a2 2 ? b2 2 ? ... ? an 2 ? bn 2 ? ( a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 ? ( b1 ? b2 ? ... ? bn ) 2 (12 )
iff

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立. b1 b2 bn
第 3 页

4.5 推论 3:若 a, b, c, x, y, z 为正实数,则:
x y z (b ? c ) ? (c ? a ) ? (a ? b) ? 3(ab ? bc ? ca ) y?z z? x x? y
(13)

Ch5. 切比雪夫不等式 5.1 若 a1 ? a2 ? ... ? an ; b1 ? b2 ? ... ? bn ,且均为实数.则:

(a1 ? a2 ? ... ? an )(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n(a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )
iff

(14 )

a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,等号成立.

(12 ) 式为切比雪夫不等式.

由于有 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 条件,即序列同调, 所以使用时,常采用 WLOG a1 ? a2 ? ... ? an …… (注: WLOG ? Without Loss Of Generality 不失一般性) 5.2 切比雪夫不等式常常表示为:
( a1 ? a2 ? ... ? an b1 ? b2 ? ... ? bn a b ? a2 b2 ? ... ? an bn )( )?( 1 1 ) n n n
(15 )

简称: “切比雪夫同调数,均值积小积均值”. 即:对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时,两个序列数的均值之积不大 于两个序列数各积之均值. 则: An (a) An (b) ? [ Dn (ab)]2 即: An (a ) An (b) ? Dn (ab) Ch6. 排序不等式 6.1 若 a1 ? a2 ? ... ? an ; 对于 (a1 , a2 ,..., an ) 的任何轮换 ( x1 , x2 ,..., xn ) , b1 ? b2 ? ... ? bn 为实数, 都有下列不等式:
(16 )

a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ? x1b1 ? x2 b2 ? ... ? xnbn ? anb1 ? an?1b2 ? ... ? a1bn
(17 ) 式称排序不等式(也称重排不等式).

(17 )

其中, a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn 称正序和, anb1 ? an?1b2 ? ... ? a1bn 称反序和,

x1b1 ? x2b2 ? ... ? xnbn 称乱序和. 故 (17 ) 式可记为:
正序和 ? 乱序和 ? 反序和
(18 )

6.2 推论:若 a1 , a2 ,..., an 为实数,设 ( x1 , x2 ,..., xn ) 为 (a1 , a2 ,..., an ) 的一个排序,则:

a12 ? a2 2 ? ... ? an2 ? a1 x1 ? a2 x2 ? ... ? an xn
Ch7. 琴生不等式
第 4 页

(19 )

7.1 定义凸函数:对一切 x, y ? [a, b] , ? ? (0, 1) ,若函数 f :[a , b] ? R 是向下凸函数,则:
f (? x ? (1 ? ? ) y ) ? f ( x ) ? (1 ? ? ) f ( y )

( 20 )

( 20 ) 式是向下凸函数的定义式.

注: f :[a , b] ? R 表示区间 [a , b] 和函数 f ( x ) 在 [a , b] 区间都是实数. 7.2 若 f : (a, b) ? R 对任意 x ? (a, b) ,存在二次导数 f ''( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( a , b ) 区间为向 下凸函数; iff x ? (a, b) 时,若 f ''( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( a , b ) 区间为严格向下凸函数. 7.3 若 f1 , f 2 ,..., f n 在 ( a , b ) 区间为向下凸函数, 则函数 c1 f1 ? c2 f 2 ? ... ? cn fn 在在 ( a , b ) 区间对 任何 c1 , c2 ,..., cn ? (0, ?) 也是向下凸函数. 7.4 若 f : (a, b) ? R 是一个在 ( a , b ) 区间的向下凸函数,设 n ? N , ?1 ,?2 ,...,?n ? (0, 1) 为实 数,且 ?1 ? ?2 ? ... ? ?n ? 1 ,则对任何 x1 , x2 ,..., xn ? (a, b) ,有:

f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ... ? ?n xn ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ... ? ?n f ( xn )
( 21) 式就是加权的琴生不等式.

( 21)

简称: “对于向下凸函数,均值的函数值不大于函数的均值”. Ch8. 波波维奇亚不等式 8.1 若 f :[a , b] ? R 是一个在 [a , b] 区间的向下凸函数,则对一切 x , y, z ? [a, b] ,有:
f( x? y?z f ( x) ? f ( y) ? f (z) 2 x? y y?z z?x )? ? [f( )? f ( )? f ( )] 3 3 3 2 2 2
( 22 )

( 22 ) 式就是波波维奇亚不等式.

8.2 波波维奇亚不等式可以写成:

f(

x? y?z f ( x) ? f ( y) ? f ( z) x? y y?z z? x )? f( )? f ( )? f ( ) 3 3 2 2 2 ? 2 3

( 23)

简称: “对于向下凸函数的三点情况,三点均值的函数与函数的均值之平均值,不小于 两点均值的函数值之平均值”. 8.3 若 f :[a , b] ? R 是一个在 [a , b] 区间的向下凸函数, a1 , a2 ,..., an ? [a, b] ,则:

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ) ? n(n ? 2) f (a) ? (n ? 1)[ f (b1 ) ? f (b2 ) ? ... ? f (bn )]
其中: a ?
a1 ? a2 ? ... ? an 1 , bi ? ? a (对所有的 i ) n n ? 1 i? j j

( 24 )

( 24 ) 式是普遍的波波维奇亚不等式.

当 a1 ? x ,a2 ? y ,a3 ? z ,n ? 3 时,a ?
第 5

x? y?z z? x x? y y?z ,b1 ? ,b2 ? ,b3 ? 3 2 2 2


代入 ( 23) 式得:
f ( x) ? f ( y) ? f ( z) ? 3 f ( x? y?z y?z z? x x? y ) ? 2[ f ( )? f ( )? f ( )] 3 2 2 2
( 25 )

即: f (

x? y?z f ( x) ? f ( y) ? f (z) 2 x? y y?z z?x )? ? [f( )? f ( )? f ( )] 3 3 3 2 2 2

( 25 ) 式正是 ( 22 ) 式.

Ch9. 加权不等式 9.1 若 ai ? (0, ?) , ?i ? [0, 1] ( i ? 1, 2, ..., n ) ,且 ?1 ? ?2 ? ... ? ?n ? 1 ,则:

a1?1 a2?2 ...an?n ? a1?1 ? a2?2 ? ... ? an?n

( 26 )

( 26 ) 式就是加权的均值不等式,简称加权不等式. ( 26 ) 式形式直接理解为:几何均值不大于算术均值.

Ch10. 赫尔德不等式 10.1 若实数 a, b ? 0 ,实数 p, q ? 1 且
iff a p ? bq 时,等号成立.

a p bq 1 1 ? ? ? 1 ,则: ab ? p q p q

( 27 )

( 27 ) 式称为杨氏不等式.

10.2 若 a1 , a2 ,...an 和 b1 , b2 ,...bn 为正实数, p, q ? 1 且
p p p 1 p

1 1 ? ? 1 ,则: p q
q q 1 q q

a1b1 ? a2 b2 ? ... ? anbn ? (a1 ? a2 ? ... ? an ) (b1 ? b2 ? ... ? bn )
( 28 ) 式称为赫尔德不等式.

( 28 )

iff

an p a1 p a2 p ? ? ... ? q 时,等号成立. b1q b2 q bn

10.3 赫尔德不等式还可以写成:

a1b1 ? a2 b2 ? ... ? anbn a1 p ? a2 p ? ... ? an p p b1q ? b2 q ? ... ? bn q q ?( ) ( ) n n n
即: [ Dn (ab)]2 ? M p (a)Mq (b) ,即: M p (a ) M q (b) ? Dn (ab) 简称: “幂均值的几何均值不小于积均值”. (注:赫尔德与切比雪夫的不同点:赫尔德要求是 赫尔德的积均值小,切比雪夫的积均值大.)
( 30 )

1

1

( 29 )

1 1 ? ? 1 ,切比雪夫要求是同调; p q



6



10.4 若 a1 , a2 ,...an 、 b1 , b2 ,...bn 和 m1 , m2 ,...mn 为三个正实数序列, p, q ? 1 且
? n p ? p ? n q ?q a b m ? ? i i i ? ? ai mi ? ? ? bi mi ? i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ?
n 1 1

1 1 ? ? 1 ,则: p q

( 31)

( 31) 式称为加权赫尔德不等式. iff

an p a1 p a2 p 时,等号成立. ? ? ... ? b1q b2 q bnq

10.5 若 aij ( i ? 1, 2,..., m ; j ? 1, 2, ..., n ), ?1 , ? 2 ,..., ? n 为正实数且 ?1 ? ? 2 ? ... ? ? n ? 1 ,则:

? (? a
i ?1 j ?1

m

n

?j

ij

) ? ? ( ? aij )
j ?1 i ?1

n

m

?j

( 32 )

( 32 ) 式称为普遍的赫尔德不等式.

10.6 推论:若 a1 , a2 , a3 ? N ? , b1 , b2 , b3 ? N ? , c1 , c2 , c3 ? N ? ,则:

(a13 ? a2 3 ? a3 3 )(b13 ? b2 3 ? b3 3 )(c13 ? c2 3 ? c3 3 ) ? (a1b1c1 ? a2b2c2 ? a3b3c3 )3
简称: “立方和的乘积不小于乘积和的立方”. Ch11.闵可夫斯基不等式 11.1 若 a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn 为正实数,且 p ? 1 ,则:

( 33)

(? (ai ? bi ) ) ? (? ai ) ? (? bi )
p p p i ?1 i ?1 i ?1

n

1 p

n

1 p

n

1 p

( 34 )

iff

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立. b1 b2 bn

( 34 ) 式称为第一闵可夫斯基不等式.

11.2 若 a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn 为正实数,且 p ? 1 ,则:
n n p ? n p p? ( a ) ? ( b ) ? (ai p ? bi p ) p ? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ? i ?1 ? 1 1

( 35 )

iff

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立. b1 b2 bn

( 35 ) 式称为第二闵可夫斯基不等式.

11.3 若 a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn ; m1 , m2 ,..., mn 为三个正实数序列,且 p ? 1 ,则:

(? (ai ? bi ) mi ) ? (? ai mi ) ? (? bi mi )
p p p i ?1 i ?1 i ?1

n

1 p

n

1 p

n

1 p

( 36 )



7



iff

a a1 a 2 ? ? ... ? n 时,等号成立. b1 b2 bn

( 36 ) 式称为第三闵可夫斯基不等式.

Ch12.牛顿不等式 12.1 若 a1 , a2 ,..., an 为任意实数,考虑多项式:

P( x) ? ( x ? a1 )( x ? a2 )...( x ? an ) ? c0 x n ? c1 x n?1 ? ... ? cn?1 x ? cn
的系数 c0 , c1 ,..., cn 作为 a1 , a2 ,..., an 的函数可表达为:

( 37 )

c0 ? 1 ;
c1 ? a1 ? a2 ? ... ? an ;
(i ? j ? n) c2 ? a1a2 ? a1a3 ? ... ? an?1an ? ? ai a j ; (i ? j ? k ? n) c3 ? ? ai a j ak ; ……

cn ? a1a2 ...an .
对每个 k ? 1, 2,..., n ,我们定义 pk ?

ck k !( n ? k )! ? ck k Cn n!

( 38 )

k 则 ( 37 ) 式类似于二项式定理,系数为: ck ? Cn pk .

12.2 若 a1 , a2 ,..., an 为正实数,则对每个 k ? 1, 2,..., n ? 1 有:

pk ?1 pk ?1 ? pk 2
iff

( 39 )

a1 ? a2 ? ... ? ak 时,等号成立.

( 39 ) 式称为牛顿不等式.

Ch13.麦克劳林不等式 13.1 若 a1 , a2 ,..., an 为正实数,按 ( 38 ) 定义,则:

p1 ? p2 ? ... ? pk ... ? pn
iff

1 2

1 k

1 n

( 40 )

a1 ? a2 ? ... ? ak 时,等号成立.

( 40 ) 称麦克劳林不等式.

Ch14.定义多项式 14.1 若 x1 , x2 ,..., xn 为正实数序列,并设 ?1 , ? 2 ,..., ? n 为任意实数. 记: F ( x1 , x2 ,..., xn ) ? x1?1 x2?2 ... xn?n ;
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T[?1 , ? 2 ,..., ?n ] 为 F ( x1 , x2 ,..., xn ) 所有可能的积之和,遍及 ?1 , ? 2 ,..., ? n 的所有轮换.
14.2 举例说明 ⑴ T [1, 0 , 0 ] :表示共有 3 个参数的所有积之和,共有 3 ! ? 6 项.第 1 个参数的指数是 1 , 第 2 和第 3 个参数的指数是 0 . 故: T[1, 0, 0] ? ( 3 ? 1)!? ( x1 y0 z0 ? y1 x0 z0 ? z 1 y0 x0 ) ? 2( x ? y ? z ) . ⑵ T [1, 1] :表示共有 2 个参数的所有积之和,共有 2 ! ? 2 项.第 1 个和第 2 个参数的指 数是 1 . 故: T[1, 1] ? ( 2 ? 1)!? ( x 1 y 1 ) ? 2xy . ⑶ T [1, 2] :表示共有 2 个参数的所有积之和,共有 2 ! ? 2 项.第 1 个参数的指数是 1 , 第 2 个参数的指数是 2 . 故: T[1, 2] ? ( 2 ? 1)!? ( x1 y 2 ? y1 x 2 ) ? xy 2 ? x 2 y . ⑷ T [1, 2, 1] :表示共有 3 个参数的所有积之和,共有 3 ! ? 6 项.第 1 个参数的指数是 1 , 第 2 个参数的指数是 2 ,第 3 个参数的指数是 1 . 故: T[1, 2, 1] ? 2( xy 2 z ? x 2 yz ? xyz 2 ) . 即: T [1, 2, 1] ? T [2, 1, 1] ⑸ T [ 2, 1, 0 ] :表示共有 3 个参数的所有积之和,共有 3 ! ? 6 项.第 1 个参数的指数是 2 , 第 2 个参数的指数是 1 ,第 3 个参数的指数是 0 . 故: T[2, 1, 0] ? x 2 y ? x 2 z ? y 2 x ? y 2 z ? z 2 x ? z 2 y . ⑹ T [ 3, 0 , 0 ]:表示共有 3 个参数的所有积之和,共有 3 ! ? 6 项.第 1 个参数的指数是 3 , 第 2 个和第 3 个参数的指数是 0 . 故: T[3, 0, 0] ? 2( x 3 ? y 3 ? z 3 ) . ⑺ T [a , b, c ] :表示共有 3 个参数的所有积之和,共有 3 ! ? 6 项.第 1 个参数的指数是 a , 第 2 个参数的指数是 b ,第 3 个参数的指数是 c . 故: T[a, b, c] ? xa yb z c ? xa yc z b ? xb yc z a ? xb ya z c ? xc ya z b ? xc yb z a . 由于 T[a, b, c] ? T[b, c, a] ? T[c, a, b] ? T[c, b, a] ? T[b, a, c] ? ... 表达式比较多, 所以我们规定: T [a , b, c ] ( a ? b ? c ). Ch15.舒尔不等式 15.1 若 ? ? R ,且 ? ? 0 ,则:
T [? ? 2 ? , 0, 0] ? T[? , ? , ? ] ? 2T[? ? ? , ? , 0]
第 9 页

( 41)

( 41) 式称为舒尔不等式.

15.2 解析 ( 41) 式

T[? ? 2? , 0, 0] ? 2( x? ? 2? ? y? ? 2? ? z? ? 2? ) ; T[? , ? , ? ] ? 2( x? y ? z ? ? x ? y? z ? ? x ? y ? z? ) ;
T[? ? ? , ? , 0] ? x? ? ? y? ? x ? y? ?? ? y? ?? z ? ? y? z? ?? ? x? z? ?? ? x? ?? z ?
将上式代入 ( 41) 式得:

x? ? 2? ? y? ? 2? ? z? ? 2? ? x? y? z ? ? x? y? z ? ? x? y? z?
? x? ?? y? ? x? y? ?? ? y? ?? z ? ? y? z? ?? ? x? z? ?? ? x? ?? z ?
即: x? ? 2? ? y? ? 2? ? z? ? 2? ? x? y ? z ? ? x ? y? z ? ? x ? y? z?

? x? ? ? y? ? x? y? ?? ? y? ?? z ? ? y? z? ?? ? x? z? ? ? ? x? ? ? z ? ? 0
即: x? ( x 2? ? y ? z ? ? x ? y ? ? x ? z ? ) ? y? ( y 2? ? x ? z ? ? x ? y ? ? y ? z ? )

? z? ( z 2 ? ? x ? y ? ? y ? z ? ? x ? z ? ) ? 0
即: x? ( x? ? y? )( x ? ? z ? ) ? y? ( y ? ? z ? )( y ? ? x ? ) ? z? ( z ? ? x ? )( z ? ? y ? ) ? 0 ( 42 )
( 42 ) 式与 ( 41) 式等价,称为舒尔不等式.

15.3 若实数 x , y , z ? 0 ,设 t ? R ,则:

xt ( x ? y)( x ? z) ? yt ( y ? z)( y ? x) ? z t ( z ? x)( z ? y) ? 0
iff
x ? y ? z 或 x ? y, z ? 0 及轮换,等号成立.

( 43)

按照 ( 41) 式写法,即: ? ? t , ? ? 1 ,则:
T [t ? 2, 0, 0] ? T [t , 1, 1] ? 2T [t ? 1, 1, 0]

( 44 )

( 43) 式是我们最常见的舒尔不等式形式.

15.4 推论:设实数 x , y , z ? 0 ,实数 a, b, c ? 0 且 a ? b ? c 或 a ? b ? c ,则:
a( x ? y )( x ? z ) ? b( y ? z )( y ? x ) ? c( z ? x )( z ? y ) ? 0 ( 43) 式中, x t ? a , y t ? b , z t ? c ,就得到 ( 45 ) 式.

( 45 )

15.5 推论:设实数 x , y , z ? 0 ,则:
3 xyz ? x ? y ? z ?
3 3 3 3 2 2[( xy ) 3 2 ? ( yz ) 3 2 ? ( zx ) ]

( 46 )

15.6 推论:若 k ? (0, 3] ,则对于一切 a, b, c ? R? ,有:



10



2 k ( 3 ? k ) ? k (abc )

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca )

( 47 )

Ch16. 定义序列
n n 16.1 设存在两个序列 ( ? i )i ?1 ? ( ? 1 , ? 2 ,..., ? n ) 和 (? i )i ?1 ? (?1 , ? 2 ,..., ? n ) ,当满足下列条件:

⑴ ?1 ? ? 2 ? ... ? ? n ? ?1 ? ?2 ? ... ? ?n ⑵ ?1 ? ? 2 ? ... ? ? n 且 ?1 ? ? 2 ? ... ? ? n ⑶ ?1 ? ? 2 ? ... ? ? s ? ?1 ? ?2 ? ... ? ? s 对一切 s ? [1, n] ,③式都成立.

① ② ③

n 则: ( ? i )n i ? 1 就是 (? i )i ? 1 的优化值,记作: ( ? i ) ? (?i ) .

注:这里的序列只有定性的比较,没有定量的比较. Ch17.缪尔海德不等式 17.1 若 x1 , x2 ,..., xn 为非负实数序列,设 (? i ) 和 ( ? i ) 为正实数序列,且 ( ? i ) ? (?i ) ,则:

T[? i ] ? T[?i ]
iff

( 48 )

(?i ) ? ( ? i ) 或 x1 ? x2 ? ... ? xn 时,等号成立.

( 48 ) 式就缪尔海德不等式.

17.2 解析 ( 48 ) 式 若实数 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,实数 b1 ? b2 ? b3 ? 0 ,且满足 a1 ? b1 , a1 ? a2 ? b1 ? b2 ,

a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ;设 x , y , z ? 0 ,则:满足序列 (b1 , b2 , b3 ) ? (a1 , a2 , a3 ) 条件,
则: T[b1 , b2 , b3 ] ? x b1 y b2 z b3 ? x b1 y b3 z b2 ? x b2 y b1 z b3 ? x b2 y b3 z b1 ? x b3 y b1 z b2 ? x b3 y b2 z b1

T[a1 , a2 , a3 ] ? x a1 ya2 z a3 ? x a1 ya3 z a2 ? x a2 y a1 z a3 ? x a2 y a3 z a1 ? x a3 y a1 z a2 ? x a3 y a2 z a1
即 ( 48 ) 式为: T[b1 , b2 , b3 ] ? T[a1 , a2 , a3 ] 用通俗的方法表达即: ? x a1 y a2 z a3 ?
sym sym

? xb yb zb
1 2

3

( 49 )

( 49 ) 式就缪尔海德不等式的常用形式.

17.3 例题:设 ( x, y, z ) 为非负变量序列,考虑 ( 2, 2, 1) 和 ( 3, 1, 1) . 由 16.1 中的序列优化得: ( 2, 2, 1) ? ( 3, 1, 1) 由缪尔海德不等式 ( 48 ) 式得: T [2, 2, 1] ? T [3, 1, 1] ①

T[2, 2, 1] ? 2( x 2 y 2 z ? x 2 yz 2 ? xy 2 z 2 ) T[3, 1, 1] ? 2( x 3 yz ? xy 3 z ? xyz 3 )





11 页

将②③代入①得: x2 y2 z ? x2 yz 2 ? xy 2 z 2 ? x 3 yz ? xy 3 z ? xyz 3 即: xy ? yz ? zx ? x 2 ? y 2 ? z 2 ④

由柯西不等式: ( x 2 ? y 2 ? z 2 )( y 2 ? z 2 ? x 2 ) ? ( xy ? yz ? zx)2 即: ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 ? ( xy ? yz ? zx)2 即: x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx ⑤

⑤式④式等价, 这就证明了④式是成立的, 而缪尔海德不等式直接得到①式是成立的. ⑤式可以用 T [2, 0, 0] ? T [1, 1, 0] 来表示,这正是缪尔海德不等式的 ( 48 ) 式. Ch18.卡拉玛塔不等式 18.1 设在实数区间 I ? R 的函数 f 为向下凸函数,且当 ai , bi ? I ( i ? 1, 2, ..., n )两个序列
n n ( ai )i ? 1 和 (bi )i ?1 满足 (ai ) ? (bi ) ,则:

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ) ? f (b1 ) ? f (b2 ) ? ... ? f (bn )
(50 ) 式称为卡拉玛塔不等式.

(50 )

18.2 若函数 f 为严格向下凸函数,即不等取等号, (ai ) ? (bi ) ,且 (ai ) ? (bi ) ,则:

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ) ? f (b1 ) ? f (b2 ) ? ... ? f (bn )
若函数 f 为严格向上凸函数,则卡拉玛塔不等式反向. Ch19.单调函数不等式

(51)

19.1 若实数函数 f : (a, b) ? R 在区间 ( a , b ) 对一切 x , y ? (a, b) 为单调增函数, 则当 x ? y 时, 有 f ( x ) ? f ( y ) ;若 f 在区间 ( a , b ) 对一切 x , y ? (a, b) 为严格单调增函数,当 x ? y 时, 有 f ( x) ? f ( y) . 19.2 若实数函数 f : (a, b) ? R 在区间 ( a , b ) 对一切 x , y ? (a, b) 为单调减函数, 则当 x ? y 时, 有 f ( x ) ? f ( y ) ;若 f 在区间 ( a , b ) 对一切 x , y ? (a, b) 为严格单调减函数,当 x ? y 时, 有 f ( x) ? f ( y) . 19.3 若实数函数 f : (a, b) ? R 在区间 ( a , b ) 为可导函数,当对一切 x ? (a, b) , f '( x ) ? 0 , 则 f 在区间 ( a , b ) 为单调递增函数;当对一切 x ? (a, b) , f '( x ) ? 0 ,则 f 在区间 ( a , b ) 为单调递减函数. 19.4 设两个函数 f :[a , b] ? R 和 g :[a , b] ? R 满足下列条件: ⑴ 函数 f 和 g 在 [a , b] 区间是连续的,且 f (a ) ? g(a ) ; ⑵ 函数 f 和 g 在 [a , b] 区间可导;
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⑶ 导数 f '( x ) ? g '( x ) 对一切 x ? (a, b) 成立, 则对一切 x ? (a, b) 有: f ( x ) ? g( x )
(52 ) 式就是单调函数不等式. (52 )

Ch20. 3 个对称变量 pqr 法 20.1 设 x, y, z ? R? ,对于具有变量对称形式的不等式,采用下列变量代换:
p ? x ? y ? z ; q ? xy ? yz ? zx ; r ? xyz ,则 p, q, r ? R? .

代换后的不等式 f ( p, q, r ) ,很容易看出其满足的不等式关系,这样证明不等式的方法 称为 pqr 法. 20.2 常用的代换如下: ⑴ ⑵ ⑶

? x 2 ? p2 ? 2q
cyc

? x 3 ? p( p2 ? 3q ) ? 3r
cyc

? x 2 y 2 ? q 2 ? 2 pr
cyc

⑷ ( x ? y )( y ? z )( z ? x ) ? pq ? r ⑸ ⑹

? ( x ? y )( y ? z ) ? p2 ? q
cyc

? xy( x ? y ) ? pq ? 3r
cyc

⑺ (1 ? x )(1 ? y )(1 ? z ) ? 1 ? p ? q ? r ⑻

? (1 ? x )(1 ? y ) ? 3 ? 2 p ? q
cyc

⑼ ? x 2 ( y ? z ) ? ? xy( x ? y ) ? pq ? 3r
cyc cyc

20.3 常用的 pqr 法的不等式 若 x , y , z ? 0 ,则: ⑴ p3 ? qr ? 4 pq ⑵ pq ? 9r ⑶ p2 ? 3q ⑷ p3 ? 27r
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⑸ q 3 ? 27r 2 ⑹ q2 ? 3 pr ⑺ 2 p3 ? 9r ? 7 pq ⑻ 2 p3 ? 9r 2 ? 7 pqr ⑼ p2q ? 3 pr ? 4q2 Ch21. 3 个对称变量 uvw 法 21.1 在 a , b, c ? R 的不等式中,采用下列变量代换:
3u ? a ? b ? c ; 3v 2 ? ab ? bc ? ca ; w 3 ? abc .

上述变换强烈含有“平均”的意味: ; v 对应“积均值” ; w 对应“几何平均值”. u 对应“算术平均值” 21.2 当 a, b, c ? 0 时,则: u ? v ? w
(53) 式称为傻瓜不等式. (53)

即: “算术平均值”≥“积均值”≥“几何平均值”. 21.3 若 a, b, c ? 0 ,则 u, v 2 , w3 ? 0
(54 ) 式称为正值定理. (54 )

21.4 若 u, v 2 , w3 ? R ,任给 a , b, c ? R ,则当且仅当 u2 ? v 2 , 且 w 3 ? [3uv 2 ? 2u3 ? 2 (u2 ? v 2 )3 , 3uv 2 ? 2u 3 ? 2 (u 2 ? v 2 )3 ] 时, 则: 3u ? a ? b ? c , 3v 2 ? ab ? bc ? ca , w 3 ? abc 等式成立. 这称为 uvw 定理. Ch22. ABC 法 22.1 ABC 法即 Abstract Concreteness Method 设 p ? x ? y ? z ; q ? xy ? yz ? zx ; r ? xyz . 则函数 f ( x , y, z ) 变换为 f (r , q, p) . 这与 Ch20. 3 个对称变量 pqr 法类似. 22.2 若函数 f (r , q, p) 是单调的,则当 ( x ? y )( y ? z )( z ? x ) ? 0 时, f (r , q, p) 达到极值. 22.3 若函数 f (r , q, p) 是凸函数,则当 ( x ? y )( y ? z )( z ? x ) ? 0 时, f (r , q, p) 达到极值. 22.4 若函数 f (r , q, p) 是 r 的线性函数, 则当 ( x ? y )( y ? z )( z ? x ) ? 0 时, f (r , q, p) 达到极值. 22.5 若函数 f (r , q, p) 是 r 的二次三项式,则当 ( x ? y )( y ? z )( z ? x ) ? 0 时, f (r , q, p) 达到极
第 14 页

值. Ch23. SOS 法 23.1 SOS 法即 Sum Of Squares 23.2 本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式:

S ? Sa (b ? c )2 ? Sb (a ? c )2 ? Sc (a ? b)2
其中, Sa , Sb , Sc 分别都是 a, b, c 的函数. ⑴ 若 Sa , Sb , Sc ? 0 ,则 S ? 0 ;

(55 )

⑵ 若 a ? b ? c 或 a ? b ? c ,且 Sb , Sb ? Sa , Sb ? Sc ? 0 ,则 S ? 0 ; ⑶ 若 a ? b ? c 或 a ? b ? c ,且 Sa , Sc , Sa ? 2Sb , Sc ? 2Sb ? 0 ,则 S ? 0 ; ⑷ 若 a ? b ? c ,且 Sb , Sc , a 2 Sb ? b 2 Sa ? 0 ,则 S ? 0 ; ⑸ 若 Sa ? Sb ? 0 或 Sb ? Sc ? 0 或 Sc ? Sa ? 0 ,且 Sa Sb ? Sb Sc ? Sc Sa ? 0 ,则 S ? 0 . 23.3 常用的形式 ⑴

? a 2 ? ? ab ? 2 ? (a ? b)2
cyc cyc cyc

1



? a 3 ? 3abc ? 2 ? a ? ? (a ? b)2
cyc cyc cyc

1



? a 2b ? ? ab2 ? 3 ? (a ? b)3
cyc cyc cyc

1



? a 3 ? ? a 2b ? 3 ? ( 2a ? b)(a ? b)2
cyc cyc cyc

1

⑸ ⑹

? a 3b ? ? ab3 ? 3 ? a ? ? (b ? a )3
cyc cyc cyc cyc

1

? a 4 ? ? a 2 b 2 ? 2 ? (a ? b )2 (a ? b )2
cyc cyc cyc

Ch24. SMV 法 24.1 SMV 法即 Strong Mixing Variables Method 本法对多于 2 个变量的对称不等式非常有用. 24.2 设 ( x1 , x2 ,..., xn ) 为任意实数序列, ⑴ 选择 i , j ? {1, 2, ..., n} 使 xi ? min{ x1 , x2 ,..., xn } , x j ? max{ x1 , x2 ,..., xn } ;
第 15 页

⑵ 用其平均数 的极限 x ?

xi ? x j 2

代替 xi 和 x j ,经过多次代换后各项 xi ( i ? 1, 2, ..., n )都趋于相同

x1 ? x2 ? ... ? xn . n

24.3 设实数空间的函数 F 是一个对称的连续函数,满足

F (a1 , a2 ,..., an ) ? F (b1 , b2 ,..., bn )

(56 )

其中, (b1 , b2 ,..., bn ) 序列是由 (a1 , a2 ,..., an ) 序列经过预定义变换而得到的. 预定义变换可根据当前的题目灵活采用,如 24.4 例题说明 例题:设实数 a, b, c ? 0 ,证明: 解析:采用 SMV 法. 设: f (a , b, c ) ? 则: f ( t , t , c ) ? 其中, t ?
a b c ? ? b?c c?a a?b
a b c 3 ? ? ? . b?c c?a a?b 2

a?b a 2 ? b2 , ab , 等等. 2 2

① ②

t t c 2t c ? ? ? ? t ? c c ? t t ? t t ? c 2t

a?b . 2
2t c 1 1 2t c?t 1 1 3 ?( ? )? ? ( ? )? ? 2? ? t ? c 2t 2 2 t?c 2t 2 2 2
3 证毕. 2

由②得: f ( t , t , c ) ?

由 (56 ) 式得: f (a , b, c ) ? f ( t , t , c ) ? Ch25.拉格朗日乘数法

25.1 设函数 f ( x1 , x2 ,..., xn ) 在实数空间的 I ? R 连续可导,且 gi ( x1 , x2 ,..., xn ) ? 0 ,其中 ( i ? 1, 2, ....k ) ,即有 k 个约束条件,则 f ( x1 , x2 ,..., xn ) 的极值出现在 I 区间的边界 或偏导数(函数为 L ? f ? ? ?i gi )全部为零的点上.
i ?1 k

这就是拉格朗日乘数法. Ch26.三角不等式 26.1 设 ? , ? , ? ? (0, ? ) ,且 ? ? ? ? ? ? ? ,则 ? , ? , ? 就是同一个三角形的内角. 26.2 若 ? , ? , ? 为同一个三角形的内角,则有下列不等式:



16



⑴ sin ? ? sin ? ? sin ? ? ⑵ cos ? ? cos ? ? cos ? ? ⑶ sin ? sin ? sin ? ? ⑷ cos ? cos ? cos ? ?

3 3 ; 2
3 ; 2

3 3 ; 8
1 ; 8 9 ; 4

⑸ sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? ⑹ cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ?

3 ; 4

⑺ tan? ? tan ? ? tan ? ? 3 3 (锐角三角形) ; ⑻ cot ? ? cot ? ? cot ? ? 3 ; ⑼ sin ⑽ cos ⑾ sin ⑿ cos

?
2

? sin

?
2

? sin

?
2

?

3 ; 2

?
2

? cos
sin

?
2

? cos

?
2

?

3 3 ; 2

?
2

?
2

sin

?
2

?

1 ; 8

?
2

cos

?
2

cos

?
2

?

3 3 ; 8

⒀ sin 2 ⒁ cos 2 ⒂ tan ⒃ cot Ch27.习题

?
2

? sin 2
? cos 2

?
2

? sin 2

?
2

?
?

3 ; 4
9 ; 4

?
2

?
2

? cos 2

?
2

?
2

? tan ? cot

?
2 2

? tan ? cot

?
2

? 3;

?
2

?

?
2

?3 3.

27.1 设 x1 , x2 ,..., xn ? (0, 1] ,求证: ( 1 ? x1 ) ( 1 ? x2 ) ...( 1 ? xn ) 27.2 设 x1 , x2 ,..., xn ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ... ? xn ?


1 x2

1 x3

1 x1

? 2n .

1 1 ,求证: ( 1 ? x1 )( 1 ? x2 )...( 1 ? xn ) ? . 2 2


17

27.3 设 a1 , a2 , ..., an ? R? ,且 a1a2 ...an ? 1 ,求证: a1 ? a2 ? ... ? an ? a1 ? a2 ? ... ? an . 27.4 设 a, b, c ? 0 ,且 abc ? 1 ,求证: a3 ? b3 ? c 3 ? ab ? bc ? ca . 27.5 设 a, b, c , d ? 0 ,求证: 27.6 设 a, b, c ? 0 ,求证:
a b c d 2 ? ? ? ? . b ? 2c ? 3d c ? 2d ? 3a d ? 2a ? 3b a ? 2b ? 3c 3

a 2 ? bc b 2 ? ca c 2 ? ab ? ? ? a?b?c. b?c c?a a?b

a b 27.7 设 a, b ? 0 , n ? N ,求证: ( 1 ? ) n ? ( 1 ? ) n ? 2 n? 1 . b a

27.8 设 x1 , x2 , ..., xn ? R? ,且 x12 ? x2 2 ? ... ? xn2 ? 1 ,若 n ? N , n ? 2 ,求
f ( x1 , x2 , ..., xn ) ?
n

x15

?

( ? x i ) ? x1
i ?1

( ? xi ) ? x 2
i ?1

n

x2 5

? ... ?

( ? xi ) ? xn
i ?1

n

xn5

的最小值. 27.9 设 a, b, c ? R? ,且 a ? b ? c ? abc ,求证:

1 1? a
2

?

1 1? b
2

?

1 1?c
2

?

3 . 2

27.10 设 a, b, c ? R ,求证: a 2 ? (1 ? b)2 ? b 2 ? (1 ? c )2 ? c 2 ? (1 ? a )2 ? 27.11 设 a, b, c ? R? ,且 ab ? bc ? ca ? 3 ,求证: (1 ? a2 )(1 ? b2 )(1 ? c 2 ) ? 8 .

3 2 . 2

27.12 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: 6(a3 ? b3 ? c 3 ) ? 1 ? 5(a2 ? b2 ? c 2 ) . 27.13 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 2 ,求证: a4 ? b4 ? c 4 ? abc ? a3 ? b3 ? c 3 . 27.14 设 a, b, c ? 0 ,求证: 8(a3 ? b3 ? c 3 ) ? (a ? b)3 ? (b ? c )3 ? (c ? a)3 . 27.15 设 a, b, c ? 0 ,求证: a 3 ? b 3 ? c 3 ? abc ?
1 (a ? b ? c )3 . 7 4 . 9

27.16 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3abc ? 27.17 设 a1 , a2 ,..., an ? 0 ,求证: (1 ? a1 )(1 ? a2 )...(1 ? an ) ? (1 ? 27.18 设 a , b, c, d ? 0 ,且 abcd ? 1 ,求证:

a 2 a12 a 2 )(1 ? 2 )...(1 ? n ) . a2 a3 a1
1 (1 ? c )
2

1 (1 ? a )
2

?

1 (1 ? b)
2

?

?

1 (1 ? d ) 2

? 1.

27.19 设 a , b, c, d ? 0 ,且 a ? b ? c ? d ? 4 ,求证:

abc ? bcd ? cda ? dab ? (abc)2 ? (bcd )2 ? (cda)2 ? (dab)2 ? 8 .
第 18 页

27.20 设 a, b, c ? 0 ,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 ,求证: a 2b2 ? b2c 2 ? c 2d 2 ? a ? b ? c . 27.21 设 a , b, c ? R ,求证: 3(a 2 ? ab ? b2 )(b2 ? bc ? c 2 )(c 2 ? ca ? a 2 ) ? a 3b3 ? b3c 3 ? c 3a 3 . 27.22 设 a , b, c, d ? 0 ,且 a ? b ? c ? d ? abcd ? 5 ,求证: 27.23 设不等式:
ab(a 2 ? b 2 ) ? bc(b 2 ? c 2 ) ? ca(c 2 ? a 2 ) ? M (a 2 ? b 2 ? c 2 )2
1 1 1 1 ? ? ? ? 4. a b c d

对一切实数 a, b, c 都成立,求 M 的最小值. 27.24 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 3 ,求证: (a 2b ? b2c ? c 2a)(ab ? bc ? ca) ? 9 .

Ch27.习题解析 27.1 设 x1 , x2 ,..., xn ? (0, 1] ,求证: ( 1 ? x1 ) ( 1 ? x2 ) ...( 1 ? xn ) 解析:设: xn?1 ? x1 ,则:因为 xi ? (0, 1] ,所以
1 x2 1 x3 1 x1

? 2n .

1 ? [1, ?? ) ( i ? 1, 2, ..., n ) xi


由伯努利不等式 ( 2 ) :当 xi ? ?1 且 ? i ? [1, ??) 时, (1 ? xi )?i ? 1 ? ?i xi
iff

xi ? 0 或 ? i ? 1 时,①式等号成立.


由均值不等式 ( 3 ) : 1 ? ? i xi ? 2 ? i xi
iff ? i xi ? 1 时,②式等号成立.

由①②式得: (1 ? xi )?i ? 2 ? i xi



iff ?i ? xi ? 1 时, ③式等号成立.

xi 1 x 设: ? i ? ,则由③式得: (1 ? xi ) i ?1 ? 2 xi ? 1 xi ? 1

1


1

则: (1 ? x1 )

1 x2

x x x ? 2 1 ; (1 ? x2 ) x3 ? 2 2 ;…; (1 ? xn ) x1 ? 2 n . x2 x1 x3

1

上面各式相乘得:
(1 ? x1 ) (1 ? x2 ) ...(1 ? xn )
1 x2 1 x3 1 x1

? 2n

x x1 x2 ? ? ... ? n ? 2 n . x2 x3 x1

证毕.



19



27.2 设 x1 , x2 ,..., xn ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ... ? xn ? 解析:因为 xi ? 0 , ? xi ?
i ?1 n

1 1 ,求证: ( 1 ? x1 )( 1 ? x2 )...( 1 ? xn ) ? . 2 2

1 1 ,所以 xi ? [0 , ] 2 2

1 设 yi ? ? xi ,则 yi ? [? , 0 ] ? ?1 2

由伯努利不等式 ( 1) : (1 ? y1 )(1 ? y2 )...(1 ? yn ) ? 1 ? ( y1 ? y2 ? ... ? yn ) 将 yi ? ? xi 代入①式,并代入 x1 ? x2 ? ... ? xn ?
1 得: 2



(1 ? x1 )(1 ? x2 )...(1 ? xn ) ? 1 ? ( x1 ? x2 ? ... ? xn ) ? 1 ?

1 1 ? . 2 2

证毕. 27.3 设 a1 , a2 ,..., an ? 0 ,且 a1a2 ...an ? 1 ,求证: a1 ? a2 ? ... ? an ? a1 ? a2 ? ... ? an . 解析:因为 a1 , a2 ,..., an ? 0 ,且 a1a2 ...an ? 1 , 所以由均值不等式 ( 3 ) : a1 ? a2 ? ... ? an ? nn a1 ? a2 ? ... ? an ? n 即:
iff

a1 ? a2 ? ... ? an n

?1



a1 ? a2 ? ... ? an ? 1 时,①式等号成立.

由柯西不等式 ( 8 ) :

[( a1 )2 ? ( a2 )2 ? ... ? ( an )2 ](12 ? 12 ? ... ? 12 ) ? ( a1 ? a2 ? ... ? an )2
即: (a1 ? a2 ? ... ? an ) ? n ? ( a1 ? a2 ? ... ? an )2 即: (a1 ? a2 ? ... ? an ) ?
iff

( a1 ? a2 ? ... ? an ) n

( a1 ? a2 ? ... ? an )



a1 ? a2 ? ... ? an ? 1 时,②式等号成立.


将①式代入②式得: a1 ? a2 ? ... ? an ? a1 ? a2 ? ... ? an
iff

a1 ? a2 ? ... ? an ? 1 时, ③式等号成立. 证毕.

27.4 设 a, b, c ? 0 ,且 abc ? 1 ,求证: a3 ? b3 ? c 3 ? ab ? bc ? ca . 解析:因为 a, b, c ? 0 ,且 abc ? 1 , 所以由均值不等式 ( 3 ) : a 2 ? b 2 ? c 2 ?
iff
a ? b ? c ? 1 时,①式等号成立.
第 20 页

a 2 ? b2 b2 ? c 2 c 2 ? a 2 ? ? ? ab ? bc ? ca 2 2 2



由均值不等式 ( 3 ) : a ? b ? c ? 3 3 abc ? 3 ,即:
iff
a ? b ? c ? 1 时,②式等号成立.

a?b?c ?1 3



WLOG ,设 a ? b ? c ,则因为 a, b, c ? 0 ,所以 a 2 ? b 2 ? c 2

由切比雪夫不等式 (14 ) : (a ? b ? c)(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 3(a ? a 2 ? b ? b2 ? c ? c 2 ) 即: a 3 ? b 3 ? c 3 ?
iff

a?b?c ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 3



a ? b ? c ? 1 时,③式等号成立.

将①②代入③式得: a 3 ? b3 ? c 3 ? ab ? bc ? ca
iff
a ? b ? c ? 1 时, ④式等号成立. 证毕.



27.5 设 a, b, c , d ? 0 ,求证:

a b c d 2 ? ? ? ? . b ? 2c ? 3d c ? 2d ? 3a d ? 2a ? 3b a ? 2b ? 3c 3

解析:记 A ? b ? 2c ? 3d , B ? c ? 2d ? 3a , C ? d ? 2a ? 3b , D ? a ? 2b ? 3c 则: aA ? bB ? cC ? dD ? 4(ab ? ac ? ad ? bc ? bd ? cd ) 待证式为:
a b c d 2 ? ? ? ? A B C D 3





由柯西不等式 ( 8 ) : ( 即:

a b c d ? ? ? )(aA ? bB ? cC ? dD ) ? (a ? b ? c ? d )2 A B C D

a b c d (a ? b ? c ? d ) 2 ? ? ? ? A B C D aA ? bB ? cC ? dD



(a ? b ? c ? d )2 2 由②③式,只需证明 ? aA ? bB ? cC ? dD 3



设多项式: P( x ) ? ( x ? a )( x ? b)( x ? c )( x ? d )

? c0 x4 ? c1 x 3 ? c2 x 2 ? c3 x ? c4
则: c1 ? a ? b ? c ? d ⑤

c2 ? ab ? ac ? ad ? bc ? bd ? cd
代入①式得: aA ? bB ? cC ? dD ? 4c2 根据定义 ( 38 ) : pk ? 得: p1 ? ⑥

ck k Cn

c1 c1 c2 c2 ,即: ; ? p ? ? ,即: c2 ? 6 p2 c ? 4 p 1 2 2 1 1 C4 4 C4 6



21



则:

c2 16 p12 2 p12 (a ? b ? c ? d )2 ? 1 ? ? ? aA ? bB ? cC ? dD 4c2 4 ? 6 p2 3 p2
1



由麦克劳林不等式 ( 40 ) : p1 ? p2 2 ,即: 代入⑦式得:
iff

p12 ?1 p2

(a ? b ? c ? d )2 2 ? ,④式得证. aA ? bB ? cC ? dD 3

a ? b ? c ? d 时,等号成立. 证毕.

27.6 设 a, b, c ? 0 ,求证: 解析:不等式左边=

a 2 ? bc b 2 ? ca c 2 ? ab ? ? ? a?b?c. b?c c?a a?b

a2 bc b2 ca c2 ab ? ? ? ? ? b?c b?c c?a c?a a?b a?b
a( c ? a ) b( a ? b ) c ( b ? c ) ? ? c?a a?b b?c

不等式右边= a ? b ? c ?
?

ac a2 ab b2 cb c2 ? ? ? ? ? c?a c?a a?b a?b b?c b?c
a2 b2 c2 c2 a2 b2 ? ? ? ? ? b?c c?a a?b b?c c?a a?b

则不等式其实就是:

① ②

由于是对称不等式, WLOG ,假设 a ? b ? c ,则 a2 ? b2 ? c 2 且 b ? c ? a ? c ? a ? b ,即: 则有排序不等式 ( 18 ) : 其中,
iff
1 1 1 ? ? b?c c?a a?b



a2 b2 c2 c2 a2 b2 ? ? ? ? ? b?c c?a a?b b?c c?a a?b

a2 b2 c2 c2 a2 b2 为正序和; 为乱序和. ? ? ? ? b?c c?a a?b b?c c?a a?b

a ? b ? c 时,等号成立. 证毕.

a b 27.7 设 a, b ? 0 , n ? N 证: ( 1 ? ) n ? ( 1 ? ) n ? 2 n? 1 . b a a b 解析:当 n ? 0 时, ( 1 ? )0 ? ( 1 ? )0 ? 2 , 20 ? 1 ? 2 ,不等式成立; b a

a b a b 当 n ? 1 时, ( 1 ? )1 ? ( 1 ? )1 ? 2 ? ? ? 4 , 2 1? 1 ? 4 ,不等式成立; b a b a

当 n ? 2 时,构建函数 f ( x ) ? x n . 则函数的导数 f '( x) ? nxn?1 ; 二次导数 f ''( x) ? n(n ? 1) x n? 2 ? 0 ,故在 x ? 0 时函数为向下凸函数.
第 22 页

由琴生不等式 ( 20 ) :

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 2 2



a b 将 f ( x1 ) ? ( 1 ? ) n , f ( x 2 ) ? ( 1 ? ) n , b a

x ? x2 f( 1 ) ?[ 2

b a (1 ? ) ? (1 ? ) a b ]n ? [1 ? 1 ( b ? a )]n ? 2 n 2 2 a b

a b (1 ? )n ? (1 ? )n b a ? 2 n ,即: ( 1 ? a ) n ? ( 1 ? b ) n ? 2 n ? 1 带入①式得: b a 2
a b 综上,当 n ? 0 、 n ? 1 和 n ? 2 时, ( 1 ? ) n ? ( 1 ? ) n ? 2 n? 1 都成立, b a
a b 即 n ? N 时, ( 1 ? ) n ? ( 1 ? ) n ? 2 n? 1 成立. b a

证毕.

27.8 设 x1 , x2 , ..., xn ? R? ,且 x12 ? x2 2 ? ... ? xn2 ? 1 ,若 n ? N , n ? 2 ,求
f ( x1 , x2 , ..., xn ) ?
n

x15

?

( ? x i ) ? x1
i ?1

( ? xi ) ? x 2
i ?1

n

x2 5

? ... ?

( ? xi ) ? xn
i ?1

n

xn5

的最小值. 解析:记 S ? ? xi , ( i ? 1, 2, ..., n ).
i ?1 n

则 f ( x1 , x2 , ..., xn ) ?

x 5 x15 x 5 ? 2 ? ... ? n S ? x1 S ? x2 S ? xn

① ②

WLOG 假设 x1 ? x2 ? ... ? xn ,则 x14 ? x2 4 ? ... ? xn4

由于 S ? ? xi ,所以 S ? xk ? (? xi ) ? xk 与 xk 无关,则
i ?1 i ?1

n

n

xk 与 xk 同单调性. S ? xk

即:

xn x1 x2 ? ? ... ? S ? x1 S ? x2 S ? xn



由切比雪夫不等式 (14 ) :若 (a1 , a2 ,..., an ) 与 (b1 , b2 ,..., bn ) 同单调性,则有:

(a1 ? a2 ? ... ? an )(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n(a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )
设: ai ? xi 4 , bi ? 代入④式得:



xn , ( i ? 1, 2, ..., n ) ,则满足 {ai } 与 {bi } 同单调性. S ? xn



23



( x14 ? ... ? xn 4 )(

xn xn x1 x1 ? ... ? ) ? n( x14 ? ? ... ? xn 4 ? ) S ? x1 S ? xn S ? x1 S ? xn


xn5 x14 ? ... ? xn 4 xn x15 x 即: f ? ? ... ? ?( ) ? ( 1 ? ... ? ) S ? x1 S ? xn n S ? x1 S ? xn
由均值不等式 ( 3 ) : Qn ? An ,即: 故: x1 4 ? ... ? xn 4 ? 构建函数: g( x ) ?
1 n

x14 ? ... ? xn 4 x12 ? ... ? xn 2 1 ? ? n n n

⑥ ⑦

x S?x

则导函数: g '( x ) ?

2S S , g ''( x ) ? ?0 2 ( S ? x )3 ( S ? x)

故 g ( x ) 为向下凸函数. 由琴生不等式 ( 21) : g(?1 x1 ? ?2 x2 ? ... ? ?n xn ) ? ?1 g( x1 ) ? ?2 g( x2 ) ? ... ? ?n g( xn ) 取加权 ? i ?
g(
1 ( i ? 1, 2, ..., n )时,上式变为: n

x1 ? x2 ? ... ? xn g( x1 ) ? g( x2 ) ? ... ? g( xn ) )? n n
x1 ? x2 ? ... ? xn ) n



即: g( x1 ) ? g( x2 ) ? ... ? g( xn ) ? n ? g(

x1 ? x2 ? ... ? xn S xn x1 n n 即: ? ... ? ? n? ? n? n ? x ? x2 ? ... ? xn S n?1 S ? x1 S ? xn S? S? 1 n n
将⑥和⑨式代入⑤式得:



xn5 x15 1 1 n 1 f ? ? ... ? ? ? ? ? S ? x1 S ? xn n n n ? 1 n(n ? 1)
故: f ( x1 , x2 ,..., xn ) 的最小值是

1 . n( n ? 1)

27.9 设 a, b, c ? R? ,且 a ? b ? c ? abc ,求证:
x2 a2 y2 b2

1 1? a
2

?

1 1? b
2

?

1 1?c
2

?

3 . 2

解析:在圆锥曲线里,椭圆方程为:

?

? 1 时,常常采用的参数方程是:

x ? a cos ? , y ? b sin ? ,因为将它带入方程时满足 cos2 ? ? sin2 ? ? 1 ,这个三角函数
第 24 页

的 基 本 关 系 . 对 于 三 角 形 的 内 角 A, B, C , 同 样 有 关 系 A ? B ? C ? ? 和
tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C . 而本题初始条件 a ? b ? c ? abc .

? 设 a ? tan A . b ? tan B , c ? tan C ,因为 a, b, c ? R? ,所以 A, B, C ? (0 , ) 2
则当 A, B, C 为三角形的内角时, A ? B ? C ? ? ,
tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 满足条件.



带入不等式左边得:

1 1? a ?
2

? 1

1 1? b ?
2

?

1 1 ? c2 1 ?


1 1 ? tan2 C

1 ? tan2 A

1 ? tan2 B

? cos A ? cos B ? cosC

? 构建函数 f ( x ) ? ? cos x ,则在 x ? (0 , ) 区间函数 f ( x ) 为向下凸函数, 2
故由琴生不等式 ( 21) 得:函数值的均值不小于均值的函数值.

f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ... ? ?n xn ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ... ? ?n f ( xn )
当加权 ? 1 ? ? 2 ? ... ? ? n ?
1 时,③式变为: n



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xn ) x ? x2 ? ... ? xn ? f( 1 ) n n

即:

f ( A) ? f ( B ) ? f ( C ) A? B?C ? f( ) 3 3



即: ?

cos A ? cos B ? cos C A? B?C ? 1 ? ? cos( ) ? ? cos ? ? 3 3 3 2

即: cos A ? cos B ? cos C ? 将⑤式带入②式得:

3 2
2



1 1? a

?

1 1? b
2

?

1 1?c
2

?

3 . 2

证毕.
3 2 . 2

27.10 设 a, b, c ? R ,求证: a 2 ? ( 1 ? b) 2 ? b 2 ? ( 1 ? c ) 2 ? c 2 ? ( 1 ? a) 2 ? 解析:因为 a, b, c ? R ,由柯西不等式 (12 ) 式
a12 ? b12 ? ... ? an 2 ? bn 2 ? ( a12 ? ... ? an 2 ) ? ( b12 ? ... ? bn 2 )

则: a 2 ? ( 1 ? b) 2 ? b 2 ? ( 1 ? c ) 2 ? c 2 ? ( 1 ? a ) 2
第 25 页

?

a 2 ? ( 1 ? b) 2 ? ( 1 ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ? ( 1 ? c ) 2 ? ( 1 ? c ) 2 ? b 2 2

?
?

c 2 ? ( 1 ? a) 2 ? ( 1 ? a) 2 ? c 2 2

1 [a ? ( 1 ? b ) ? b ? ( 1 ? c ) ? c ? ( 1 ? a )]2 ? [( 1 ? b) ? a ? ( 1 ? c ) ? b ? ( 1 ? a) ? c )]2 2

?

1 2 3 2 3 ? 32 ? 2 2 .
3 2 . 2

即: a 2 ? ( 1 ? b) 2 ? b 2 ? ( 1 ? c ) 2 ? c 2 ? ( 1 ? a) 2 ?

证毕.

27.11 设 a, b, c ? R? ,且 ab ? bc ? ca ? 3 ,求证: (1 ? a2 )(1 ? b2 )(1 ? c 2 ) ? 8 . 解析:对赫尔德不等式 ( 32 ) :

? (? a
i ?1 j ?1

m

n

?j
ij

) ? ? (? aij )
j ?1 i ?1

n

m

?j

( 32 )

当 n ? 4 , m ? 4 , ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ?4 ?
1 1

1 时, ( 32 ) 式为: 4
1 1

(a11a12 a13a14 ) 4 ? (a21a22a23a24 ) 4 ? (a31a32a33a34 ) 4 ? (a41a42a43a44 ) 4

? [(a11 ? a21 ? a31 ? a41 )(a12 ? a22 ? a32 ? a42 )(a13 ? a23 ? a33 ? a43 )(a14 ? a24 ? a34 ? a44 )]
即: (a11 ? a21 ? a31 ? a41 )(a12 ? a22 ? a32 ? a42 )(a13 ? a23 ? a33 ? a43 )(a14 ? a24 ? a34 ? a44 )

1 4

? [(a11a12 a13a14 ) 4 ? (a21a22 a23a24 ) 4 ? (a31a32 a33a34 ) 4 ? (a41a42 a43a44 ) 4 ]4
设: a11 ? 1 , a21 ? a 2 , a31 ? b2 , a41 ? a 2 b2 ;

1

1

1

1



a12 ? 1 , a22 ? c 2 a 2 , a32 ? c 2 , a42 ? a 2 ; a13 ? 1 , a23 ? c 2 , a33 ? b2c 2 , a43 ? b2 ; a14 ? 1 , a24 ? 1 , a34 ? 1 , a44 ? 1 .
代入①式得:

(1 ? a 2 ? b2 ? a2b2 ) ? (1 ? c 2a 2 ? c 2 ? a 2 ) ? (1 ? c 2 ? b2c 2 ? b2 ) ? (1 ? 1 ? 1 ? 1)
? [(1 ? 1 ? 1 ? 1) 4 ? (a 2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? 1) 4 ? (b 2 ? c 2 ? b 2c 2 ? 1) 4 ? (a 2b 2 ? a 2 ? b 2 ? 1) 4 ]4
1 1 1 1

? (1 ? ac ? bc ? ab)4
②式就是赫尔德不等式.





26



(1 ? a2 )2 (1 ? b2 )2 (1 ? c2 )2 ? (1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? (1 ? c2 )(1 ? a2 ) ? (1 ? b2 )(1 ? c2 ) ? (1 ? a 2 ? b2 ? a2b2 ) ? (1 ? c2 ? a2 ? c2a2 ) ? (1 ? b2 ? c2 ? b2c2 )
? 1 ( 1 ? a 2 ? b 2 ? a 2 b 2 ) ? ( 1 ? c 2 ? a 2 ? c 2 a 2 ) ? ( 1 ? b 2 ? c 2 ? b 2 c 2 ) ? (12 ? 12 ? 12 ? 12 ) 4

?

1 ( 1 ? a 2 ? b 2 ? a 2 b 2 ) ? ( 1 ? c 2 a 2 ? c 2 ? a 2 ) ? ( 1 ? c 2 ? b 2 c 2 ? b 2 ) ? (12 ? 12 ? 12 ? 12 ) 4

将②式代入上式得:
(1 ? a 2 )2 (1 ? b 2 )2 (1 ? c 2 )2 ? 1 (1 ? ac ? bc ? ab)4 4 1 (1 ? ac ? bc ? ab)2 2

开方出来即: (1 ? a 2 )(1 ? b 2 )(1 ? c 2 ) ?



将 ab ? bc ? ca ? 3 代入③式得: (1 ? a 2 )(1 ? b 2 )(1 ? c 2 ) ?
iff a ? b ? c ? 1 时等号成立.

1 (1 ? 3)2 ? 8 . 2

证毕.

27.12 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: 6(a3 ? b3 ? c 3 ) ? 1 ? 5(a2 ? b2 ? c 2 ) . 解析:采用 pqr 法. 设: p ? a ? b ? c , q ? ab ? bc ? ca , r ? abc ,则: p ? 1 在 20.2 常用的代换如下: ⑴

? x 2 ? p2 ? 2q
cyc





? x 3 ? p( p2 ? 3q ) ? 3r
cyc

则: a2 ? b2 ? c2 ? p2 ? 2q ;
a3 ? b3 ? c3 ? p( p2 ? 3q) ? 3r ? 1 ? 3q ? 3r

于是,待证式变为: 6(1 ? 3q ? 3r ) ? 1 ? 5( p2 ? 2q) 即: 2 ? 8q ? 18r ? 0 ,即: 1 ? 4q ? 9r ? 0 ,即: p3 ? 4 pq ? 9r ? 0 在 20.3 常用的 pqr 法的不等式 ⑴ p3 ? qr ? 4 pq ,即: p3 ? 4 pq ? 9r ? 0 故:①式成立,即待证式成立. 证毕. 27.13 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 2 ,求证: a4 ? b4 ? c 4 ? abc ? a3 ? b3 ? c 3 . 解析:由舒尔不等式 ( 43) :
第 27 页



xt ( x ? y)( x ? z) ? yt ( y ? z)( y ? x) ? z t ( z ? x)( z ? y) ? 0



即: xt ( x2 ? xy ? xz ? yz) ? yt ( y2 ? yz ? xy ? zx) ? z t ( z 2 ? zx ? yz ? xy) ? 0 即: xt ( x2 ? yz) ? yt ( y2 ? zx) ? z t ( z 2 ? xy) ? xt ?1 ( y ? z ) ? yt ?1 ( z ? x) ? z t ?1 ( x ? y) 即: xt ? 2 ? xt yz ? yt ? 2 ? xyt z ? z t ? 2 ? xyz t ? xt ?1 ( y ? z ) ? yt ?1 (z ? x) ? z t ?1 ( x ? y) 即: xt ? 2 ? yt ?2 ? zt ?2 ? ( xt ?1 ? yt ?1 ? zt ?1 ) xyz ? xt ?1 ( y ? z ) ? yt ?1 ( z ? x) ? zt ?1 ( x ? y) 两边都加 xt ? 2 ? yt ? 2 ? z t ? 2 得:

2( xt ?2 ? yt ?2 ? z t ?2 ) ? ( xt ?1 ? yt ?1 ? zt ?1 ) xyz ? ( xt ?1 ? yt ?1 ? zt ?1 )( x ? y ? z )
②式就是舒尔不等式. 设 t ? 2 ,代入②式得: 2( x4 ? y4 ? z 4 ) ? ( x ? y ? z) xyz ? ( x 3 ? y 3 ? z 3 )( x ? y ? z ) 将 a ? b ? c ? 2 代入上式得: 2( x4 ? y4 ? z 4 ) ? 2xyz ? 2( x 3 ? y 3 ? z 3 ) 即: a4 ? b4 ? c 4 ? abc ? a3 ? b3 ? c 3 ③式就是我们要证明的不等式. ③



证毕.

27.14 设 a, b, c ? 0 ,求证: 8(a3 ? b3 ? c 3 ) ? (a ? b)3 ? (b ? c )3 ? (c ? a)3 . 解析:待证式化为: 8(a3 ? b3 ? c 3 ) ? 2(a3 ? b3 ? c 3 ) ? 3(a2b ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? c 2a ? ca2 ) 即: 2(a3 ? b3 ? c 3 ) ? a2b ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? c 2a ? ca2 解析 1:缪尔海德不等式 ( 48 ) : T[? i ] ? T[?i ]
iff



( 48 )

(?i ) ? ( ? i ) 或 x1 ? x2 ? ... ? xn 时,等号成立.

由于 T[3, 0, 0] ? 2(a3 ? b3 ? c 3 ) , T[2, 1, 0] ? a2b ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? c 2a ? ca2 满足缪尔海德不等式的条件,即:

(b1 , b2 , b3 ) ? ( 2, 1, 0 ) , (a1 , a2 , a3 ) ? ( 3, 0, 0 ) ,故满足序列 (b1 , b2 , b3 ) ? (a1 , a2 , a3 ) .
则: T[2, 1, 0] ? T[3, 0, 0] ,即:①式成立. 解析 2:采用 pqr 法. 设: p ? a ? b ? c , q ? ab ? bc ? ca , r ? abc . 在 20.2 常用的代换如下: ⑵ 证毕.

? x 3 ? p( p2 ? 3q ) ? 3r ,
cyc cyc cyc

⑼ ? x 2 ( y ? z ) ? ? xy( x ? y ) ? pq ? 3r
cyc cyc

即①式等价于: 2 ? x 3 ? ? x 2 ( y ? z )



28



即: 2[ p( p2 ? 3q) ? 3r] ? pq ? 3r ,即: 2 p3 ? 6 pq ? 6r ? pq ? 3r 即: 2 p3 ? 9r ? 7 pq ②式是与①式等价的. 在 20.3 常用的 pqr 法的不等式:⑺ 2 p3 ? 9r ? 7 pq 是成立的,故②式成立. 证毕. 解析 3:采用琴生不等式. 构建函数 f ( x ) ? x 3 则 f ( x ) 为向下凸函数. 采用琴生不等式 ( 21) 式: 则:
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 2 2





f (a) ? f ( b) a?b f (b) ? f (c ) b?c f (c ) ? f ( a) c?a ? f( ); ? f( ); ? f( ) 2 2 2 2 2 2

上面三式相加得: f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? f ( 将③带入④得: a 3 ? b 3 ? c 3 ? (

a?b b?c c?a )? f( )? f( ) 2 2 2



a?b 3 b?c 3 c?a 3 ) ?( ) ?( ) 2 2 2

即: 8(a3 ? b3 ? c 3 ) ? (a ? b)3 ? (b ? c )3 ? (c ? a)3 . 证毕. 27.15 设 a, b, c ? 0 ,求证: a 3 ? b 3 ? c 3 ? abc ?
1 (a ? b ? c )3 . 7

解析:待证式: 7 (a3 ? b3 ? c 3 ) ? 7abc ? (a ? b ? c )3



即: 7 ? a 3 ? 7 abc ? ( a ? b ? c ) 3 ? ? a 3 ? 3 ? a 2b ? 6abc
cyc cyc sym

1 即: 6 ? a 3 ? abc ? 3 ? a 2 b ,即: 2? a 3 ? abc ? ? a 2b 3 cyc sym cyc sym
由排序不等式 (17 ) 得: 2 ? a 3 ?
cyc



sym

? a 2b

1 所以: 2? a3 ? abc ? 2? a3 ? ? a2b 3 cyc cyc sym
②式得证. 证毕.
4 . 9

27.16 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3abc ? 解析:待证式: 9(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 27abc ? 4 ①

将①式齐次化: 9(a 2 ? b2 ? c 2 )(a ? b ? c) ? 27abc ? 4(a ? b ? c)3
第 29 页



化简②式:

(a2 ? b2 ? c2 )(a ? b ? c) ? a 3 ? ab2 ? ac 2 ? a 2b ? b3 ? bc 2 ? ca 2 ? b2c ? c 3
? a 3 ? b3 ? c 3 ? ab2 ? ac 2 ? a 2b ? bc 2 ? ca 2 ? b2c
? ? a3 ?
cyc

sym

? a 2b



(a ? b ? c )3 ? ? a 3 ? 3 ? a 2 b ? 6abc
cyc sym



将③④式代入②式:
? ? ? ? 9 ? ? a 3 ? ? a 2 b ? ? 27abc ? 4 ? ? a 3 ? 3 ? a 2b ? 6abc ? ? cyc ? ? cyc ? sym sym ? ? ? ?

即待证式为: 5 ? a 3 ? 3abc ? 3 ? a 2 b
cyc sym



由舒尔不等式 ( 43) :
a(a ? b)(a ? c ) ? b(b ? c )(b ? a ) ? c(c ? a )(c ? b) ? 0

即: a(a 2 ? bc) ? b(b2 ? ca) ? c(c 2 ? ab) ? a 2 (b ? c) ? b2 (c ? a) ? c 2 (a ? b) 即: ? a 3 ? 3abc ?
cyc

sym

? a 2b



由缪尔海德不等式 ( 47 ) :

sym

? xa ya za
1 2

3

?

sym

? xb yb zb
1 2

3

( 49 )

取: 2(a 3b0c0 ? a0b3c0 ? a0b0c 3 )

? a 2b1c0 ? a 2b0c1 ? a1b2c0 ? a0b2c1 ? a0b1c 2 ? a1b0c 2
即: 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a 2b ? a 2c ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? ac 2 即: 2 ? a 3 ?
cyc

sym

? a 2b

⑦ ⑧

由⑥+2×⑦两式相加得: 5 ? a 3 ? 3abc ? 3 ? a 2 b
cyc sym

⑧式是由舒尔不等式和缪尔海德不等式相加得到的结果,而⑧式就是待证式⑤, 这证明,⑤式即①式是成立的. 证毕.



30



27.17 设 a1 , a2 ,..., an ? 0 ,求证: (1 ? a1 )(1 ? a2 )...(1 ? an ) ? (1 ? 解析:因为 a1 , a2 ,..., an ? 0 ,所以设 ai ? e xi ( i ? 1, 2, ..., n )

a 2 a12 a 2 )(1 ? 2 )...(1 ? n ) . a2 a3 a1

待证式变为: (1 ? e x1 )(1 ? e x2 )...(1 ? e xn ) ? (1 ? e 2x1 ? x2 )(1 ? e 2x2 ? x3 )...(1 ? e 2xn ? x1 ) 因为待证式两边都是正数,所以取对数后为:

ln(1 ? e x1 ) ? ... ? ln(1 ? e xn ) ? ln(1 ? e 2x1 ? x2 ) ? ... ? ln(1 ? e 2xn ? x1 )
WLOG ,假设 2x1 ? x2 ? 2x2 ? x3 ? ... ? 2xn ? x1 ,且 x1 ? x2 ? ... ? xn

① ②

设 xn?1 ? x1 ,则: ? ( 2 xk ? xk ? 1 ) ? 2 ? xk ? ? xk ?
k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

k ?1

? xk


n



而且 2xk ? xk ?1 ? xk ? ( xk ? xk ?1 ) ? xk ( k ? 1, 2, ..., n ,)

n n 由②③④,根据 Ch16. 定义序列,则: ( xk )k ? 1 就是 ( 2xk ? xk ? 1 )k ? 1 的优化值,

于是序列 ( xk ) ? ( 2xk ? xk ?1 ) 构建函数: f ( x) ? ln(1 ? e x ) 函数的导函数为: f '( x ) ?

⑤ ⑥

ex 1? ex

,其二次导函数为: f ''( x ) ?

ex (1 ? e x )2

?0



由⑦式,函数 f ( x) ? ln(1 ? e x ) 是向下凸函数,对于两个序列 ( xk ) 和 ( 2xk ? xk ?1 ) 由卡拉玛塔不等式 (50 ) 得:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xn ) ? f ( 2x1 ? x2 ) ? f ( 2x2 ? x3 ) ? ... ? f ( 2xn ? x1 )
将⑥带入⑧得:



ln(1 ? e x1 ) ? ... ? ln(1 ? e xn ) ? ln(1 ? e 2x1 ? x2 ) ? ... ? ln(1 ? e 2xn ? x1 )
而这正是待证式①式. 证毕. 27.18 设 a , b, c, d ? 0 ,且 abcd ? 1 ,求证: 解析:先介绍一个不等式: 若 x , y ? R ,则 证明如下:

1 (1 ? a )
2

?

1 (1 ? b)
2

?

1 (1 ? c )
2

?

1 (1 ? d ) 2

? 1.

1 (1 ? x )
2

?

1 ( 1 ? y)
2

?

1 1 ? xy



1 (1 ? x )2

?

1 ( 1 ? y) 2

?

1 [( 1 ? x ) 2 ? ( 1 ? y) 2 ]( 1 ? xy) ? ( 1 ? x ) 2 ( 1 ? y) 2 ? 1 ? xy ( 1 ? x ) 2 ( 1 ? y) 2 ( 1 ? xy)
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②式得分子为:

[2 ? 2( x ? y) ? ( x2 ? y2 )](1 ? xy) ? (1 ? 2x ? x 2 )(1 ? 2 y ? y2 ) ? [2 ? 2( x ? y) ? ( x 2 ? y2 )] ? [2xy ? 2xy( x ? y) ? xy( x 2 ? y2 )]
?[(1 ? 2x ? x2 ) ? 2 y(1 ? 2x ? x 2 ) ? y2 (1 ? 2x ? x 2 )]

? [2 ? 2x ? 2 y ? x2 ? y2 ? 2 xy ? 2x2 y ? 2xy2 ? x3 y ? xy 3 ] ?[1 ? 2x ? x2 ? 2 y ? 4xy ? 2 x2 y ? y2 ? 2 xy2 ? x2 y2 ]
? 1 ? 2xy ? x 3 y ? xy3 ? x 2 y2

? (1 ? 2xy ? x 2 y2 ) ? ( x 3 y ? xy3 ? 2x 2 y2 ) ? (1 ? xy)2 ? xy( x2 ? y2 ? 2xy) ? (1 ? xy)2 ? xy( x ? y)2 ? 0
带入②式得:

1 (1 ? x ) 1
2 2

?

1 ( 1 ? y) 1
2 2

?

1 ? 0 ,则:①式成立. 1 ? xy


由①式得:

(1 ? a)

?

(1 ? b)

?

1 1 1 1 ; ? ? 2 2 1 ? ab ( 1 ? c ) 1 ? cd (1 ? c )


而:

1 1 1 1 1 ab ? ? ? ? ? ?1 1 ? ab 1 ? cd 1 ? ab 1 ? 1 1 ? ab ab ? 1 ab
1 ( 1 ? a)
2

故由③④:

?

1 ( 1 ? b)
2

?

1 (1 ? c )
2

?

1 (1 ? d )
2

?

1 1 ? ?1 1 ? ab 1 ? cd

iff a ? b ? c ? d ? 1 时等号成立. 证毕.

27.19 设 a , b, c, d ? 0 ,且 a ? b ? c ? d ? 4 ,求证:

abc ? bcd ? cda ? dab ? (abc)2 ? (bcd )2 ? (cda)2 ? (dab)2 ? 8 .
解析:采用 SMV 法 ⑴ 设: f (a, b, c, d ) ? abc ? bcd ? cda ? dab ? (abc)2 ? (bcd )2 ? (cda)2 ? (dab)2 设: t ?
4?d 4 a?b?c ? [0 , ] ,则: d ? 4 ? 3t , t ? 3 3 3

f (t , t , t , d ) ? t 3 ? t 2d ? t 2d ? t 2d ? t 6 ? t 4d 2 ? t 4d 2 ? t 4d 2 ? t 3 ? 3t 2 (4 ? 3t ) ? t 6 ? 3t 4 (4 ? 3t )2
? t 3 ? 12t 2 ? 9t 3 ? t 6 ? 3t 4 (16 ? 24t ? 9t 2 )
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? 12t 2 ? 8t 3 ? t 6 ? 48t 4 ? 72t 5 ? 27t 6

? 4(7t 6 ? 18t 5 ? 12t 4 ? 2t 3 ? 3t 2 )
⑵ 采用导数法求①的极值点.



由①式的导数为零得: 42t 5 ? 90t 4 ? 48t 3 ? 6t 2 ? 6t ? 0 即: t (7t 4 ? 15t 3 ? 8t 2 ? t ? 1) ? 0 即: t (7t 4 ? 7t 3 ? 8t 3 ? 8t 2 ? t ? 1) ? 0 即: t (t ? 1)(7t 3 ? 8t 2 ? 1) ? 0 ②

则极值点为: t1 ? 0 , t2 ? 1 , t3 ? 1.236320209 其中, 7t 3 ? 8t 2 ? 1 ? 0 采用盛金公式求③式得. 盛金公式: a ? 7 , b ? ?8, c ? 0, d ? ?1 ; ③

A ? b2 ? 3ac ? 64 , B ? bc ? 9ad ? 63 , C ? c 2 ? 3bd ? ?24
判别式: ? ? B2 ? 4 AC ? 632 ? 4 ? 64 ? 24 ? 10113 ? 0
Y1 ? Ab ? 3a ? Y2 ? Ab ? 3a ? ?B ? ? ? ?117.5841653 ; 2 ?B ? ? ? ?2229.415835 . 2

③式得实数解为: t 3 ?

?b ? 3 Y1 ? 3 Y2 3a

? 1.236320209 .

代入①式得到这些极值点的函数值:

f (t1 ) ? 0 ; f (t2 ) ? 8 ; f (t3 ) ? 7.38889
在边界点的函数值为:
4 4 4 f (0 ) ? 0 ; f ( ) ? ( )3 ? ( )6 ? 7.989023063 3 3 3

故: f (t , t , t , d ) ? 8



⑶ 由于 f (t , t , t , d ) ? f (a, b, c, d )
? [( a?b?c 3 a?b?c 2 ) ? abc] ? d [ 3( ) ? (ab ? bc ? ca )] 3 3 a?b?c 6 a?b?c 4 ) ? (abc )2 ] ? d[ 3( ) ? (a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 )] ? 0 3 3
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?[(

即: f (t , t , t , d ) ? f (a, b, c, d ) 其中:由 An ? Gn 得到: (



a?b?c 3 ) ? abc ? 0 ; 3

由 (a ? b ? c)2 ? 3(ab ? bc ? ca) 得到: 3( 由 An 2 ? Gn 2 得到: (

a?b?c 2 ) ? (ab ? bc ? ca ) ? 0 ; 3

a?b?c 6 ) ? (abc )2 ; 3

由琴生不等式得到: 3( ⑷ 构建函数 g( x ) ? x 4

a?b?c 4 ) ? (a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ) ? 0 3



显然 g( x ) ? x 4 为向下凸函数,故函数的均值不小于均值的函数值.

a?b b?c c?a a?b b?c c?a ? ? g ( ) ? g ( ) ? g ( ) a?b?c 2 2 2 2 2 2 即: g( ) ? g( )? 3 3 3
即: (
a?b?c 4 1 a?b 4 b?c 4 c?a 4 ) ? [( ) ?( ) ?( ) ] 3 3 2 2 2



再由 An ? Gn 得到: 代入⑦式得: ( 即: 3(

a?b b?c c?a ? ab , ? bc , ? ca 2 2 2

a?b?c 4 1 2 2 ) ? [a b ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ] 3 3

a?b?c 4 ) ? (a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ) ? 0 ,⑥式得证. 3

⑸ 故由④⑤式: f (a, b, c, d ) ? f ( t , t , t , d ) ? 8 .
iff a ? b ? c ? d ? 1 时等号成立.

证毕.

27.20 设 a, b, c ? 0 ,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 ,求证: a 2b2 ? b2c 2 ? c 2d 2 ? a ? b ? c . 解析:采用 SMV 法.
WLOG ,假设 a ? b ? c ,则: a 2 ? 1 , b2 ? c 2 ? 2

故: a ? 1 , b ? c ? b 2 ? c 2 ? 2 设: f (a, b, c) ? (a ? b ? c) ? (a 2b2 ? b2c 2 ? c 2a 2 ) 设: t ? ① ②

b2 ? c 2 ,则: f (a, t , t ) ? (a ? 2t ) ? ( 2a 2 t 2 ? t 4 ) 2 3 ? a2 2
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则: a 2 ? 2t 2 ? 3 ,即: t ?

故: f (a, b, c ) ? f (a, t , t )

? (b ? c ? 2t ) ? a 2 (b2 ? c 2 ? 2t 2 ) ? (b2c 2 ? t 4 )

? (b ? c ? 2

b2 ? c 2 b2 ? c 2 b2 ? c 2 2 ) ? a 2 (b 2 ? c 2 ? 2 ? ) ? [b2c 2 ? ( ) ] 2 2 2

b2 ? c 2 2 ?( ) ? b 2 c 2 ? b ? c ? 2(b 2 ? c 2 ) 2 ?
?

(b 2 ? c 2 )2 ? b ? c ? 2( b 2 ? c 2 ) 4
( b ? c ) 2 ( b ? c ) 2 ( b ? c ) 2 ? 2( b 2 ? c 2 ) ? 4 b ? c ? 2(b 2 ? c 2 ) (b ? c )2 (b ? c )2 (b ? c )2 ? 4 b ? c ? 2( b 2 ? c 2 ) (b 2 ? c 2 ) 1 ? ] 4 b ? c ? 2( b 2 ? c 2 )

?

? (b ? c )2 [



将 b2 ? c 2 ? 2 , b ? c ? 2 代入③式得:

2 1 f ( a , b, c ) ? f ( a , t , t ) ? ( b ? c ) 2 [ ? ] 4 2 ? 2?2
1 1 ? (b ? c )2 [ ? ]? 0 2 2? 2

即: f (a, b, c ) ? f (a, t , t )



下面只需证明 f (a, t , t ) ? 0 即可. 将t ?

3 ? a2 代入②式: f (a, t , t ) ? (a ? 2t ) ? ( 2a 2 t 2 ? t 4 ) 2
3 ? a2 3 ? a2 )( 2a 2 ? ) 2 2

f ( a , t , t ) ? a ? 2( 3 ? a 2 ) ? (
? a ? 2( 3 ? a 2 ) ?

3 ( 3 ? a 2 )(1 ? a 2 ) 4

?

3(a 4 ? 2a 2 ? 1) ? [( 3 ? a ) ? 2( 3 ? a 2 )] 4

?

3(a 2 ? 1)2 [( 3 ? a ) ? 2( 3 ? a 2 )][( 3 ? a ) ? 2( 3 ? a 2 )] ? 4 ( 3 ? a ) ? 2( 3 ? a 2 )



35



?

3(a ? 1)2 (a ? 1)2 ( 3 ? a ) 2 ? 2( 3 ? a 2 ) ? 4 ( 3 ? a ) ? 2( 3 ? a 2 )

3(a ? 1)2 (a ? 1)2 3a 2 ? 6a ? 3 ? ? 4 3 ? a ? 2( 3 ? a 2 )

?

? ? 3 4 ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ? 2 4 ? ? 3 ? a ? 2 ( 3 ? a ) ? ?



由于: a ? [0 , 1] ,所以:

4 3 ? 0 ? 2( 3 ? 0 2 )
即:

? 4

4 3 ? a ? 2( 3 ? a 2 ) ?1

?

4 3 ? 1 ? 2( 3 ? 12 )

4 3? 6

?

3 ? a ? 2( 3 ? a 2 )

代入⑤式得: f (a, t , t ) ? 0 ,即: f (a, b, c ) ? f (a, t , t ) ? 0 由①式得: f (a, b, c) ? (a ? b ? c) ? (a 2b2 ? b2c 2 ? c 2a 2 ) ? 0 即: a 2b2 ? b2c 2 ? c 2d 2 ? a ? b ? c . 证毕.

27.21 设 a , b, c ? R ,求证: 3(a 2 ? ab ? b2 )(b2 ? bc ? c 2 )(c 2 ? ca ? a 2 ) ? a 3b3 ? b3c 3 ? c 3a 3 . 解析:不等式即: 3(a 2 ? ab ? b2 )(b2 ? bc ? c 2 )(c 2 ? ca ? a 2 ) ? a 3b3 ? b3c 3 ? c 3a 3 ? 0 设: f (a, b, c) ? 3(a 2 ? ab ? b2 )(b2 ? bc ? c 2 )(c 2 ? ca ? a 2 ) ? a 3b3 ? b3c 3 ? c 3a 3 ①

则对于对称类不等式,当 a ? b ? k 时,若 (c ? k )2 是上式的因子,则可用 SOS 法. 即若

f (k , k , c ) (c ? k )2

? g( k , c ) ,则可采用 SOS 法.

⑴ f (k , k , c) ? 3k 2 (k 2 ? kc ? c 2 )2 ? k 6 ? 2k 3c 3

? 3k 2 (k 4 ? k 2c2 ? c4 ? 2k 3c ? 2k 2c 2 ? 2kc 3 ) ? k6 ? 2k 3c 3 ? k 2 (3k 4 ? 3k 2c 2 ? 3c4 ? 6k 3c ? 6k 2c 2 ? 6kc 3 ? k 4 ? 2kc 3 ) ? k 2 (2k 4 ? 6k 3c ? 9k 2c 2 ? 8kc 3 ? 3c4 )


⑵ 采用长除法分解因式 2k 4 ? 6k 3c ? 9k 2c 2 ? 8kc 3 ? 3c 4



36



2k 2 ? 2kc ? 3c 2 ( k 2 ? 2kc ? c 2 ) 2k 4 ? 6k 3 c ? 9k 2 c 2 ? 8kc 3 ? 3c 4 ? ) 2k 4 ? 4k 3 c ? 2k 2 c 2 ? 2k 3 c ? 7 k 2 c 2 ? 8kc 3 ?2k 3 c ? 4k 2 c 2 ? 2kc 3 ? 3k 2 c 2 ? 6kc 3 ? 3c 4 ?3k 2 c 2 ? 6kc 3 ? 3c 4 ?0

故: 2k 4 ? 6k 3c ? 9k 2c 2 ? 8kc 3 ? 3c4 ? (c ? k )2 (2k 2 ? 2kc ? 3c 2 ) 由③式表明,本题可以采用 SOS 法 ⑶ 采用 SOS 法,就是将不等式改写成:



g(a, b, c ) ? Sa (b ? c )2 ? Sb (c ? a )2 ? Sc (a ? b)2
其中 Sa , Sb , Sc 分别都是关于 a, b, c 的函数. 将①式展开化简后得:



f (a , b, c ) ? 3? (a 4 b 2 ? a 2 b 4 ) ? 4 ? a 3b 3 ? 3? a 4 bc ? 3a 2 b 2 c 2
cyc cyc cyc



由于 a, b, c 对称, cyc 轮换求和后扩展项数是 3 倍,故由⑤式简化为:

f ( a , b, c ) ?
⑷ 根据 SOS 法

1 ?[2c 4 ? 4a 2b2 ? abc(a ? b ? c )](a ? b)2 2 cyc



Sc ? 2c 4 ? 4a 2b2 ? abc(a ? b ? c ) ;
同理: Sa ? 2a 4 ? 4b2c 2 ? abc(a ? b ? c ) ;

Sb ? 2b4 ? 4c 2a 2 ? abc(a ? b ? c ) .
由于 ? S? 前两项为偶次项,所以当 a, b, c 有任何负值时,最后一项 ?abc(a ? b ? c ) 显然不 小于 a, b, c 为正值的值. 故我们设 a, b, c ? 0 . 当 a ? b ? c ? 0 时:

Sc ? 2c 4 ? 4a 2b2 ? abc(a ? b ? c ) ? 3a 2b 2 ? abc(a ? b ? c ) ? 0 ; Sc ? 2Sb ? 2c 4 ? 4a 2b2 ? 4b4 ? 8c 2a 2 ? 3abc(a ? b ? c )
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? 3a2b2 ? (a2b2 ? 4c2a2 ) ? (4b4 ? 4c2a2 ) ? 3abc(a ? b ? c) ? 0

Sa ? 2a 4 ? 4b2c 2 ? abc(a ? b ? c ) ? a 4 ? (a 4 ? b2c 2 ) ? abc(a ? b ? c )
? a 4 ? 2 a 4 b 2 c 2 ? abc(a ? b ? c ) ? a 4 ? 2a 2 bc ? abc(a ? b ? c ) ? 0

Sa ? 2Sb ? 2a 4 ? 4b2c 2 ? 4b4 ? 8c 2a 2 ? 3abc(a ? b ? c )
? (a4 ? 4b2c2 ) ? (4b4 ? 4c2a2 ) ? (a4 ? 4c2a2 ) ? 3abc(a ? b ? c) ? 0
即:当 a ? b ? c 时, Sa ? 0 , Sc ? 0 , Sa ? 2Sb ? 0 , Sc ? 2Sb ? 0 ; 根据 23.2 SOS 法第⑶条: S ? 0 . 证毕. 27.22 设 a , b, c, d ? 0 ,且 a ? b ? c ? d ? abcd ? 5 ,求证: 解析:本题采用琴生不等式. 构建函数: f ( x ) ?
1 ,在 x ? 0 区间, f ( x ) 为向下凸函数. x 1 1 1 1 ? ? ? ? 4. a b c d

根据琴生不等式 ( 21) :对于向下凸函数,均值的函数值不大于函数的均值 即:
f (a ) ? f (b ) ? f (c ) ? f (d ) a?b?c?d ? f( ) 4 4
a?b?c?d ) 4

即: f (a ) ? f (b) ? f (c ) ? f (d ) ? 4 f ( 将 f ( x) ?



1 及 a ? b ? c ? d ? 5 ? abcd 代入①式得: x

1 1 1 1 4 16 ? ? ? ? 4? ? a b c d a ? b ? c ? d 5 ? abcd

② ③

由均值不等式: 5 ? abcd ? a ? b ? c ? d ? 4 4 abcd

设: t ? 4 abcd ? 0 ,则③式为: 5 ? t 4 ? 4t ,即: t 4 ? 4t ? 5 ? 0 即: (t ? 1)(t 3 ? t 2 ? t ? 5) ? 0 ④

因为 t ? 0 ,所以 t 3 ? t 2 ? t ? 5 ? 0 则由④式得: t ? 1 ,故: t ? (0 , 1] ⑤

1 1 1 1 16 ? 4 . 证毕. 将⑤式代入②式得: ? ? ? ? a b c d 5?1

另:采用拉格朗日乘数法. 设: f (a , b, c , d ) ?
1 1 1 1 ? ? ? , g(a, b, c, d ) ? a ? b ? c ? d ? abcd ? 5 a b c d
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则:拉氏函数: L ? f ? ? g 偏导数: 同理:
1

?L ?f ?g 1 1 1 ? ?? ? ? 2 ? ? (a ? abcd ) ? 0 ,即: ? ? a(a ? abcd ) ? ?a ?a ?a a a
? ? b(b ? abcd ) ; 1

?

?

? ? c(c ? abcd ) ;

1

?

? ? d (d ? abcd ) .

则: a(a ? abcd ) ? b(b ? abcd ) ,即: a 2 ? b2 ? (a ? b)abcd 即: (a ? b)(a ? b ? abcd ) ? 0 故: a ? b 或 a ? b ? abcd ? 0 . 同理可得: a ? b ? c ? d . 而由 a ? b ? abcd ? 0 , b ? c ? abcd ? 0 ,…,同样得到: a ? b ? c ? d 故极值点: a ? b ? c ? d ? 1 . 即 f ( a , b, c , d ) ? 27.23 设不等式:
ab(a 2 ? b 2 ) ? bc(b 2 ? c 2 ) ? ca(c 2 ? a 2 ) ? M (a 2 ? b 2 ? c 2 )2
1 1 1 1 ? ? ? 的极小值为 4 . a b c d



对一切实数 a, b, c 都成立,求 M 的最小值. 解析:注意到 ab(a 2 ? b2 ) ? bc(b2 ? c2 ) ? ca(c 2 ? a 2 ) ? (a ? b)(b ? c)(a ? c)(a ? b ? c) 则不等式 ab(a 2 ? b 2 ) ? bc(b 2 ? c 2 ) ? ca(c 2 ? a 2 ) ? M (a 2 ? b 2 ? c 2 )2 变为 (a ? b)(b ? c )(c ? a )(a ? b ? c ) ? M (a 2 ? b 2 ? c 2 )2 ① ②

⑴ 设: x ? a ? b ; y ? b ? c ; z ? c ? a ; s ? a ? b ? c ,则: x ? y ? z ? 0

1 1 及: a 2 ? b 2 ? c 2 ? [(a ? b ? c )2 ? (a ? b)2 ? (b ? c )2 ? (c ? a )2 ] ? ( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ) 3 3

代入①式: sxyz ?

1 M ( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 9

即: 9 sxyz ? M ( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 其中, x, y, z, s ? R



⑵ ③式两边 xyz 与 x 2 ? y 2 ? z 2 之间的关系由②式限制. 由于 x ? y ? z ? 0 , 3 个变量 x , y , z 中有两个的符号相同,不妨设为 x, y ? 0 . 因为 x , y ? 0 时, a ? b ? c ,①式只要 M ? 0 即可.
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当 x, y ? 0 时, z ? ?( x ? y ) ,设 t ? x ? y ? ? z ,由均值不等式 xy ?

( x ? y )2 得: 4

( x ? y )3 t3 sxyz ? sxy( x ? y ) ? s ? ? s? 4 4
当 x ? y 时,④式得等号成立. ⑶ 由均值不等式得:



? 2s 2 ? t 2 ? t 2 ? t 2 ? ? 2s 2 ? 3t 2 ? 2s t ? 2s ? t ? t ? t ? ? ? ?? ? 4 4 ? ? ? ?
2 6 2 2 2 2
2 3

4

4

? 2s 2 ? 3t 2 ? 1 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 即: 2 s t ? ? ? ? (s ? t ) ? (s ? x ? y ? z ) 4 4 2 4 ? ?

即: 4 2 s t 3 ? ( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2



上面用到了: 3t 2 ? t 2 ? 2t 2 ? ( x ? y )2 ? 2z 2 ? 2x 2 ? 2 y 2 ? 2z 2 ⑷ 由⑤式得:
1 1 s t3 ? ( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 4 16 2



将⑥式代入④式得: sxyz ? 于是: 9 sxyz ?

1 16 2

( s 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 ?

2 2 ( s ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 32

9 2 2 ( s ? x 2 ? y 2 ? z 2 )2 32



比较③⑦两式得: M ?

9 2 9 2 . 故: M 的最小值为 . 32 32

27.24 设 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 3 ,求证: (a 2b ? b2c ? c 2a)(ab ? bc ? ca) ? 9 . 解析:采用 uvw 法. ⑴ 齐次化: 27 (a 2b ? b2c ? c 2a)(ab ? bc ? ca) ? (a ? b ? c)5 ⑵ 设: 3u ? a ? b ? c , 3v 2 ? ab ? bc ? ca , w 3 ? abc 则①式变为: 27 (a 2b ? b2c ? c 2a) ? 3v 2 ? 35 u5 即: (a 2b ? b2c ? c 2a)v 2 ? 3u5 即: 6u5 ? 2(a 2 b ? b 2 c ? c 2 a )v 2 ? 2v 2 ? (a 2b )
cyc



即: 6u5 ? v 2 ? (a 2 b) ? v 2 ? (a 2 c ) ? v 2 ? (a 2 b) ? v 2 ? (a 2 c )
cyc cyc cyc cyc

即: 6u5 ? v 2 ? (a 2 b ? a 2 c ) ? v 2 ? (a 2 b ? a 2 c )
cyc cyc





40



⑶ 下列常用式:

9uv 2 ? 3w 3 ? 3u ? 3v 2 ? 3w 3 ? (a ? b ? c )(ab ? bc ? ca ) ? 3abc ? (a 2b ? abc ? ca 2 ) ? (ab2 ? b2 c ? abc) ? (abc ? bc 2 ? c 2 a) ? 3abc

? a 2 b ? ca 2 ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? c 2a ? ? (a 2b ? a 2c )
cyc

即: ? (a 2 b ? a 2 c ) ? 9uv 2 ? 3w 3
cyc



(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? (ab ? ac ? b2 ? bc)(c ? a )
? abc ? ac 2 ? b2 c ? bc 2 ? a 2b ? a 2c ? ab 2 ? abc

? ?(ac 2 ? b2c ? bc 2 ? a 2b ? a 2c ? ab2 )

? ?(a 2 b ? a 2c ? b2c ? b2a ? c 2a ? c 2b) ? ?? (a 2b ? a 2c )
cyc

即: ? (a 2 b ? a 2c) ? ?(a ? b)(b ? c)(c ? a )
cyc



将③④代入②得:

6u5 ? 9uv 4 ? 3w3v 2 ? ?v 2 (a ? b)(b ? c)(c ? a)
1 即: 2u5 ? 3uv 4 ? w 3v 2 ? ? v 2 (a ? b )(b ? c )(c ? a ) ? 0 3



⑷ 采用 uvw 法必须牢记的几个不等式: A> (a ? b)(b ? c )(c ? a ) ? ? (a 2c ? a 2b)
cyc

B> C> D> E>

?a
cyc cyc

2

? 9u2 ? 6v 2 ? 9u4 ? 6uw 3

?a b ?a
cyc 3

2 2

? 27u3 ? 27uv 2 ? 3w 3 ? (9u2 ? 6v 2 )2 ? 2(9v 4 ? 6uw 3 )

?a
cyc

4

F> (a ? b)2 (b ? c)2 (c ? a)2 ? 27[?( w 3 ? 3uv 2 ? 2u3 )2 ? 4(u2 ? v 2 )3 ] G> w 3 ? 3u3 ? 4uv 2 即舒尔不等式 ⑸ 因为 a, b, c ? 0 ,所以根据傻瓜不等式 (53) : u ? v ? w 故由⑷F>可得: ?( w 3 ? 3uv 2 ? 2u3 )2 ? 4(u2 ? v 2 )3 ? 0 即: 4(u2 ? v 2 )3 ? ( w 3 ? 3uv 2 ? 2u3 )2 ,即: 2 ( u 2 ? v 2 )3 ? ?( w 3 ? 3uv 2 ? 2u 3 )
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即: w 3 ? 3uv 2 ? 2u 3 ? 2 ( u 2 ? v 2 )3



这与 24.1 中 uvw 定理的 w 3 取值要求一致. ⑺ 将⑦代入⑤
2u5 ? 3uv 4 ? w 3v 2 ? 2u5 ? 3uv 4 ? v 2 [3uv 2 ? 2u 3 ? 2 (u 2 ? v 2 )3 ]

只要 2u5 ? 3uv 4 ? v 2 [3uv 2 ? 2u3 ? 2 (u 2 ? v 2 )3 ] ? 0 则满足⑤式要求. ⑧式即: 2u5 ? 2u3v 2 ? 2v 2 (u2 ? v 2 )3 ? 0 即: u5 ? u3v 2 ? v 2 ( u2 ? v 2 )3 ? 0



⑻ 设 u ? tv ,则由傻瓜不等式得 t ? 1 ,代入⑧式得: t 5 ? t 3 ? ( t 2 ? 1)3 ? 0 即: t 5 ? t 3 ? ( t 2 ? 1)3 ,即: t 3 ( t 2 ? 1) ? ( t 2 ? 1) t 2 ? 1 即: t 3 ? t 2 ? 1 ,即: t 6 ? t 2 ? 1 ? 0 在 t ? 1 是⑨式恒成立. 这样,⑧式成立,倒退回去则①式成立. 此题不好. 将此题展开来,则是求证: 证毕. ⑨

?a
cyc

5

? 5? (a 4 b ? ab4 ) ? 10? a 2b3 ? 3? a 2b2c ? 17 ? a 3b2 ? 7 ? a 3bc
cyc cyc cyc cyc cyc



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