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湖南省醴陵二中、醴陵四中两校联考2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理


醴陵二中、 醴陵四中 2015 年下学期两校联考高二年级理科数学期中考 试试卷
考试时间:120 分钟 分值:150 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求,每小题选出答案后,请把答案填写在答题卡相应位置上 . ............... 1 ( . ) A. 数



2 4 6 8 , , , ,? 3 5 7 9
18 19 20 21





10





16 17

B.

C.

D.

22 23

2 . 设 m? R ( )

2 ,命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x?m ? 0

有实根”的逆否命题是

2 A.若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0

2 B.若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则

m?0
2 C.若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0 2 D.若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,

则m ? 0 3.设 m , n 是整数,则“ m , n 均为偶数”是“ m ? n 是偶数”的 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分而不必要条件 C.充要条件 4.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

5.已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题 的是( ) B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q)

A. (?p) ? q

6.当 a ? b ? c 时,下列不等式恒成立的是 ( ) B. a c ? b c
-1-

A. ab ? ac

C. ab ? bc

D. (a ? b) c ? b ? 0

7.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 = ( A.138 8.在等比数列中, a1 ? A.3 9 . ?ABC ( ) A. B.135 C.95 D.23 ( ) )

1 1 1 , q ? , an ? ,则项数 n 为 2 2 32
D.6 , 则



B.4 C.5 , 若 a ? 1, c ? 2, B ? 60?

?A B C 的 面 积 为

1 2

B.

3 2

C.1

D. 3

10 . 若 ?ABC 的 三 个 内 角 满 足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 , 则 ?ABC ( ) A. 一定是锐角三角形 C. 一定是钝角三角形 B. 一定是直角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

?x ? y ?1 ? 0 ? 11 . 如 果 实 数 x、y 满 足 条 件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?
( A. 1 ) B. 0
2 2

那 么 2x ? y 的 最 大 值 为 ,

C. ?2

D. ?3

12.设 F1 , F2 分别为双曲线 心率为 A. ( ) B.

一点 P ,满足 | PF2 |?| F 2 到直线 PF 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离 1F 2 | ,且 F

x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若在双曲线右支上存在 2 a b

4 3

5 3

C.

5 4

D.

41 4

二、填空题 :本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题卡的横线上 . .............

13.已知双曲线焦点是 (?4, 0) 、 (4, 0) ,且经过点(6, ? 21 ) ,则双曲线方程为 14.若命题: ?x ? R, x 2 ? 2ax ? a ? 0 为真命题,则

.

2a 2 ? 1 的最小值是__________. a

15.已知正方形 ABCD ,则以 A , B 为焦点,且过 C , D 两点的椭圆的离心率为__________.
-2-

1 16.把 100 个面包分给 5 个人,使每人所得的面包数成等差数列,且使较多的三份之和的 等 3 于较少的两份之和,则最少的一份面包个数是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请在 .. 答题卡各自题目的答题区域内作答 . ............... 17.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 6 . (Ⅰ)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分) 已知:p: | 4 ? x | ≤,q:x – 2x + 1 – m ≤0(m>0). 若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件,
2 2

求实数 m 的取值范围.

19.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A . (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求 c 的值.

-3-

20.(本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 2n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? 3 ? bn .
2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

1 1 an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn 表达式. 4 3

21.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 A(1, . ) ,且离心率为 2 2 2 a b

(1)求椭圆的标准方程; (2)过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,且 F1 P ? F1Q ,求直线 l 的方程.

22.(本题满分 12 分) 某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为 21 万元。该公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图。
费用(万元)

an 4 2 1 2 n
-4-



(1)求 an ; (2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利; (3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?

-5-

醴陵二中、醴陵四中 2015 年下学期两校联考高二年级理科数学期中考试答题卡

学校:

班级

姓名

成绩

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 二、填空题 :本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13 14 15 16 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

18.(本题满分 12 分)

19.(本题满分 12 分)

-6-

醴陵二中、醴陵四中 2015 年下学期两校联考高二理科数学期中考试参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 C 5 D 6 D 7 C 8 C 9 B 10 C 11 A 12 B

二、填空题 :本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

x2 y2 ? ?1 13. 9 7
15. 16.

14. 10

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分) 解: (1)当 a ? 5 时, x ? 5x ? 6 ? 0 , ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 , ? 3 ? x ? ?2
2

所以原不等式的解集为 (?3,?2)
2 (2)若 f ( x) ? 0 解集为 R ,则 ? ? 0 ,即 a ? 24 ? 0 ,

解得 ? 2 6 ? a ? 2 6 .

18.(本题满分 12 分) 解:p:A = {x|–2≤x≤10},

q:B = {x|x2 – 2x + 1 – m2≤0,m>0}
= {x|1–m≤x≤1 + m,m>0}. 依题意┐p ?? ┐q 且┐q ? ┐p,即 p ? q,且 q ?? p 于是 A ? B.
?m ? 0 ? ∴ ?1 ? m ? ?2 ? m ? 9. ?1 ? m ? 10 ?

故 m 的取值范围是[9, +∞ ) . 19.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理

6 a b 3 2 6 ∴cos A= . ? ? ? 3 sin A sin B sin A 2sin A cos A

-7-

(Ⅱ)由余弦定理, a 2=b2+c 2-2bc cos A ? 32=(2 6)2+c 2-2 ? 2 6c ? 则 c 2-8c+ 15=0.? c=5 或 c=3 当 c=3 时,a=c,∴A=C. 由 A+B+C=π ,知 B=

6 , 3

.

? ,与 a 2+c 2 ? b2 矛盾. 2

∴c=3 舍去.故 c 的值为 5. 20.(本题满分 12 分) 解析:解: (Ⅰ)由题意得 an=Sn-Sn-1=4n -4 ? n ? 2? 而 n=1 时 a1=S1=0 也符合上式∴

an=4n-4(n ? N+) 又∵ bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn ,∴
3 2

1 bn 1 = ∴ ?bn ? 是公比为 的等比数 2 bn ?1 2

3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n 1 1)( ) n , (Ⅱ) Cn= an · bn= (4n-4) ? ? 3( ) =(n- 4 3 4 3 2 2 1 2 1 3 1 4 1 n ∴ Rn=C1+C2+C3+?+Cn=( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) +?+(n ? 1) ? ( ) 2 2 2 2 1 1 3 1 4 1 n 1 n+1 R =( ) +2 ? ( ) +?+(n-2)( ) +(n-1)( ) ∴2 n 2 2 2 2
列,而 b1=T1= 3-b1 ,∴ b1= ,∴ bn= ( ) n-1=3 ? ( ) n (n ? N+ ) . ∴

1 1 1 1 1 1 Rn=( ) 2+( )3+?+( ) n-(n-1) ? ( ) n+1, ? Rn= 1-(n+1)( ) n . 2 2 2 2 2 2

21.(本题满分 12 分) 解: (1)根据题意,

e?

c 2 ? ,? a ? 2c,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? c 2 , a 2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 2 x2 2 C c ? 1 2 c c ? y2 ? 1. 故可设椭圆 : .将 A(1, ,故椭圆 C 的方程为 ) 代入得 2 2
(2)当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 ,经验证,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?2

-8-

可得 得

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 .
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x2 ?

???? 4k 2 2(k 2 ? 1) ???? , x x ? , F P ? ( x ? 1 , y ) , F1Q ? ( x2 ? 1, y2 ) 1 2 1 1 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

因为 F1 P ? F1Q , 所以 F1 P ? F1Q ? 0 ,即

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1

7k 2 ? 1 ? 2 ?0 2k ? 1 ,
2 解得 k ?

1 7 ,即 k ? ? . 7 7

故直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 1 ? 0 或 x ? 7 y ? 1 ? 0 . 22.(本题满分 12 分) 解: (1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得:

an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

f ( n) ? 21n ? [2n ?
2

n( n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20n ? n2 ? 25 2
解得 10 ? 5 3 ? n ? 10 ? 5 3

由 f(n)>0 得 n -20n+25<0

又因为 n ? N ,所以 n=2,3,4,??18.即从第 2 年该公司开始获利 (3)年平均收入为

25 f (n) ) ? 20 ? 2 ? 5 ? 10 =20- (n ? n n

当且仅当 n=5 时,年平均收益最大.所以这种设备使用 5 年,该公司的年平均获利最大。

-9-

20.(本题满分 12 分)

21.(本题满分 12 分)

22.(本题满分 12 分)

- 10 -


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