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2016届高考数学—大题规范解答-全得分系列之(九)圆锥曲线中探索性问题的答题模板


2016 届高考数学—“大题规范解答——得全分”系列之(九) 圆锥曲线中探索性问题的答题模板

圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点,主要以解答题的形式出现,难度较大,一 般作为压轴题. 解决这类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”, 也可先用特殊情 况得到所求值, 再给出一般性的证明. 考查的知识点多, 能力要求高, 尤其是运算变形能力, 同时着重考

查学生的分析问题与解决综合问题的能力。

[典例] (2012 福建高考·满分 13 分)如图,椭圆 E: 2+

x2

y2

a

b2

=1(a>

b>0)的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 e= .过 F1 的直线交椭圆于
2

1

A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8.
(1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点

Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求
出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. [教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息 观察 1 ―→ 椭圆方程及左、右焦点F1,F2,离心率e= ,△ABF2的周长为8 , 条件 2

c 椭圆定义及离心率公式 ―――――――――――――→ △ABF2的周长为4a,e=

a

2.审结论,明解题方向 观察所求结论 ―→ 求椭圆的方程 ―→ 需建立关于a,b,c的方程组求解 3.建联系,找解题突破口

c 1 a2=b2+c2 代入椭圆方程 由条件可得4a=8, = ―――――――→ 可得a=2,b2=3 ―――――――→ a 2 x2 y2

得E的方程 + =1 4 3

1.审条件,挖解题信息 观察 条件 联立方程,消元 ――――――――――→

―→, 直线l与椭圆E相切于点P与直线x=4相交于点Q

得判别式Δ=0 及P,Q的坐标 2.审结论,明解题方向 观察所 证结论
假设M存在 问题转化为

―→ 探索是否存在点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M

―――――→

MP ,· MQ ,=0 恒成立
3.建联系,找解题突破口 由条件分析M的位置并设出它的坐标 x1, 得到关于参数m,k,x1的方程 结论 [教你准确规范解题] (1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,
写出向量 MP , MQ的坐标 ???????? 代入等式 MP · MQ=0
判断是否有解

对任意m,k恒成立 ――――――――――→ 得关于x1的方程组

―――――→

即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, (1 分) 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, (2 分) 所以 4a=8,a=2. 1 c 1 又因为 e= ,即 = ,所以 c=1, 2 a 2 所以 b= (3 分)

a2-c2= 3. x2 y2

故椭圆 E 的方程是 + =1. (4 分) 4 3

y=kx+m, ? ? (2)由?x y + =1, ? ?4 3
2 2

消去 y 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. (5 分)

因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m≠0 且 Δ=0, (6 分) 即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0. 4km 4k 3 此时 x0=- 2 =- ,y0=kx0+m= , 4k +3 m m (*) (7 分)

? 4k 3 ? 所以 P?- , ? ? m m?

分)

由?

? ?x=4, ?y=kx+m, ?

得 Q(4,4k+m).

(9 分)

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. (10 分) 设 M(x1,0),则 MP · MQ =0 对满足(*)式的 m,k 恒成立.

? 4k 3? 因为 MP =?- -x1, ?, MQ =(4-x1,4k+m), ? m
m?
由 MP · MQ =0, 16k 4kx1 12k 2+ 得- + -4x1+x1 +3=0,

m

m

m

整理,得(4x1-4) +x2 1-4x1+3=0.

k

m

(**) (11 分)

由于(**)式对满足(*)式的 m,k 恒成立,

?4x1-4=0, ? 所以? ? 1-4x1+3=0, ?x2

解得 x1=

分)

故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. (13 分) [常见失分探因]

易忽视定义的应用. 忽视圆的对称性,判断不出M必在x轴上.

对于方程

x 1-

k

m

+x2 1-4x1+3=0不会利用对m,k恒成立,求解x1.

————————————[















板]————————————————— 第一步 假设结论成立 ―→ 第二步 以假设为条件,进行推理求解 ―→ 第三步 明确规范结论,若能推出合理结果,经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾,即否定假设 ―→ 第四步

回顾反思解题过程


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