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2014高考专题复习第二讲 数学思想4


第二讲 数学思想 四、转化与化归思想 转化与化归思想的 含义 转化与化归思想在解题中的应用 在三角函数中,涉及到三角式的变形,一般通过转化与化归将 转化与化归思 想方法,就是在研究 和解决有关数学问 题时采用某种手段 将问题通过变换使 之转化,进而解决问 题的一种方法.一般 总是将复杂的问题 通过变换转化为简 单的问题,将难解的 问题通过变换转化 为容易求解的问题, 将未解决的问

题通 过变换转化为已解 决的问题. 6 5 4 3 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交 汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几 何语言进行转化. 在解决数列问题时, 常将一般数列转化为等差数列或等比数列 求解. 在利用导数研究函数问题时, 常将函数的单调性、 极值(最值)、 切线问题,转化为其导函数 f′(x)构成的方程、不等式问题求 解. 在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转 化. 2 1 复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题, 以起到化暗为 明的作用,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形 用)、角度的转化、函数的转化等. 换元法:是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为 简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.

——————————[典例示范]——————— [例 4] (1)(2013· 陕西高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ) B.直角三角形 D.不确定

(2)(2013· 全国大纲卷)已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的 直线与 C 交于 A,B 两点,若 MA · MB =0,则 k=( 1 A. 2 C. 2 B. 2 2

???? ????

)

D.2

[解析] (1)∵bcos C+ccos B b2+a2-c2 c2+a2-b2 =b· +c· 2ab 2ac = = b2+a2-c2+c2+a2-b2 2a 2a2 =a=asin A, 2a

∴sin A=1. π ∵A∈(0,π),∴A= ,即△ABC 是直角三角形. 2 (2)抛物线 C 的焦点为 F(2,0),则直线方程为 y=k(x-2),与抛物线方程联立,消去 y 化 简得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 8 则 x1+x2=4+ 2,x1x2=4. k 8 所以 y1+y2=k(x1+x2)-4k= ,y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-16. k 因为 MA · (x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=x1x2+ MB =(x1+2,y1-2)· 2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0, 将上面各个量代入,化简得 k2-4k+4=0,解得 k=2. [答案] (1)B (2)D

???? ????

[反思· 领悟] (1)利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系. (2)设出 A,B 两点坐标,对 MA · MB =0 用坐标进行运算.实现平面向量语言与代数 语言的转化. ————————————[即时应用]—————————— 4.(1)(2013· 昆明调研)若曲线 f(x)=acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交点(0,m)处有公切 线,则 a+b 等于( A.-1 C.1 ) B.0 D.2

???? ????

解析:选 C 依题意得,f′(x)=-asin x,g′(x)=2x+b,于是有 f′(0)=g′(0),即 -asin 0=2×0+b,b=0,m=f(0)=g(0),即 m=a=1,因此 a+b=1,选 C. (2)(2013· 辽宁五校联考)如图, 在四棱锥 PABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥DC, △PAD 是等边三角形,已知 AD=4,BD=4 3,AB=2CD=8.

①设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; ②当 M 点位于线段 PC 什么位置时?PA∥平面 MBD. 解:①证明:在△ABD 中, ∵AD=4,BD=4 3,AB=8,∴AD2+BD2=AB2. ∴AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD?平面 ABCD, ∴BD⊥平面 PAD. 又 BD?平面 MBD,∴平面 MBD⊥平面 PAD. ②当 M 点位于线段 PC 靠近 C 点的三等分点处时, PA∥平面 MBD. 证明如下:连接 AC,交 BD 于点 N,连接 MN. ∵AB∥DC,∴四边形 ABCD 是梯形. ∵AB=2CD, ∴CN∶NA=1∶2. 又∵CM∶MP=1∶2,∴CN∶NA=CM∶MP, ∴PA∥MN. ∵MN?平面 MBD,∴PA∥平面 MBD.

在练数学思想的同 时,自检一轮复习成果,为二轮复习查找薄弱环节.

1.(2013· 郑州质检)若集合 A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A,则满足条件的实数 x 有( ) B.2 个 D.4 个

A.1 个 C.3 个

解析:选 B ∵A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A, ∴B?A, ∴x2=0 或 x2=2 或 x2=x, 解得 x=0 或 2或- 2或 1.经检验当 x= 2或- 2 时满足题意,故选 B. 2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形,则它的体积为( 8 A. 9 2 C. 9 3 3 B.4 3 D.4 3或 8 3 3 )

解析:选 D 分侧面矩形长、宽分别为 6 和 4 或 4 和 6 两种情况. x2 y2 1 3.(2013· 南昌模拟)双曲线 2- 2=-1(a>0,b>0)与抛物线 y= x2 有一个公共焦点 F, b a 8 2 3 双曲线上过点 F 且垂直实轴的弦长为 ,则双曲线的离心率等于( 3 A.2 3 2 C. 2 2 3 B. 3 D. 3 3 ? ? 3 ,2? )

解析:选 B 双曲线与抛物线 x2=8y 的公共焦点 F 的坐标为(0,2),由题意知点? 在双曲线上, a +b =4, ? ? c 2 3 ∴? 1 得 a2=3,故 e= = ,选 B. 4 a 3 2- 2=-1, ? ? 3b a
2 2

4. (2013· 浙江名校联考)如果正整数 a 的各位数字之和等于 6, 那么称 a 为“好数”(如: 6,24,2 013 等均为“好数”), 将所有“好数”从小到大排成一列 a1, a2, a3, ?, 若 an=2 013, 则 n=( A.50 C.52 ) B.51 D.53

解析:选 B 本题可以把数归为“四位数”(含 0 006 等),因此比 2 013 小的“好数” 为 0×××,1×××,2 004,共三类数,其中第一类可分为:00××,01××,?,0 600, 共 7 类,共有 7+6+?+2+1=28 个数;第二类可分为:10××,11××,?,1 500,共 6 类,共有 6+5+4+3+2+1=21 个数,第三类:2 004,2 013,?,故 2 013 为第 51 个数, 故 n=51,选 B. 5.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,+∞) C.(0,+∞) B.(-2,+∞) D.(-1,+∞) )

1?x 解析:选 D 法一:不等式 2x(x-a)<1 可变形为 x-a<? ?2? .在同一 1?x 平面直角坐标系内作出直线 y=x-a 与 y=? ?2? 的图像.由题意,在(0, +∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a<1,所以 a> -1,选 D 项. 1?x ?1?x 法二:不等式 2x(x-a)<1 可变形为 a>x-? ?2? .记 g(x)=x-?2? (x>0),易知当 x 增大时, 1?x y=x 与 y=-? 故 g(x)为增函数, 又 g(0)=-1, 所以 g(x)∈(-1, +∞). 由 ?2? 的函数值都增大,

题意可知 a>-1. 6.(2013· 南昌模拟)点 P 是底边长为 2 3,高为 2 的正三棱柱表面上的动点,MN 是该 棱柱内切球的一条直径,则 PM · PN 的取值范围是( A.[0,2] C.[0,4] B.[0,3] D.[-2,2]

???? ??? ?

)

解析:选 C 由题意知内切球的半径为 1,设球心为 O,则 PM · PN =( PO +

???? ??? ?

??? ?

???? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ??? ? ( PO + ON )= PO 2+ PO · ( OM + ON )+ OM · OM )· ON =| PO |2-1,且 ???? ??? ? 1≤|OP|≤ 5,∴ PM · PN ∈[0,4].
7.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a 的值为________. 解析:∵A∩B={3},故 a+2=3 或 a2+4=3. 若 a+2=3,则 a=1,检验知,满足题意. 若 a2+4=3,则 a2=-1,不合题意,故 a=1. 答案:1 2x+3y-6≤0, ? ? 8.(2013· 山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+y-2≥0, ? ?y≥0 示的区域上一动点,则|OM|的最小值是________. 解析:作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,因此|OM| 的最小值为点 O 到直线 x+y-2=0 的距离,所以|OM|min= 答案: 2 9.(2013· 郑州质检)过点 M(2,-2p)作抛物线 x2=2py(p>0)的两条 切线,切点分别为 A,B,若线段 AB 的中点的纵坐标为 6,则 p 的值是________. x x1 解析:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),依题意得,y′= ,切线 MA 的方程是 y-y1= (x p p x1 x2 x1 x2 1 1 -x1),即 y= x- .又点 M(2,-2p)位于直线 MA 上,于是有-2p= ×2- ,即 x2 1-4x1 p 2p p 2p
2 2 2 -4p2=0;同理有 x2 2-4x2-4p =0,因此 x1,x2 是方程 x -4x-4p =0 的两根,则 x1+x2 2 2 x2 1+x2 ?x1+x2? -2x1x2 =4,x1x2=-4p2.由线段 AB 的中点的纵坐标是 6 得,y1+y2=12,即 = 2p 2p

所表

|-2| = 2. 2

16+8p2 =12, =12,解得 p=1 或 p=2. 2p 答案:1 或 2 10.设 y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若 t 在[-2,2]上变化时,y 恒取正值,求 x 的取 值范围.

解:设 y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1, 则 f(t)是一次函数,当 t∈[-2,2]时,f(t)>0 恒成立,
?f?-2?>0, ??log2x?2-4log2x+3>0, ? ? 则有? 即? 2 ?f?2?>0, ? ? ??log2x? -1>0,

解得 log2x<-1 或 log2x>3. 1 ∴0<x< 或 x>8, 2 1 0, ?∪(8,+∞). ∴x 的取值范围是? ? 2? 11.(2013· 湖北高考)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2 +a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不 存在,说明理由. 解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.由题意得
?S2-S4=S3-S2, ?-a1q2-a1q3=a1q2, ? ? ? 即? 2 ?a2+a3+a4=-18, ? ? ?a1q?1+q+q ?=-18, ?a1=3, ? 解得? ? ?q=-2.

故数列{an}的通项公式为 an=3×(-2)n 1.


3[1-?-2?n] (2)由(1)有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2 013,则 1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即 2n≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}. 12.(2013· 郑州模拟)已知函数 f(x)=ax+ln x,其中 a 为常数,e 为自然对数的底数. (1)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (2)当 a=-1 时,试推断方程|f(x)|= ln x 1 + 是否有实数解,并说明理由. x 2

解:(1)当 a=-1 时,f(x)=-x+ln x, 1 1-x f′(x)=-1+ = . x x 当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0. ∴f(x)在区间(0,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数. f(x)max=f(1)=-1.

(2)由(1)知当 a=-1 时,f(x)max=f(1)=-1, ∴|f(x)|≥1. 1-ln x ln x 1 令 g(x)= + ,则 g′(x)= ,令 g′(x)=0,得 x=e, x 2 x2 当 0<x<e 时,g′(x)>0,g(x)在区间(0,e)上单调递增; 当 x>e 时,g′(x)<0,g(x)在区间(e,+∞)上单调递减. 1 1 ∴g(x)max=g(e)= + <1,∴g(x)<1. e 2 ∴|f(x)|>g(x)恒成立,即|f(x)|> ∴方程|f(x)|= ln x 1 + 恒成立. x 2

ln x 1 + 没有实数解. x 2


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