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高数下册期末考试模拟题 (1)

时间:2012-10-24


2011级模拟题1
一、选择题
1 . 设平面曲线 L 为下半圆周 y ? ? 1 ? x ,则
2

曲线积分

? ( x ? y ) ds ?
2 2 L

B
D 、4?

A 、2?

B 、?

C 、3?

2 . 下列级数绝对收敛的是 A
A 、? ( ? 1 )
n?1 ? ? n

1 n
2

B 、? 1 n
?

?

( ? 1) n( ( ? 1)
3 n?1 2

n

n?1

n ? 1)

C 、? ( ? 1 ) sin
n n?1

D 、?

n ?1

n

3 . 曲面 e ? 2 xy ? 3 ? 0 在点 (1,1, 0 )处的切平面方程为
z

C
A 、2 x ? 2 y ? z ? 2 ? 0 B 、 x ? 2 y ? z ? 4 ? 0 C 、2 x ? 2 y ? z ? 4 ? 0 D 、2 x ? y ? z ? 4 ? 0

? sin 2 ( x 2 ? y 2 ) 2 2 , x ? y ?0 ? 2 2 x ? y 4 . 函数 f ( x , y ) ? ? 在点 ( 0 , 0 )处 ? 2 2 2, x ? y ?0 ? D

A、无定义 B、无极限 C、有极限但不连续 D、连续

二、填空题
1 . ( 理工做 )设 ? 是由光滑曲面 ? 所围成的空间闭区域 且体积为 V , 则 ? 外侧的积分

??
?

2V ( z ? y ) dxdy ? ( y ? x ) dxdz ? ______
2 2

(管理做 )若函数 f ( x , y ) ? 2 x ? ax ? xy ? 2 y 在

-5 点 (1 , ? 1 )处取得极值,则常数 a ? ______

2 . 函数 y 1 ? 3 , y 2 ? 3 ? x , y 3 ? 3 ? x ? e 是微分方程
2 2 x

y ?? ? p ( x ) y ? ? q ( x ) y ? f ( x )( 其中 f ( x ) ? 0 , p ( x ), q ( x ) 是连续函数 )的三个特解,

y ? C1 x C 2e ? 3 则方程的通解是 __________ ?________
2 x

3 . 交换二次积分的次序
1 1

I ?

? dy ?
0 y

arcsin x x
2 2 x? 2
2

1

dx ?
2

__________ __________ ____ 0 0
3

?

arcsin x x

x

dx ? dy
2
2 n

4 . 设幂级数

5

x ?
2

10

x ???
3

n ?1

x ??,
n

1/2 其收敛半径 R ? _______

三、求解下列各题
1 . 设 u ? f ( x ? y , xy ), f 具有二阶连续偏导数, ?u ?u ? u 求 , , . ?x ?y ?x?y
2

?u ?x
2

? f 1? ? yf 2?,

?u ?y

? f 1? ? xf 2?,

? u ?x?y

?? ?? ?? ? f 2? ? f 11 ? ( x ? y ) f 12 ? xyf 22 .
2 2

2 . 函数 z ? z ( x , y )由方程 x ? z ? yf ( x ? z )确定, 且偏导数存在,求 z ?z ?x ? y ?z ?y .

x

四、计算下列各题
1 . 计算二重积分

? 2 ? x 2 ? y 2 ? 4?

??

sin
2

x ? y dxdy . ? 6? 2
2 2

2 . ( 理工做 )设空间区域 ? 是由曲面 z ? z?
2 2

x ? y 和
2 2

8 ? x ? y 所围成,用柱面坐标计



三重积分 I ?

??? zdv .
?

8?

(管理做 )求由平面 x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? 1所围成的 柱体被平面 z ? 0 及抛物面 x ? y ? 6 ? z 截得的
2 2

立体的体积 .

17 6

3 . 计算曲线积分

? ( e sin y ? my )dx ? ( e cos y ? m )dy ,
x x L

其中 L 是从点 A ( a , 0 )到 O ( 0 , 0 )的上半圆周 x ? y ? ax ( a ? 0 ).
2 2

1 8

?ma 2

4 . ( 理工做 )计算曲面积分
2 2 2

?? xyzdxdy ,其中 ? 是球面
?

x ? y ? z ? 1外侧在 x ? 0 , y ? 0的部分 .

2 15

4. (管理做 )某工厂要在一年内以相 2400 件产品,产品的单位成 一批产品需要调整机器 中,在制品占用资金的 全年所需费用等于全年 制品占用资金利息的总 能使全年所需费用最少

同批量分批生产

本为 6元,但每生产

费用 160 元。在生产过程 银行年利率为 10 %,若 所需机器调整费用与在 和,问批量多大时,才 ?

n n 五、 求幂级数? 3 x 的收敛域及其和函数 . n ?1

?

1 1 3x 1 1 收敛域: , ), 和函数:s( x ) ? (? , x ? (? , ) 3 3 1 ? 3x 3 3

六、 求微分方程 ?? ? 9 y ? 18 cos 3 x ? 30 sin 3 x的通解. y
y( x ) ? C1 cos 3 x ? C2 sin 3 x ? 5 x cos 3 x ? 3 x sin 3 x

七、 L是沿圆周x 2 ? y 2 ? t 2逆时针方向,证明
lim
t ?0

1 t
2

? (ax ? by )dx ? ( mx ? ny )dy ? ( m ? b)?
L

( a , b, m , n为常数).




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