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黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高一数学上学期第一次月考试卷(含解析)


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黑龙江省哈师大附中 2014-2015 学年高一上学期第一次月考数学试 卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)设集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={1,2,3

},则图中阴影部分所表示的 集合是()

A. {4}

B. {2,4}

C. {4,5}

D. {1,3,4}

2. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为[0,2],则函数 f(2x)的定义域为() A. {x|0<x≤4 } B. {x|0≤x≤4} C. {x|0≤x<1} D. {x|0≤x≤1} 3. (5 分)已知集合 A 到 B 的映射 f:x→y=2x +1,那么集合 B 中象 3 在 A 中对应的原象是 () A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 4. (5 分)已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣(k﹣1)x+1=0 有两个实根,则 k 的取值范围为 () A. [﹣1,3] B. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) C. (﹣1,3) D. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 5. (5 分)已知集合 M={y|y=x ﹣1,x∈R},N={x|y= A. [﹣1,+∞) B. [﹣1, ] C. [
2 2 2

},则 M∩N=() ,+∞) D. ?

6. (5 分)下列函数与 y=﹣x 是同一函数的是() A. B. C. D.

7. (5 分)f(x)=|x﹣1|的图象是()

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A.

B.

C.

D.
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8. (5 分)已知 f(x)的图象关于原点对称,且 x>0 时,f(x)=﹣x +1,则 x<0 时,f (x)=() 2 2 2 2 A. ﹣x +1 B. ﹣x ﹣1 C. x +1 D. x ﹣1 9. (5 分)函数 A. [0,1] 的单调增区间是() B. (﹣∞,1] C. [1,+∞) D. [1,2]

10. (5 分)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足“对任意 x1,x2∈(﹣∞,0) ,且 x1≠x2,都 有 A. a>b ”,则 a=f(﹣2)与 b=f(3)的大小关系为() B. a=b C. a<b D. 不确定

11. (5 分)函数 A. ﹣3

的最大值为() B. ﹣5 C. 5 D. 3

12. (5 分)定义集合 A、B 的一种运算:A*B={x|x =x1?x2,x1∈A,x2∈B},若 A={1,2,3}, B={1,2},则集合 A*B 的真子集个数为() A. 15 B. 16 C. 31 D. 32

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 2 13. (5 分)已知 M={1,t},N={t ﹣t+1},若 N? M,则 t 的值为. 14. (5 分)函数 15. (5 分)函数 y=x+ ,则函数 f(x)=. 的值域是.

16. (5 分)若函数 f(x)=

的定义域为 R,则 a 的取值范围是.
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)设全集 U=R,集合 A={x|x≤﹣2 或 x≥5},B={x|x≤2}.求 (Ⅰ)?U(A∪B) ; (Ⅱ)记?U(A∪B)=D,C={x|2a﹣3≤x≤﹣a},且 C∩D=C,求 a 的取值范围. 18. (12 分)用单调性定义证明:函数 f(x)=3x+x 在(﹣∞,+∞)上是增函数(参考公 3 3 2 2 式:a ﹣b =(a﹣b) (a +ab+ b ) )
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19. (12 分)解下列关于 x 的不等式:



2 0. (12 分)已知二次函数 f(x)满足条件:f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x (Ⅰ)求 f(x) ; (Ⅱ)讨论二次函数 f(x)在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值. 21. (12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)的值域. 22. (12 分)定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足下面三个条件: ①对任意正数 a,b,都有 f(a)+f(b)=f(ab) ; ②当 x>1 时,f(x)<0; ③f(2)=﹣1 (Ⅰ)求 f(1)和 的值; (x∈R)是奇函数.

(Ⅱ)试用单调性定义证明:函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数; 3 2 (Ⅲ)求满足 f(4x ﹣12x )+2>f(18x)的 x 的取值集合.

黑龙江省哈师大附中 2014-2015 学年高一上学期第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)设集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={1,2,3},则图中阴影部分所表示的 集合是()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. {4} B. {2,4} C. {4,5} D. {1,3,4}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 图中阴影部分所表示了在集合 A 中但不在集合 B 中的元素构成的集合. 解答: 解:图中阴影部分所表示了在集合 A 中但不在集合 B 中的元素构成的集合, 故图中阴影部 分所表示的集合是{4}, 故选 A. 点评: 本题考查了集合的图示运算,属于基础题. 2. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为[0,2],则函数 f(2x)的定义域为() A. {x|0<x≤4} B. {x|0≤x≤4} C. {x|0≤x<1} D. {x|0≤x≤1} 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的定义域,得到 0≤2x≤2,解出即可. 解答: 解:∵函数 f(x)的定义域为[0,2], ∴0≤2x≤2, ∴0≤x≤1, 故选:D. 点评: 本题考查了函数的定义域问题,是一道基础题. 3. (5 分)已知集合 A 到 B 的映射 f:x→y=2x +1,那么集合 B 中象 3 在 A 中对应的原象是 () A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 考点: 映射. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 分析: 由题意,令 2x +1=3 可解得 x=1 或 x=﹣1. 2 解答: 解:令 2x +1=3 解得, x=1 或 x=﹣1, 故选 D. 点评: 本题考查了映射的概念,属于基础题. 4. (5 分)已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣(k﹣1)x+1=0 有两个实根,则 k 的取值范围为 () A. [﹣1,3] B. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) C. (﹣1,3) D. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据一元二次方程根与判别式△之间的关系即可得到结论. 2 解答: 解:∵一元二次方程 x ﹣(k﹣1)x+1=0 有两个实根, 2 ∴判别式△=(k﹣1) ﹣4≥0,
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 即△=(k﹣1) ≥4, 则 k﹣1≥2 或 k﹣1≤﹣2 , 解得 k≥3 或 k≤﹣1, 故 k 的取值范围为(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) , 故选:B 点评: 本题主要考查一元二次方程根与判别式△之间的关系和应用, 利用一二次不等式的 解法是解决本题的关键. 5. (5 分)已知集合 M={y|y=x ﹣1,x∈R},N={x|y= A. [﹣1,+∞) 考点: 专题: 分析: 解答: 对于 B. [﹣1, ] C. [
2 2

},则 M∩N=() ,+∞) D. ?

交集及其运算. 计算题. 由题意求出集合 M 与集合 N,然后求出 M∩N. 2 解:集合 M={y|y=x ﹣1,x∈R}={y|y≥﹣1}, ,2﹣x ≥0,解得
2



N={x| }, 则 M∩N=[﹣1,+∞)∩[ ]= . 故选 B. 点评: 本题考查集合的基本运算, 函数的值域与函数的定义域的求法, 考查集合的交集的 求法. 6. (5 分)下列函数与 y=﹣x 是同一函数的是() A. B. C. D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对于 A,可利用三次方根的定义求解; 对于 B,考虑两函数定义域是否相同; 对于 C,可以根据二次根式的定义将函数进行化简,或考虑其值域; 对于 D,可以根据两函数的定义域进行判断. 解答: 解:函数 y=﹣x 的定义域为 R,值域为 R. 在选项 A 中, 根据方根的定义, 在选项 B 中,y= 同一函数. 在选项 C 中, y=﹣x 不是同一函数. |x|≤0,与 y=﹣x 的值域不同,对应关系不完全相同,所以与 , 且定义域为 R, 所以与 y=﹣x 是同一函数. (x≠1) ,与 y=﹣x 的定义域不同,所以与 y=﹣x 不是

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 在选项 D 中, =﹣ =﹣|x|=﹣x≤0(x≥0) ,与 y=﹣x 的值域不同,定义域

不同,所以与 y=﹣x 不是同一函数. 故答案为 A. 点评: 本题考查了函数的定义域,值域,对应法则等. 1.两函数相等的条件是: (1)定义域相同, (2)对应法则相同, (3)值域相同,三者缺一 不可.事实上,只要两函数定义域相同,且对应法则相同,由函数的定义知,两函数的值域 一定相同,所以只需满足第(1) 、 (2)两个条件即可断定两函数相同(相等) . 2.若两函数的定义域、对应法则、值域这三项中,有一项不同,则两函数不同. 7. (5 分)f(x)=|x﹣1|的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 分析: 将函数解析式写成分段函数,分别作出函数在区间[1,+∞)和(﹣∞,1)上的图 象. 解答: 解:f(x)=|x﹣1|= 分别作出函数在区间[1,+∞)和(﹣∞,1)上的图象: 故选 B.

点评: 本题为分段函数图象问题,作出函数图象即可得到结果. 还可以利用函数图象的平移解答,函数 f(x)=|x|的图象是学生所熟悉的,将其图象向右 平移一个单位,即可得到函数 f(x)=|x﹣1|的图象. 8. (5 分)已知 f(x)的图象关于原点对称,且 x>0 时,f(x)=﹣x +1,则 x<0 时,f(x) =() 2 2 2 2 A. ﹣x +1 B. ﹣x ﹣1 C. x +1 D. x ﹣1 考点: 函数奇偶性的性质.
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 分析: 由题意可知 f(x)是奇函 数,又由 x>0 时,f(x)=﹣x +1,可得 x<0 时,f(x) 2 =x ﹣1. 解答: 解:∵f(x)的图象关于原点对称, ∴f(x)是奇函数, 2 又∵当 x>0 时,f(x)=﹣x +1, 2 ∴x<0 时,f(x)=x ﹣1, 故选 D. 点评: 本题考查了函数的奇偶性的应用,本题表达式是多项式,可以直接写出即可,属于 基础题. 9. (5 分)函数 A. [0,1] 的单调增区间是() B. (﹣∞,1] C. [1,+∞) D. [1,2]

考点: 复合函数的单调性;函数的单调性及单调区间. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用换元法,结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论. 2 解答: 解:设 t=﹣x +2x,则函数等价为 y= . 2 2 由 t=﹣x +2x≥0,即 x ﹣2x≤0, 解得 0≤x≤2,即函数的定义域为[0,2], ∵y= 为增函数, ∴要求函数
2

的单调增区间,即求函数 t=﹣x +2x 的增区间,

2

则∵函数 t=﹣x +2x 的对称性为 x=1, 2 ∴当 0≤x≤1 时,函数 t=﹣x +2x 单调递增, 即此时函数 单调递增,

故函数的单调递增区间[0,1], 故选:A 点评: 本题主要考查函数单调区间的求解, 根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的 关键.注意先求函数的定义域. 10. (5 分)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足“对任意 x1,x2∈(﹣∞,0) ,且 x1≠x2,都 有 A. a>b ”,则 a=f(﹣2)与 b=f(3)的大小关系为() B. a=b C. a<b D. 不确定

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

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分析: 由对任意 x1,x2∈(﹣∞,0) ,且 x1≠x2,都有

,可知

f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,又由 f(x)是 R 上的偶函数可得 f(3)=f(﹣3) ,从而 判断二者的大小关系. 解答: 解:∵对任意 x1,x2∈(﹣∞,0) ,且 x1≠x2,都有 ,

∴f(x)在(﹣∞,0)上是减函数, 又∵f(x)是 R 上的偶函数, 则 f(3)=f(﹣3) , ∵﹣3<﹣2, ∴f(﹣3)>f(﹣2) , 故选 C. 点评: 本题考查了函数的性质的综合应用,特别要注意的是对任意 x1,x2∈(﹣∞,0) , 且 x1≠x2,都有 于基础题. ,表达了 f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,属

11. (5 分)函数 A. ﹣3

的最大值为() B. ﹣5 C. 5 D. 3

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=x ,则 t∈[0,+∞) ,因此 的最大值. 解答: 解:令 t=x ,则 t∈[0,+∞) ,∴
2 2

,再求函数的导数,通过单调性探求函数



<0,∴

在 t∈[0,+∞)上单调递减,

∴当 t=0 时,函数取最大值,即 故选:D 点评: 本题主要考查函数的最值求法, 如果函数的解析式较复杂, 通常利用换元法使函数 的解析式变得简单后再求最值. 12. (5 分)定义集合 A、B 的一种运算:A*B={x|x=x1?x2,x1∈A,x2∈B},若 A={1,2,3}, B={1,2},则集合 A*B 的真子集个数为() A. 15 B. 16 C. 31 D. 32

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考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 新定义;集合. 分析: 根据 A*B 运算的定义和条件求出集合 A*B, 再由集合中元素的个数得到它的真子集 的个数. 解答: 解:由题意得,A={1,2,3},B={1,2}, 所以 A*B={x|x=x1?x2,x1∈A,x2∈B}={1,2,3,4,6}, 5 则集合 A*B 的真子集个数为:2 ﹣1=31, 故选:C. n 点评: 本题考查了集合中一个结论:集合 A 有 n 个元素则真子集的个数是 2 ﹣1 个,以及 新定义的应用. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 2 13. (5 分)已知 M={1,t},N={t ﹣t+1},若 N? M,则 t 的值为 0. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 2 2 分析: 本题考查集合间的包含关系,分 t ﹣t+1=1 和 t ﹣t+1=t 两种情况讨论,然后验证 元素的互异性,由 M={1,t}得 t≠1. 解答: 解:由元素的互异性得 M={1,t}则 t≠1; 2 2 由 N? M 得,t ﹣t+1=1 和 t ﹣t+1=t; 2 当 t ﹣t+1=1 时,t=0,或 t=1(舍去) , 2 当 t ﹣t+1=t 时,t=1,舍去; 综上,t=0. 点评: 本题易错点为忽略元素的互异性 t≠1. 14. (5 分)函数 考点: 专题: 分析: 解答: ,则函数 f(x)=(x﹣1) (x≥1) .
2

函数解析式的求解及常用方法. 计算题;函数的性质及应 用. 2 由题意,利用换元法,令 +1=t(t≥1) ,则 x=(t﹣1) ,从而求解析式. 2 解:令 +1=t(t≥1) ,则 x=(t﹣1) ,

则 可化为 2 f(t)=(t﹣1) , 2 故答案为: (x﹣1) (x≥1) . 点评: 本题考查了函数的解析式的求解,用到了换元法,属于基础题.

15. (5 分)函数 y=x+

的值域是(﹣∞, ].

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求该函数的值域,可以利用换元法,变为二次函数,然后运用配方法求值域. 解答: 解析:令 =t(t≥0) ,则 x=1﹣t ,此时 y=1﹣t +t, (t≥0) ,
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以 y=﹣t +t+1=﹣(t﹣ ) + ≤ , 所以原函数的值域为(﹣∞, ]. 故答案为: (﹣∞, ]. 点评: 本题考查了函数值域的求法, 考查了换元法, 解答此题的关键是变无理函数为有理 函数. 16. (5 分)若函数 f(x)= 的定义域为 R,则 a 的取值范围是[0,4].
2 2

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 根据函数成立的条件,转化为不等式 ax ﹣3ax+a+5≥0 恒成立,对 a 讨论,即可得 到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)的定义域为 R, 2 则等价为不等式 ax ﹣3ax+a+5≥0 恒成立, 若 a=0,不等式等价为 5>0,满足条件, 若 a≠0,则不等式满足条件 ,

解得 0<a≤4, 综上 0≤a≤4, 即 a 的取值范围是[0,4]. 故答案为:[0,4]. 点评: 本题主要考查函数的定义域的应用, 根据条件转化为不等式恒成立是解决本题的关 键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)设全集 U=R,集合 A={x|x≤﹣2 或 x≥5},B={x|x≤2}.求 (Ⅰ)?U(A∪B) ; (Ⅱ)记?U(A∪B)=D,C={x|2a﹣3≤x≤﹣a},且 C∩D=C,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算 . 专题: 集合. 分析: (Ⅰ)根据题意和并集的运算求出 A∪B,再由补集的运算求出?U(A∪B) ; (Ⅱ)由(Ⅰ)的集合 D,由 C∩D=C 得 C? D,根据子集的定义对 C 分类讨论,分别列出不 等式求出 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知,A={x|x≤﹣2 或 x≥5},B={x|x≤2} 则 A∪B={x|x≤2 或 x≥5}?(2 分) 又全集 U=R,?U(A∪B)={x|2<x<5}?(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 D={x|2<x<5},由 C∩D=C 得 C? D?(5 分) ①当 C=?时,有﹣a<2a﹣3?(6 分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解得 a>1,?(7 分)

②当 C≠?时.有

?(8 分)

解得 a 无解?(9 分) 综上:a 的取值范围为(1,+∞)?(10 分) 点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,以及利用子集的关系求出参数的范围,注意 空集是任何集合的子集. 18. (12 分)用单调性定义证明:函数 f(x)=3x+x 在(﹣∞,+∞)上是增函数(参考公 3 3 2 2 式:a ﹣b =(a﹣b) (a +ab+b ) ) 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ = = = 函数单调性的判断与证明. 函数的性质及应用. 设? x1,x2∈(﹣∞,+∞)且 x1<x2,根据单调性的定义证明即可. 解:设? x1,x2∈(﹣∞,+∞)且 x1<x2,
3

= ∵x1<x2,∴x1﹣x2<0, , ∴ ,



∴f(x1)﹣f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数. 点评: 本题考查了函数的单调性的证明问题,是一道基础题.

19. (12 分)解下列关于 x 的不等式:



考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,将分工不等式转化为一元二次不等式,利用一元二次不等式的解法求解.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:原不等式?(x﹣a ) (x+a)<0,a ﹣(﹣a)=a(a+1) 2 (1)当 a>0 或 a<﹣1 时,解集为(﹣a,a )?(4 分) 2 (2)当﹣1<a<0 时,解集为(a ,﹣a)?(8 分) (3)当 a=﹣1 或 0 时,解集为??(12 分) 点评: 其它不等式的解法, 一般要转化为解法规律已知的形式, 分式不等式的求解转化为 一元二次不等式求解. 20. (12 分)已知二次函数 f(x)满足条件:f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x (Ⅰ)求 f(x) ; (Ⅱ)讨论二次函数 f(x)在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值. 考点: 二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)设 f(x)=ax +bx+1,根据 f(x+1)=f(x)+2x,解得 a,b 的值,即可求出 f(x)的解析式; (2)分情况讨论当 ,
2 2 2



时,分别求出 f(x)的最小值即可.

解答: 解: (1)设 f(x)=ax +bx+1 2 2 根据已知则有 a( x+1) +b(x+1)+1=ax +bx+1+2x 即有 2ax+a+b=2x 解得 a=1,b=﹣1 2 ∴f(x)=x ﹣x+1 (2)解:①当 ∴f(x)min=f(t) ②当 ∴ ③当 时, ,即 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数

点评: 本题主要考察了二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)的值域. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由于 f(x)是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x) ,计算化简即可得到 a=0,进 而得到解析式; (Ⅱ)将函数整理成二次方程,先讨论二次项系数为 0,再考虑不为 0,再由判别式大于 0, 解得即可得到值域. (x∈R)是奇函数.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 又 ,

∴ (Ⅱ)

; ,

当 y=0 时,x=0∴y=0 成立, 当 . 点评: 本题考查函数的性质和运用,考查函数的奇偶性和运用,以及函数的值域的求法: 判别式法,考查运算能力,属于中档题. 22. (12 分)定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足下面三个条件: ①对任意正数 a,b,都有 f(a)+f(b)=f(ab) ; ②当 x>1 时,f(x)<0; ③f(2)=﹣1 (Ⅰ)求 f(1)和 的值; .

(Ⅱ)试用单调性定义证明:函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数; 3 2 (Ⅲ)求满足 f(4x ﹣12x )+2>f(18x)的 x 的取值集合. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)求 f(1) ,f( )的值只需令 x=y=1 代入 f(xy)=f(x)+f(y)即可求得 f(1) ;同理求出 f(9) ,令 x=9,xy=1,代入等式即可求得答案; + (Ⅱ)证明 f(x)在 R 是减函数;取定义域中的任意的 x1,x2,且 0<x1<x2 然后根据关系 式 f(xy)=f(x)+f(y) ,证明 f(x1)>f(x2)即可; 3 2 3 2 (Ⅲ)由(1)的结果可将不等式 f(4x ﹣12x )+2>f(18x)转化成 f(x ﹣3x )>f(18x) , 再根据单调性,列出不等式,解出取值范围即可. 解答: 解: (Ⅰ)令 x=y=1 得 f(1)=f(1)+f(1) ,则 f(1)=0, 而 f(4)=f(2)+f(2)=﹣1﹣1=﹣2, 且 f(4)+f( )=f(1)=0,则 f( )=2; (Ⅱ)取定义域中的任意的 x1,x2,且 0<x1<x2, ∴ >1,

当 x>1 时,f(x)<0,

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∴f(

)<0,

∴f(x2)﹣f(x1)=f(x1?
+

)﹣f(x1)=f(x1)+f(

)﹣f(x1)=f(

)<0,

∴f(x)在 R 上为减函数. (Ⅲ)由条件①及(Ⅰ)的结果得, 3 2 ∵f(4x ﹣12x )+2>f(18x) , ∴f(4x ﹣12x )+f( )>f(18x) , ∴f(x ﹣3x )>f(18x) ,
3 2 3 2



解得 3<x<6, 故 x 的取值集合为(3,6) 点评: 本题主要考查抽象函数的一系列问题. 其中涉及到函数单调性的证明, 函数值的求 解问题,属于综合性问题,涵盖知识点较多,属于中档题.

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