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高考理科第一轮复习课件(6.3基本不等式)


第三节 基本不等式

1.基本不等式: a ? b ? ab
2

a≥0,b≥0 (1)基本不等式成立的条件:__________. a=b (2)等号成立的条件:当且仅当____时取等号. 算术平均数 几何平均数 (3) a ? b 称为a,b的___________, ab 称为a,b的___________.

>2

算术平均数 几何平 (4)语言叙述:两个非负数的___________不小于它们的______

均数 _____.

2.基本不等式的变形 (1)a+b≥ 2 ab (a,b≥0).
2 (2)ab≤ a ? b ) (a,b∈R). (

2

2ab (3)a2+b2≥____(a,b∈R). 3.利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若x,y
s2 为正实数,且a+b=s,s为定值,则 ab ? , 等号当且仅当 4

x=y _____时成立.简记:和定积最大.

(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若x,y 为正实数,且xy=p,p为定值,则x+y≥ 2 p ,等号当且仅当

x=y _____时成立.简记:积定和最小.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
2 (1)ab ? a ? b ) 成立的条件是ab≥0.( (

) )

(2)函数 f(x) cos x ? 4 ,x ? 0, ? ) 的最小值等于4.( ? (
cos x 2

2

(3)x>0且y>0是 x ? y ? 2 的充要条件.(

)

y x (4)若a>0,则 a 3 ? 12 的最小值为 2 a. ( ) a 2 2 2 (5)若a,b∈R,则 a ? b ? a ? b ). ( ) ( 2 2

【解析】(1)错误.当ab<0时,仍有 ( a ? b ) 2 ? 0, 因此对于不等

式 ab ? ( a ? b )2,当a,b中有0或一个负数时也是成立的.
(2)错误. 虽然由基本不等式可得 f(x) cos x ? 4 ?
2 cos x

2

4 但由于其中的等号成立的条件是 cos x ? 4 , ? 2 cos x ? ? 4, cos x cos x

即cos x=2,但这显然不成立,所以不能说函数的最小值是4.

(3)错误.当x>0且y>0时一定有 x ? y ? 2, 但当
y x y x

x y ? ? 2 时,不 y x

一定有x>0且y>0,所以x>0且y>0是 x ? y ? 2 的充分不必要条件.

(4)错误.虽有 a 3 ? 12 ? 2 a 3 ? 12 ? 2 a,但不能说 2 a 就是
a a

1 的最小值,因为2 a的值与a有关,不是一个定值. 2 a a 2 ? b 2 (a 2 ? b 2) a 2 ? b 2 ? 2ab 2 a?b 2 (5)正确. 由于 ? ? ? ( ) , 2 4 4 2 a3 ?

所以不等式成立. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√

1.下列不等式中正确的是( (A)若a∈R,则a2+9>6a

)

a?b ?2 ab (C)若a,b>0,则 2lg a ? b ? lg a ? lg b 2 (D)若x∈R,则 x 2 ? 21 ? 1 x ?1

(B)若a,b∈R,则

【解析】选C.对于A,a2+9-6a=(a-3)2≥0,?a2+9≥6a,故A 不正确.由基本不等式成立的条件知B错误.对于C,当a,b>0 时,有 a ? b ? ab, 所以 2lg a ? b ? 2lg ab ? lg ? ab ? ? lg a ? lg b,
2 2

故C选项正确.对于D,≧x∈R,?x2+1≥1, x 2 ? 21 ? x 2 ? 1 ? 21 ? 1
x ?1 x ?1
1 ? 2 (x 2 ? 1) 2 ? ? 1 ? 1, x ?1

故D错误.

2.若x>0,y>0,且 x ? y ? 1, 则xy的最大值为(
3

)

(A) 2 3 (B) 3 (C) 1 (D) 1 2
3

9

36

1 2 【解析】选D.由基本不等式可得 xy ? x ? y ) ? 3 ) ? 1 , ( ( 2 2 2 36

当且仅当 x ? y ? 1 时,xy取最大值 1 . 故选D.
6 36

3.函数f(x)=3x+3-x的最小值是(
(A)2 (B)1 (C)3

)
(D) 2 2
3

【解析】选A.由于3x>0,3-x>0,所以f(x)=3x+3-x= 3x ? 1 x
1 当且仅当3x=3-x,即x=0时函数取得最小值2. ? 2 3x ? x ? 2, 3

4.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离
成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比, 如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2 万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离 车站______千米处.

【解析】设仓库到车站的距离为x千米,由题意设 y1 ? k1 ,

x 4 y2=k2x,而当x=10时,y1=2,y2=8,于是k1=20, k 2 ? ,因此 5 20 4 20 4x y1 ? , y 2 ? x, ?y1+y2= ? ? 2 16 ? 8, 当且仅当x=5时取 x 5 x 5

等号,所以仓库应建在离车站5千米处. 答案:5

5.已知a,b为正实数且a+b=1,则 (1 ? 1 )(1 ? 1 ) 的最小值为___.
a b

【解析】≧a>0,b>0,a+b=1,
1 a?b b 1 a ? 1? ? 2 ? ,同理1 ? ? 2 ? , a a a b b 1 1 b a b a ? (1 ? )(1 ? ) ? (2 ? )(2 ? ) ? 5 ? 2( ? ) ? 5 ? 4 ? 9, a b a b a b 等号成立的条件为 a ? b ? 1 . 2 ?1 ?

答案:9

考向 1

利用基本不等式判断命题真假

【典例1】(1)(2013·抚州模拟)已知0<a<b,且a+b=1, 下列不等式中,一定成立的是( )

①log2a>-1;②log2a+log2b>-2;③log2(b-a)<0; ④ log 2 ( b ? a )>1.
a b

(A)①②

(B)②③

(C)③④

(D)①④

(2)(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是(
(A) lg(x 2 ? 1 ) lg x(x ? 0) ?
4 (B) sin x ? 1 ? (x ? k?, k ? Z) 2 sin x

)

(C)x2+1≥2|x| (D) 21
x ?1 ?(x ? R) 1

【思路点拨】运用基本不等式和不等式的性质,结合函数知识
对每一项进行分析判断,注意基本不等式应用的条件和等号成 立的条件是否满足.

【规范解答】(1)选C.①≧0<a<b,a+b=1, ? a<1 ,
1 ? ?1.错误;② ?1 ? a ? b>2 ab, 2 1 1 ? ab< ,? log 2 a ? log 2 b ? log 2 ab)<log 2 ? ?2, 错误; ( 4 4 ? log 2 a<log 2

2

③≧0<b-a<1,?log2(b-a)<0,正确; ? ? b ? a >2,? log 2 ( b ? a )>1, 正确.故③④正确.
a b a b

(2)选C.由于 x 2 ? 1 ? 2 x 2 ?1 ? x, 所以 lg(x 2 ? 1 ) lg(2 x 2 ?1 ) ?
4 4 4 4
? lg x,当且仅当 x 2 ? 1 ,即x ? 1 时取等号,故A错误. 当 4 2

sin x<0时,不可能有 sin x ? 1 ? 2,故B错误.由基本不等式
sin x

可得x2+1=|x|2+12≥2|x|,故C正确.由于x2≥0,x2+1≥1,所以
1 ? 1 故D错误. , 2 x ?1

【拓展提升】基本不等式的变形 在基本不等式 ab ? a ? b 及其一些变形形式中,可以将字母
2

a,b换成其他的数、字母、代数式等,只要这些数、字母、代
数式符合不等式成立的条件,那么得到的不等式也是成立的,

由此可以得到一些常用的不等式.例如,当x≠0时, 2 ? 12 ? 2; x
x

当a>1时,lg a+loga10≥2.

【变式训练】 给出下列结论:①若x≠0,则 x ? 4 ? 2 x ?4 ? 4;
x x

②若a>0,b>0,则 lg a ? lg b ? lg a ?lg b;
2

③当 x ? 0, ? ) sin x ? 9 时, (
2

的最小值为6;④若a,b>0,且

sin x

ab=2,则 1 ? 1 ? 1. 其中正确结论的序号是________. 2 2
a b

【解析】对于①,只有当x>0时,才有 x ? 4 ? 2 x ?4 ? 4 成立,
x x

故①错误;对于②,虽然有a>0,b>0,但lg a和lg b不一定都
是正数,因此不一定有 lg a ? lg b ? lg a ?lg b, 故②错误;对于 ③,虽然当 x ? 0, ? ) 时,sin x>0,所以 sin x ? 9 (
2 2 sin x

9 但其中的等号成立的条件是 sin x ? 9 , ? 2 sin x ? ? 6, sin x sin x 9 sin x ? 即sin x=3,这显然是不可能的,因此不能说 sin x 2 1 1 a ? b2 a 2 ? b2 的最小值为6,故③错误;对于④,由于 2 ? 2 ? 2 2 ? a b a b 4 2ab 当且仅当a=b= 2 时取等号,所以④正确. ? ? 1, 4

答案:④

考向 2

利用基本不等式求最值
x

【典例2】(1)若x<0,则函数 f(x) 1 ? x ? 16 的最小值为___. ? (2)(2013·宿州模拟)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是______. (3)(2013·余姚模拟)已知正数a,b满足 1 ? 1 ? 3, 则a+b的
a b

取值范围是_________.

【思路点拨】(1)因为x<0,所以可对 ? ? x ? ? (?
不等式求最小值.

16 ) 利用基本 x

(2)利用基本不等式构造关于xy的不等式,求xy的最小值. (3)一种思路是根据 1 ? 1 ? 3, 将a+b中的b用a表示,然后用基
a b

本不等式求范围;另一种思路是对 1 ? 1 ? 3 变形,获得a+b与
a b

ab的关系,然后利用解不等式消去ab建立a+b的不等式求解.

【规范解答】(1)由于x<0,所以f(x)= 1 ? x ? 16
x
16 16 ? 1? [( ? x) ? )] 1 ? 2 ( ? x) ? ) 9, ? ( ? ( ? ? x x 当且仅当 ? x ? ? 16 , 即x=-4时,函数取最小值9. x

答案:9 (2)≧x>0,y>0, ? xy ? x ? 2y ? 2 2xy, ?xy≥8. 当且仅当x=2y时取等号. ?8≥m-2,?m≤10. 答案:10

(3)方法一:由 1 ? 1 ? 3 得a+b=3ab,所以 b ?
a b

a 由于 , 3a ? 1

1 a>0,b>0,可得 a ? 1 . 于是 a ? b ? a ? a ? a ? 3 ? 1 3a ? 1 3a ? 1 3 3 1 1 2 1 1 2 1 1 2 4 ?a? ? 3 ? ? a? ) ( ? ? ? 2 (a ? ) ? ? ? , 3 3a ? 1 3 3 9(a ? 1 ) 3 3 (a ? 1 ) 3 3 9 3 3 1 1 2 ,即a ? 时取等号,所以a+b的取值范 当且仅当 a ? ? 3 9(a ? 1 ) 3 3 围是 4 , ??). [ 3

方法二:由 1 ? 1 ? 3 得a+b=3ab.

a b a?b 2 a?b 2 由于ab ? ( ) ,所以a ? b ? ( 3 ) , 2 2 即4(a+b)≤3(a+b)2,所以 a ? b ? 4 , 即a+b的取值范围是 3 4 [ , ??). 3 答案: 4 , ??) [ 3

【互动探究】本例题(3)中,条件不变,则ab的取值范围是
_________. 【解析】由于a ? b ? 2 ab,所以3ab ? 2 ab, 即9(ab)2≥4ab,所 以 ab ? 4 ,即ab的取值范围是 4 , ??). [
9 9

答案:[ 4 , ??)
9

【拓展提升】两个正数的和与积的转化 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化 为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中, 还可以用于求代数式的最值或取值范围. 如果条件等式中,同 时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式 对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.

【变式备选】(1)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值
是_______. 【解析】 xy ? 2x ? y ? 6 ? 2 2xy ? 6, 令xy=t2(t>0),可得 注意到t>0,解得 t ? 3 2, 故xy的最小值为18. t 2 ? 2 2t ? 6 ? 0, 答案:18

(2)(2013·海口模拟)函数f(x)= sin x ? 的最小值是_________.

1 (0<x<π ) 4sin x

【解析】因为0<x<π,所以0<sin x≤1.因此由基本不等式 得: (x) sin x ? f ?
1 1 当且仅当 sinx ? 1 , ? 2 sinx ? ? 1, 4sin x 4sin x 4sin x 1 ? 5? 时取到等号,所以函数的最小值等 sin x ? ,即x ? 或x ? 2 6 6

于1. 答案:1

考向 3

基本不等式的实际应用

【典例3】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形

小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.
房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋 顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计 房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?

【思路点拨】用长度x表示出造价,利用基本不等式求最值即 可.但要注意变量x的取值范围为0<x≤5;判断函数取最小值 时的x是否在定义域内,若不在定义域内,不能用基本不等式 求最值,可以考虑单调性.

【规范解答】设总造价为y,由题意可得,
12 y=3(2x ? 150+ ? 400)+5 800 x 16 =900 x+ )+5 800 ? 0<x ? 5 ?, ( x 16 由基本不等式得 y=900 x+ )+5 800 ( x 16 ? 900 ? 2 x ? +5 800= 000 ? 元 ?, 13 x 当且仅当 x=16 , 即x=4时取等号. x

故当侧面的长度为4米时,总造价最低.

【互动探究】本例中,若要求房子侧面的长度x不得少于5 m, 那么侧面的长度为多少时,总造价最低? 【解析】设总造价为y,由题意可得,
12 y=3(2x ? 150+ ? 400)+5 800 x 16 =900 x+ )+5 800 x ? 5) ( ( . x 16 由于y? ? 900 1 ? 2 ), ( x

令y′>0得x>4(x<-4舍去), 所以函数在(4,+≦)上单调递增,于是当x=5时,y取得最小值 13 180元.

【拓展提升】注意变量的取值范围 在利用基本不等式解决实际应用问题时,一定要注意问题中所 涉及变量的取值范围,即函数的定义域,分析在该范围内是否 存在使基本不等式的等号成立的变量值,若存在,则可利用基 本不等式求解,若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数 定义域内,则应利用导数研究函数的单调性,根据单调性求最 值.

【变式备选】某种汽车,购车费用为10万元,每年的保险费、 汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递 增0.2万元.这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?

【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2 万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元 为公差的等差数列,因此,汽车使用x年时总的维修费用为
0.2 ? 0.2x 万元. x 2

设汽车的年平均费用为y万元,则有
0.2 ? 0.2x x 10 ? x ? 0.1x 2 2 y? ? x x 10 x 10 x ? 1? ? ? 1? 2 ? ? 3, x 10 x 10 当且仅当 10 ? x ,即x=10时,y取得最小值. x 10 10 ? 0.9x ?

答:汽车使用10年时,它的年平均费用最少.

【易错误区】忽视基本不等式成立的条件致误

【典例】(2012·浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则
3x+4y的最小值是( )

(A) 24
5

(B)28
5

(C)5

(D)6

【误区警示】本题在求解中容易出现的错误是:对x+3y运用基 本不等式得到 xy 的范围,再对3x+4y运用基本不等式,然后 通过不等式的传递性得到3x+4y的最值,忽视了基本不等式中 等号成立的条件,没有注意到两次运用基本不等式时等号成立 的条件不一致,从而导致错误.

【规范解答】选C.由x+3y=5xy可得 1 ? 3 ? 1,
5y 5x

所以3x ? 4y ? 3x ? 4y)( ( ?

1 3 ? ) 5y 5x

9 4 3x 12y 13 3x 12y 13 12 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 5, 5 5 5y 5x 5 5y 5x 5 5

当且仅当x=1, y ? 1 时取等号,故3x+4y的最小值是5.
2

【思考点评】

1.连续运用基本不等式应注意等号成立的条件
连续使用基本不等式时取等号的条件很严格,要求同时满足任

何一次的字母取值存在且一致.因此尽量不要连续两次以上使
用基本不等式,若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时

相等.

2.妙用“1”的代换求代数式的最值
在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的解决办法 是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子 的值为常数,然后将欲求最值的代数式乘上常数,再对代数式 进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.

1.(2013·安庆模拟)“a>1”是“对任意的正数x,不等式
2x ? a ? 1 成立”的( x

)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】选A.若a>1,则 2x ? a ? 2 2a>2 2, 2x ? a ? 1 成立. 故
x x

若 2x ?

a 1 ? 1 则必有 2 2a ? 1.? a ? ,?a>1不成立.故选A. , x 8

x 2 ? 5x ? 15 2.(2013·太原模拟)函数 y ? 的最小值为 (x ? 0) x?2

( (A)6 (B)7 (C)8
2

)

(D)9
? ? x ? 2? ? 9 ? 1 ? 7, 当且仅 x?2

【解析】选B. y ? ? x ? 2 ?
x?2

? ? x ? 2? ? 9 x?2

当 x ? 2 ? 9 ,x=1时取等号.

3.(2013·九江模拟)某厂的某种产品的产量去年相对于前年
的增长率为p1,今年相对于去年的增长率为p2,且p1>0, p2>0,p1+p2=p,如果这种产品在这两年中的年平均增长率为 x,则(
p (A)x≤ 2 (C)x< p 2

)
p (B)x= 2 (D)x≥ p 2

【解析】选A.由题意,设前年的产量为a,则
a(1+x)2=a(1+p1)(1+p2), ?(1+x)2=(1+p1)(1+p2)≤ (1 ? p1 ? 1 ? p 2 ) 2 ? (1 ? p ) 2 ,
2 2 p ? x ? , 当且仅当p1=p2时取等号. 2

4.(2013·上饶模拟)若不等式 2a ? 1 ?| x ? 1 | 对一切非零实数
x

x恒成立,则实数a的取值范围是_______.
【解析】当x>0时, ? 1 ? 2, x
x 当x<0时,x ? 1 ? ? ? x) 1 ] ?2, [( ? ? x ?x 1 ?|2a-1|≤2, ?| x ? |? 2, x ?-2≤2a-1≤2, ?? 1 ? a ? 3 . 2 2 3 答案: ? 1 , ] [ 2 2

1.已知正整数a,b满足4a+b=30,则使得 1 ? 1 取得最小值的有
a b

序数对(a,b)是( (A)(5,10) (C)(7,2)

) (B)(6,6) (D)(4,14)

【解析】选A.依题意得 1 ? 1 ? 1 ( 1 ? 1 )(4a ? b)
a b 30 a b
1 b 4a 1 b 4a 3 ? (4 ? ? ? 1) ? (5 ? 2 ? ) ? , 30 a b 30 a b 10

当且仅当 b ? 4a 时取最小值,即b=2a且4a+b=30,即a=5,b=10
a b

时取等号. ?使得 故选A.
1 1 ? 取得最小值的有序数对(a,b)是(5,10). a b

2.已知a,b都是正实数,函数y=2aex+b的图像过(0,1)点,则
1 1 ? 的最小值是( a b

)
(B)3 ? 2 2 (D)2
a b a b

(A) ? 2 2 3 (C)4

【解析】选A.依题意得2a+b=1,于是 1 ? 1 ? 2a ? b)( 1 ? 1 ) (
b 2a b 2a 当且仅当 b ? 2a , ? 3? ? ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 2, a b a b a b

b ? 2 ? 1,a ?

2? 2 1 1 时, ? 取最小值3 ? 2 2. 2 a b

3.已知x>0,y>0, 1 ? 9 ? 1,若不等式m2+6m-x-y<0恒成立,
x y

则实数m的取值范围是___________.

1 9 ? ? 1, x y 1 9 9x y 9x y ? x ? y ? ? x ? y ? ( ? ) ? 10 ? ? ? 10 ? 2? ? ? 16, x y y x y x 9x y 当且仅当 ? 即y2=9x2时取等号, y x 1 ≧x>0,y>0, ? 9 ? 1, 此时x=4,y=12. x y

【解析】≧x>0,y>0,

≧m2+6m-x-y<0恒成立,即m2+6m<x+y恒成立,只要使m2+6m<
(x+y)min=16, 由m2+6m<16可得-8<m<2. 答案:(-8,2)


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