nbhkdz.com冰点文库

第二章 第3讲函数的奇偶性与周期性

时间:2016-11-01


第3讲

函数的奇偶性与周期性

基础诊断

考点突破

课堂总结

最新考纲 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的 含义;2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇 偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,

会判断、应用简单函数的周期性.

/>基础诊断

考点突破

课堂总结

知识梳理

1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点

y轴 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 关于______ 偶函数 都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数 对称

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 原点 关于______ f ( - x ) = - f ( x ) 奇函数 都有 ,那么函数f(x)是奇 对称 函数
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 (填“相 同”、“相反”). (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是 奇函数 ,两个奇函数的积函 数是 偶函数 . . ②两个偶函数的和函数、积函数是 偶函数 ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是

奇函数 .

(3)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.周期性 (1) 周期函数:对于函数 y =f(x) ,如果存在一个

非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,
都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周 期函数,称T为这个函数的周期. (2) 最小正周期:如果在周期函数 f(x) 的所有周 期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正

数就叫做f(x)的最小正周期.

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.( × ) (2) 偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原 点.( × ) (3)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0) 中心对称.( √ ) (4)如果函数 f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则 F(x)=f(x) +g(x)也是偶函数.( √ ) (5)若 T 为函数 f(x)的一个周期,那么 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 函数 f(x)的周期.( √ )
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.(2015· 广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数 的是( ) B.y=x2-cos x

A.y=x+sin 2x
x

1 C.y=2 +2x D.y=x2+sin x 解析 对于 A,定义域为 R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+
sin 2x)=-f(x),为奇函数;对于 B,定义域为 R,f(-x)= (-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),为偶函数;对于 C,定义域 1 1 x 为 R,f(-x)=2 + -x=2 +2x=f(x),为偶函数;y=x2+sin x 2
-x

既不是偶函数也不是奇函数,故选 D.

答案 D
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( 1 A.-3 ) 1 B.3 1 C.2 1 D.-2

1 1 解析 依题意 b=0,且 2a=-(a-1),∴a=3,则 a+b=3.

答案 B

基础诊断

考点突破

课堂总结

4.(2014· 四川卷)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, 当
2 ? ?-4x +2,-1≤x<0, x∈[-1, 1)时, f(x)=? 则 ? x , 0 ≤ x < 1 , ?

f

?3? ? ? ?2?

=________.

解析 ∵f(x)的周期为 2,∴f

?3? ? 1? ? ?=f ?- ?, ?2? ? 2?

又∵当-1≤x<0 时,f(x)=-4x2+2, ∴f
?3? ? 1? ? 1?2 ? ?=f ?- ?=-4×?- ? +2=1. ?2? ? 2? ? 2?

答案 1

基础诊断

考点突破

课堂总结

5.(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函

数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则x<0时,f(x)=________.
解析 当x<0时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).

又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),即f(x)
=x(1-x). 答案 x(1-x)

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点一

函数奇偶性的判断

【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ x2+1); (2)f(x)=(1-x) (3)f(x)= 1+x ; 1-x (x>0), (x<0);

2 ? ?-x +2x+1 ? 2 ? ?x +2x-1

4-x2 (4)f(x)= . |x+3|-3

基础诊断

考点突破

课堂总结



(1)∵ x2+1>|x|≥0,

∴函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)lg(-x+ (-x)2+1) =-xlg( x2+1-x)=xlg( x2+1+x)=f(x). 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 1+x (2)当且仅当 ≥0 时函数有意义, 1-x ∴-1≤x<1,由于定义域关于原点不对称, ∴函数 f(x)是非奇非偶函数.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x), 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
2 ? 4 - x ≥0, ? (4)∵? ?-2≤x≤2 ? ?|x+3|≠3

且 x≠0,

∴函数的定义域关于原点对称. 4- x 2 4-x2 4-(-x)2 ∴f(x)= = x , 又 f ( -x) = = x+3-3 -x 4-x2 - x ,∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条

件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的
必要不充分条件,所以首先考虑定义域; (2) 判断 f(x) 与 f( - x) 是否具有等量关系 . 在判断奇偶性的运算中, 可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x) + f( - x) =0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 1】 (1)(2015· 福建卷)下列函数为奇函数的是( A.y= x C.y=cos x B.y=|sin x| D.y=ex-e-x

)

(2)(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x), g(x)的定义域都为 R, 且 f(x) 是奇函数, g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

(1)y= x的定义域为[0, +∞), 所以 y= x为非奇非偶函


数; y=|sin x|与 y=cos x 为偶函数; 令 y=f(x)=ex-e x, x∈R, 则满足 f(-x)=-f(x),所以 y=ex-e-x 为奇函数,故选 D.

(2)依题意得对任意 x∈R,都有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 因此, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)· g(x)], f(x)g(x)是奇函数, A 错; |f(-x)|· g(-x)=|-f(x)|· g(x)=|f(x)|g(x), |f(x)|g(x)是偶函数, B 错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-[f(x)|g(x)|],f(x)|g(x)|是奇函 数,C 正确; |f(-x)· g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|, |f(x)g(x)|是偶函数,D 错.

答案 (1)D (2)C
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点二

函数奇偶性的应用

2x+1 【例 2】 (1)(2015· 山东卷)若函数 f(x)= x 是奇函数,则使 2 -a f(x)>3 成立的 x 的取值范围为( A.(-∞,-1) C.(0,1) )

B.(-1,0) D.(1,+∞)

(2)已知 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数, 且 f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( A.4 B.3 C.2 ) D.1

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析 (1)法一

2-x+1 2x+1 f(-x)= -x = , 2 -a 1-a2x

2x+1 2x+1 由 f(-x)=-f(x),得 =- x , 1-a2x 2 -a 即 1-a2x=-2x+a,化简得 a(1+2x)=1+2x,所以 a=1, 2x+1 f(x)= x ,由 f(x)>3,得 0<x<1,故选 C. 2 -1 2x+1 法二 因为 f(x)= x 是奇函数,所以 f(1)+f(-1)=0, 2 -a
2x+1 3 即 + =0,解得 a=1,f(x)= x , 2-a 1 2 -1 -a 2 由 f(x)>3,得 0<x<1,故选 C.
基础诊断 考点突破 课堂总结

3 2

(2)由已知得 f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),则
? ?-f(1)+g(1)=2, 有? ? ?f(1)+g(1)=4,

解得 g(1)=3.
答案 (1)C (2)B

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

(1) 已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系

数法求解,根据 f(x)±f(x) = 0得到关于待求参数的恒等式,

由系数的对等性得参数的值或方程 (组),进而得出参数的值;
(2) 已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住奇偶性 讨论函数在各个区间上的解析式,或充分利用奇偶性得出 关于f(x)的方程,从而可得f(x)的值或解析式.

基础诊断

考点突破

课堂总结

1 【训练 2】 (1)(2016· 唐山模拟)已知 f(x)=x+ x-1,f(a) =2,则 f(-a)=( A.-4 B.-2 ) C.-1 D.-3

(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x>0 时, f(x) =x2-4x,则 f(x)=________.

解析

1 (1)令 g(x)=f(x)+1=x+x ,则 g(x)为奇函数.

又 f(a)=2,则 g(a)=3,g(-a)=-3.∴f(-a)=-4.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 又当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=x2+4x.又 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ?x2-4x,x>0, ? 2 即 f(x)=-x -4x(x<0),∴f(x)=?0,x=0, ?-x2-4x,x<0. ?
?x2-4x,x>0, ? 答案 (1)A (2)?0,x=0, ?-x2-4x,x<0. ?

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点三

函数的周期性及其应用

【例 3】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=2x -x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 014).

基础诊断

考点突破

课堂总结

(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],

∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.又f(x)是周期

为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+
f(7)=?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 014)=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014) =f(0)+f(1)+f(2)=1.
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)

即可,且周期为T. (2) 根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的

整体性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则 kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 3】 (1)(2015· 烟台模拟)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的 奇 函 数 , 且 在 [0 , 2] 上 的 解 析 式 为 f(x) =
? ?29? ?41? ?x(1-x),0≤x≤1, ? 则 f? 4 ?+f? 6 ?=________. ? ? ? ? ? ?sin πx,1<x≤2,

(2)(2015· 广州模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且 f(x+2)=-f(x),当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)= ________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析 f

(1)由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数,所以 f

?29? ? ?+ ?4?

?41? ? ? ? 3? ? 7? 3? 7? ? ?=f ?2×4- ?+f ?2×4- ?=f ?- ?+f ?- ?= 4? 6? ?6? ? ? ? 4? ? 6? ?3? ?7? 3 ? ?-f ? ?=- +sin 16 ?4? ?6?

-f

π 5 6=16.

(2)由 f(x+2)=-f(x),得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2) =-[-f(x)]=f(x),所以函数 f(x)的周期为 4,∴f(105.5)= f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.

5 答案 (1) 16

(2)2.5

基础诊断

考点突破

课堂总结

[思想方法] 1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原 点对称 . 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必 要条件.

2.利用函数奇偶性可以解决以下问题:
(1) 求函数值,将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的 函数值求解; (2)求解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上, 再利用奇偶性求出;
基础诊断 考点突破 课堂总结

(3)求解析式中的参数,利用待定系数法求解; (4)画函数图象,利用奇偶性可画出另一对称区间上 的图象.

[易错防范]
1.f(0)=0既不是f(x)是奇函数的充分条件,也不是必要 条件. 2.函数f(x)满足的关系 f(a +x) =f(b-x) 表明的是函数图 象 的 对 称 性 , 函 数 f(x) 满 足 的 关 系 f(a + x) = f(b +

x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系
时不要混淆.
基础诊断 考点突破 课堂总结


...函数与基本初等函数I第3讲 函数的奇偶性与周期性

2016高考数学人教A版(理)复习测试题:第二章 函数与基本初等函数I第3讲 函数的奇偶性与周期性_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 一、...

第2章 第3讲 第三讲 函数的奇偶性及周期性

第2章 第3讲 第三讲 函数的奇偶性及周期性_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高考复习必备,函数的内容全面总结,题型加答案。非常棒的材料。...

第3讲 函数的奇偶性与周期性

第3讲 函数的奇偶性与周期性_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第3讲 1. ...第二章 第3讲 函数的奇偶... 暂无评价 9页 免费 第二章 第3讲函数的奇偶...

...函数与基本初等函数I第3讲 函数的奇偶性与周期性

2016届高考数学大一轮总复习(人教A版,理科) 第二章 函数与基本初等函数I第3讲 函数的奇偶性与周期性_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲函数的奇偶性...

第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性

第2章 第3函数的奇偶性与周期性_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第2章 第 3函数的奇偶性和周期性 [考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会...

...第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性 理 新人教A版

【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性 理 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 函数的奇偶性与周期...

...概念与基本初等函数I第3讲函数的奇偶性与周期性试题...

2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第3讲函数的奇偶性与周期性试题理_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数概念与基本初等函数 I 第 3 讲...

...函数(含答案)3-第三节 函数的奇偶性与周期性

2018课标版文数一轮(2)第二章-函数(含答案)3-第三函数的奇偶性与周期性_数学_高中教育_教育专区。第三函数的奇偶性与周期性 A 组 基础题组 1....

第二章第4讲函数的奇偶性及周期性

第二章第4讲函数的奇偶性及周期性_理学_高等教育_教育专区。第 4 讲 函数的...2? 2=1. 答案:1 1.辨明三个易误点 (1)应用函数的周期性时,应保证自变量...

第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性

第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第3讲【2013 年高考会这样考】 1.判断函数的奇偶性. 函数的奇偶...