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解三角形应用举例教案1


解三角形应用举例教案 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形? 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题,“遥不 可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?” 在古代, 天文学家没有先进的仪器就已经估算出了 两者的距离, 是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道, 对于未知的距

离、 高度等, 存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法,或借助解 直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法会不能实施。 如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会有局限性。于 是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。 今天我们开始学习正弦定理、 余弦定理在 科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。 Ⅱ.讲授新课 (1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的 条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解 [例题讲解] (2)例 1、如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在 所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51? , ? ACB= 75? 。求 A、B 两点 的距离(精确到 0.1m)

启发提问 1: ? ABC 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当? 启发提问 2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。 分析: 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题, 题目条 件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算 出 AC 的对角,应用正弦定理算出 AB 边。 解:根据正弦定理,得 AC AB = sin ?ACB sin ?ABC AB =
AC sin ?ACB sin ?ABC

= =

55 sin ?ACB sin ?ABC

55 sin 75? sin(180? ? 51? ? 75?)

=

55 sin 75? sin 54?

≈ 65.7(m) 答:A、B 两点间的距离为 65.7 米 变式练习: 两灯塔 A、 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ? , 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ? ,则 A、B 之间的距离为多少? 老师指导学生画图,建立数学模型。 解略: 2 a km 例 2、如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。 分析:这是例 1 的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造 三角形,所以需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可 求出另两边的方法,分别求出 AC 和 BC,再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。

解:测量者可以在河岸边选定两点 C、D,测得 CD=a,并且在 C、D 两点分别测得 ? BCA= ? ,

?

ACD= ? , ? CDB= ? , ? BDA = ? ,在 ? ADC 和 ? BDC 中,应用正弦定理得 AC = BC =
a sin(? ? ? ) sin[180? ? ( ? ? ? ? ? )] a sin ? sin[180? ? (? ? ? ? ? )]

= =

a sin(? ? ? ) sin(? ? ? ? ? ) a sin ? sin(? ? ? ? ? )

计算出 AC 和 BC 后,再在 ? ABC 中,应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离 AB =
AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?

分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。 变式训练: 若在河岸选取相距 40 米的 C、 D 两点, 测得 ? BCA=60 ? ,? ACD=30 ? ,? CDB=45 ? ,

? BDA =60 ?
略解:将题中各已知量代入例 2 推出的公式,得 AB=20 6 评注:可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些 过程较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选

择最佳的计算方式。 解三角形应用举例二教案 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行的飞 机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 3、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。

分析:求 AB 长的关键是先求 AE,在 ? ACE 中,如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再 测出由 C 点观察 A 的仰角,就可以计算出 AE 的长。 解:选择一条水平基线 HG,使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测 得 A 的仰角分别是 ? 、 ? ,CD = a,测角仪器的高是 h,那么,在 ? ACD 中,根据正弦定理 可得 AC =
a sin ? sin(? ? ? )

AB = AE + h = AC sin ? + h =
a sin ? sin ? + h sin(? ? ? )

例 4、如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ? 40 ? ,在塔底 C 处测得 A 处 的俯角 ? =50 ? 1? 。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗?(给时间给学生讨论思考)若在 ? ABD 中求 CD,则关键需要求出哪条边呢? 生:需求出 BD 边。 师:那如何求 BD 边呢? 生:可首先求出 AB 边,再根据 ? BAD= ? 求得。 解:在 ? ABC 中, ? BCA=90 ? + ? , ? ABC =90 ? - ? , ? BAC= ? - ? , ? BAD = ? .根据正弦定 理,

BC AB = sin(? ? ? ) sin(90 ? ? ? )
所以 AB =

BC sin(90? ? ? ) BC cos ? = sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

解 Rt ? ABD 中,得 BD =ABsin ? BAD= 将测量数据代入上式,得 BD =

BC cos ? sin ? sin(? ? ? )

27.3 cos 50?1? sin 54?40? sin(54?40? ? 50?1?)
27.3 cos 50?1? sin 54?40? sin 4?39?

=

≈177 (m) CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为 150 米. 师:有没有别的解法呢? 生:若在 ? ACD 中求 CD,可先求出 AC。 师:分析得很好,请大家接着思考如何求出 AC? 生:同理,在 ? ABC 中,根据正弦定理求得。(解题过程略) 例 5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? ,

求此山的高度 CD.

师:欲求出 CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢? 生:在 ? BCD 中 师:在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长? 生:BC 边 解:在 ? ABC 中, ? A=15 ? , ? C= 25 ? -15 ? =10 ? ,根据正弦定理,

BC AB = , sin A sin C
BC =

AB sin A 5 sin 15? = sin C sin 10?

≈ 7.4524(km) CD=BC ? tan ? DBC≈BC ? tan8 ? ≈1047(m) 答:山的高度约为 1047 米 1、 为测某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30 ? , 测得塔基 B 的俯角为 45 ? ,则塔 AB 的高度为多少 m? 答案:20+

20 3 (m) 3
§2.2 解三角形应用举例三教案

●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 提问: 前面我们学习了如何测量距离和高度, 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角 求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上 如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问 题。 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 6、如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然

后从 B 出发,沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出 发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ? ,距离精确到 0.01n mile)

学生看图思考并讲述解题思路 教师根据学生的回答归纳分析:首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ? ABC, 即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB。 解:在 ? ABC 中, ? ABC=180 ? - 75 ? + 32 ? =137 ? ,根据余弦定理, AC= AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC = 67.5 2 ? 54.0 2 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos 137 ? ≈113.15 根据正弦定理,
BC = sin ?CAB AC sin ?ABC
AC

sin ? CAB = BC sin ?ABC =
54.0 sin 137 ? 113.15

≈0.3255, 所以

? CAB =19.0 ? ,
75 ? - ? CAB =56.0 ?

答:此船应该沿北偏东 56.1 ? 的方向航行,需要航行 113.15n mile 补充例 2、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船,正沿南偏东 75 ? 的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶, 巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直 线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?

师:你能根据题意画出方位图?教师启发学生做图建立数学模型 分析:这道题的关键是计算出三角形的各边,即需要引入时间这个参变量。 解: 如图, 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船, 则 CB=10x, AB=14x,AC=9, ACB= + = ? 75? 45? 120?

?(14x)

2

= 9 2 + (10x)

2

-2 ? 9 ? 10xcos 120?

?化简得 32x 2 -30x-27=0,即 x=

3 9 ,或 x=- (舍去) 2 16

所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为 sin ? BAC =

3 5 3 BC sin 120 ? 15 = = ? 2 AB 14 21

? ? BAC =38 ? 13? ,或 ? BAC =141 ? 47 ? (钝角不合题意,舍去), ?38 ? 13? + 45? =83 ? 13?
答:巡逻艇应该沿北偏东 83 ? 13? 方向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船. 评注:在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的 应用题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 Ⅳ.课时小结 解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建 立一个解斜三角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解


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