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5章三角函数

时间:2013-01-14


第五章 三角函数
【课题】5.1.1 角的概念推广 【教学目标】
知识目标: ⑴ 了解角的概念推广的实际背景意义; ⑵ 理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念. 能力目标: (1)会判断角所在的象限; (2)会求指定范围内与已知角终边相同的角; (3)培养观察能力和计算技能.

【教学重点】
终边相同角的概念.

【教学难点】
终边相同角的表示和确定.

【教学设计】
(1)以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广; (2)在演示——观察——思维探究活动中,使学生认识、理解终边相同的角; (3)在练习——讨论中深化、巩固知识,培养能力; (4)在反思交流中,总结知识,品味学习方法.

【教学备品】
教学课件、学习演示用具(两个硬纸条一个扣钉) .

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】
揭示课题 5.1.1 角的概念推广 创设情景 兴趣导入 问题 1 游乐场的摩天轮,每一个轿厢挂在一个旋臂上,小明与小华两人同时登上摩天轮,旋臂 转过一圈后,小明下了摩天轮,小华继续乘坐一圈.那么,小华走下来时,旋臂转过的角度 是多少呢? 问题 2
1

用活络扳手旋松螺母,当扳手按逆时针方向由 OA 旋转到 OB 位置时,就形成一个 角 ;在扳手由 OA 逆时针旋转一周的过程中,就形成了 0° 360° 到 之间的角;扳手继续 的角.如果用扳手旋紧螺母,就需将扳手按顺时针方向旋转,

旋转下去,就形成大于 形成与上述方向 归纳 的角.

通过上面的三个实例,发现仅用锐角或 0°~360° 范围的角,已经不能反映生产、生活中的 一些实际问题,需要对角的概念进行推广. 动脑思考 探索新知 概念 一条射线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O ,按逆时针(或顺时针)方向旋转到另一 位置 OB 就形成角 ? . 旋转开始位置的射线 OA 叫角 ? 的始边, 终止位置的射线 OB 叫做角 ? 的终边,端点 O 叫做角 ? 的顶点. 规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角(如图(1),按顺时针方向旋转所形成 ) 的角叫做负角(如图(2).当射线没有作任何旋转时,也认为形成了一个角,这个角叫做 ) 零角.

(1) 类型

(2)

经过这样的推广以后,角包含任意大小的正角、负角和零角. 表示 除了使用角的顶点与边的字母表示角,将角记为“∠AOB”或“∠O”外,本章中经常 用小写希腊字母 ? 、 ? 、 ? 、 ? 来表示角. 概念 数学中经常在平面直角坐标系中研究角.将角的顶点与坐标原点重合,角的始边在 x 轴 的正半轴,此时,角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角(或者说这个角在第 几象限) . 如图所示,30° 、390° 、?330° 都是第一象限的角,120° 是第二象限的角,?120° 是第三 象限的角,?60° 、300° 都是第四象限的角.

2

终边在坐标轴上的角叫做界限角(或轴上角) ,例如,0° 、90° 、180° 、270° 、360° 、?90° 、 -180° 、?270° 角等都是界限角. 运用知识 强化练习 在直角坐标系中分别作出下列各角,并指出它们是第几象限的角: ⑴ 60° ; ⑵ ?210° ; ⑶ 225° ; ⑷ ?300° . 动手操作 实验观察 用图钉联结两根硬纸条, 将其中一根固定在 OA 的位置, 将另一根先转动到 OB 的位置, 然后再按照顺时针方向或逆时针方向转动,观察木条重复转到 OB 的位置时所形成角的特 征. 问题引导 实践探究 问题 在直角坐标系中作出 390° 、?330° 30° 和 角,这些角的终边有何关系? 探究 390° =30° 360° ; ?330° +1× =30° +(-1)× 360° . 即 390° ?330° 30° 、 与 角之差都是 360° 角的整数倍数, 它们是射线绕坐标原点旋转到 30° 角的终边位置后,分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角. 推广 与 30° 角终边相同的角还有: 750° =30° 360° +2× ; 1110° =30° 360° +3× ; …… -690° =30° +(-2)× 360° ; -1050° =30° +(-3)× 360° ; ……

所有与 30° 角终边相同的角的度数之差都恰好为 360° 的整数倍数.它们(包括 30° 角) 都可以表示为 30° k ? 360° k ? Z) 的形式. + ( 因此,与 30° 角终边相同的角的集合为 S ? { ? ︱ ? ? 30? ? k ? 360? , k ? Z } . 动脑思考 探索新知 一般地,与角 ? 终边相同的角(包括角 ? 在内) ,都可以表示为 ? ? k ? 360? (k ? Z) 的 形式. 与角 ? 终边相同的角有无限多个,它们所组成的集合为

3

. S ? { ? ︱ ? ? ? ? k ? 360? , k ? Z } 巩固知识 典型例题 例 1 写出与下列各角终边相同的角的集合, 并把其中在?360° ~720° 内的角写出来: 60° ⑴ ; ⑵ ?114°26′. 分析 首先要写出与已知角终边相同的角的集合 S ,然后选取整数 k 的值,使得 ? ? k ? 360? 在指定的范围内. 解 ⑴ 与 60° 角终边相同的角的集合是 { ? ︱ ? ? 60? ? k ? 360? , k ? Z } .
? ? 当 k ? ?1 时, 60? ? (? 1) ? 360 ? ? 300 ; 当 k ? 0 时, 60? ? 0 ? 360? ? 60? ;当 k ? 1 时,

~720° 之间与 60° 角终边相同的角为 ?300? 、 60? 和 420? . 60? ? 1? 360? ? 420? .所以在?360° ⑵ 与?114°26′角终边相同的角的集合是 . S ? { ? ︱ ? ? ?114? 26? ? k ? 360? , k ? Z } 当 k ? 0 时, ?114? 26? ? 0 ? 360? ? ?114? 26? ; 当 k ? 1 时, ?114? 26? ? 1? 360? ? 245?34? ; 当 k ? 2 时, ?114? 26? ? 2 ? 360? ? 605?34? . 所以在?360° ~720° 之间与 ?114? 26? 角终边相同的角为 ?114? 26? 、 245?34? 和 605?34? . 例 2 写出终边在 y 轴上的角的集合. 分析 在 0° ~360° 范围内,终边在 y 轴正半轴上的角为 90° ,终边在 y 轴负半轴上的角为

270° ,因此,终边在 y 轴正半轴、负半轴上所有的角分别是
k ? 360? ? 90? ? 2k ?180? ? 90? ,

k ? 360? ? 270? ? (2k ? 1) ?180? ? 90? ,

其中 k ? Z .⑴式等号右边表示 180° 的偶数倍再加上 90° ;(2)式等号右边表示 180° 的奇数倍 再加上 90° ,可以将它们合并为 180° 的整数倍再加上 90° . 解 终边在 y 轴上的角的集合是 . S ? { ? ︱ ? ? n ? 180? ? 90? , n ? Z } 当 n 取偶数时,角的终边在 y 轴正半轴上;当 n 取奇数时,角的终边在 y 轴负半轴上. 运用知识 强化练习
4

1. 在 0° ~360° 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限的角: ⑴ 405° ; ⑵ ? 165° ; ⑶ 1563° ; ⑷ ? 5421° .

2. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把其中在?360° ~360° 范围内的角写出来: ⑴ 45° ; ⑵ ?55° ; 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容? 重点和难点各是什么? 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.1.1; (2)课后练习: ⑶ ?220°45′; ⑷ 1330° .

P87 学中做 1;

(3)实践调查: 生活中角的概念的推广实例.

【课题】5.1.2 弧度制 【教学目标】
知识目标: ⑴ 理解弧度制的概念; ⑵ 理解角度制与弧度制的换算关系. 能力目标: (1)会进行角度制与弧度制的换算; (2)会利用计算器进行角度制与弧度制的换算; (3)培养学生的计算技能与计算工具使用技能.

【教学重点】
弧度制的概念,弧度与角度的换算.

【教学难点】
弧度制的概念.

【教学设计】
(1)由问题引入弧度制的概念; (2)通过观察——探究,明晰弧度制与角度制的换算关系; (3)在练习——讨论中,深化、巩固知识,培养计算技能;
5

(4)在操作——实践中,培养计算工具使用技能; (5)结合实例了解知识的应用.

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】
揭示课题 5.1.2 弧度制 回顾知识 复习导入 问题 角是如何度量的?角的单位是什么? 解决 将圆周的
1 圆弧所对的圆心角叫做 1 度角,记作 1° . 360

1 度等于 60 分(1°=60′) 分等于 60 秒(1′=60″) ,1 . 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制. 扩展 计算:23°35′26″+31°40′43″ 角度制下,计算两个角的加、减运算时,经常会带来单位换算上的麻烦.能否重新设计角的 单位制,使两角的加、减运算象 10 进位制数的加、减运算那样简单呢? 动脑思考 探索新知 概念 将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,记作 1 弧度或 1rad.以弧度为单 位来度量角的单位制叫做弧度制.

若 圆 的 半 径 为 r , 圆 心 角 ∠ AOB 所 对 的 圆 弧 长 为 2r , 那 么 ∠ AOB 的 大 小 就 是
2r 弧度 ? 2弧度 . r

规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 分析
l 由定义知道,角 ? 的弧度数的绝对值等于圆弧长 l 与半径 r 的比,即 ? ? (rad) . r

6

半径为 r 的圆的周长为 2π r ,故周角的弧度数为 2πr (rad) ? 2π(rad) . r 由此得到两种单位制之间的换算关系:360° 2π a ,即 180° π r . = r = a d d 换算公式 1° π a 04r ? = r 15 d .7a ( d )
180



180 1rad ? ( )? ? 57.3? ? 57?18? . π

说明 1.用弧度制表示角的大小时,在不至于产生误解的情况下,通常可以省略单位“弧度” 或“rad”的书写.例如,1 rad,2rad,
π π rad,可以分别写作 1,2, . 2 2

2.采用弧度制以后,每一个角都对应唯一的一个实数;反之,每一个实数都对应唯一 的一个角.于是,在角的集合与实数集之间,建立起了一一对应的关系. 巩固知识 典型例题 例 1 把下列各角度换算为弧度(精确到 0.001): ⑴ 15° ; ⑵ 8°30′; ⑶?100° . .
180

分析 角度制换算为弧度制利用公式 1° π a 04r ? = r) 15 d .7a ( d 解 ⑴ 15? ? 15 ? π ? π ? 0.262 ;
180 12

⑵ 8?30? ? 8.5? ? 8.5 ? π ? 17π ? 0.148 ;
180 360

⑶ ?100? ? ?100 ? π ? ? 5π ? ?1.745 .
180 9

例 2 把下列各弧度换算为角度(精确到 1′) : ⑴
3π ; 5

⑵ 2.1;

⑶ ?3.5.

分析 弧度制换算角度制利用公式 1rad ? (180 )? ? 57.3? ? 57?18? .
π

解 ⑴ 3π ? 3π ? 180? ? 108?;
5 5 π

⑵ 2.1 ? 2.1? 180? ? 378? ? 120?19? ;
π π

⑶ ?3.5 ? ?3.5 ?

180? 630? ?? ? ?200?32? . π π

下表是一些常用的特殊角的度数与弧度数的对应表


00

30 0

45 0

60 0

90 0

180 0

270 0

360 0

弧度

0

? 6

? 4

? 3

? 2

?

3? 2

2?

度与弧度的换算,还可以利用计算器进行.
7

在弧度制下,所有与角 ? 终边相同的角(连同角 ? )构成的集合 可以相应地写成

S ? ?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ? .

例 3 将下列各角化成0到2?的角?加上2k? (k ? Z )的形式: ⑴ 解 ⑴ ⑵
19? ; ⑵ ? 315 0 . 3 19? ? ? ; ? ? 6? ( ? ? ,k ? 3 ) 3 3 3 ? 315 0 ? 45 0 ? 360 0 ?

?

4

? 2? ( ? ?

?

4

. , k ? ?1 )

运用知识 强化练习 1. 把下列各角从角度化为弧度(口答) : 180° ? 60° ? ; 90° ? ; 30° ? ; 45° ? ; 120° ? ; 15° ? ; 270° ? ; .

2. 把下列各角从弧度化为角度(口答) :
π?
2π 3



π 2

?
π 3



π 4 π 6

? ?

; ;

π 8

? ?

; .

?



?



π 12

3. 把下列各角从角度化为弧度: ⑴ 75° ; ⑵?240° ; ⑶ 105° ; ⑷ 67°30′.

4. 把下列各角从弧度化为角度: ⑴
π ; 15



2π ; 5

⑶ ?

4π ; 3

⑷ ?6π .

5.教材 P89 学中做 2 第 1~3 题. 自我探索 使用工具 准备计算器. 观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书, 小组完成计算器弧度与角度转换的方法.

弧长公式
l 由公式 ? ? , 可以得到l ? ? r,这就是说,弧长等于该弧所对的圆心角的 r 弧度数与半径的积,由公式l ? ? r求弧长时比采用角度制时的相应公式 n?r ? ? ?l ? ?要简单. 180 ? ?

8

例 4 已知一个圆的半径为 60 ㎝,求 16 014 / 的圆心角所对的弧长(精确到 1 ㎝) . 解:因为 ? ? 16 14 ? 16. 23333 ? 0. 01745 ? 0. 28327 ,r ? 60?cm?,
0 /

所以

l ? ? r ? 0.28327 ? 60 ? 17 ?cm?.

答:所求弧长约为 17cm.

讨论 设扇形所在的圆的半径是 r,扇形的弧长是 l ,你能用弧度制导出 扇形的面积公式吗?(扇形的面积公式为 S= lr ) .
巩固知识 典型例题 例 5 某机械采用带传动, 由发动机的主动轴带着工作机的从动轮转动. 设主动轮 A 的直径 为 100 mm,从动轮 B 的直径为 280 mm.问:主动轮 A 旋转 360°,从动轮 B 旋转的角是 多少?(精确到 1′) 解 主动轮 A 旋转 360°就是一周, 所以,传动带转过的长度为π ×100 = 100π (mm) .
l 再考虑从动轮, 传动带紧贴着从动轮 B 转过 100π (mm)的长度, 那么, 应用公式 ? ? , r

1 2

从动轮 B 转过的角就等于
100? 5 ? ? ? 128?34' . 140 7 5 答 从动轮旋转 π ,用角度表示约为 128°34′. 7

例 6 如下图,求公路弯道部分 AB 的长 l (精确到 0.1m.图中长度单位:m) . 分析 知道圆心角和半径,求弧长时,要首先将圆心角换算为弧度制. 解 60° 角换算为
π 弧度, 因此 3
π 2 5 ? 45 ? 3 . 1 4 ? 1? 3

l? ? R?

(m) 47.1.



弯道部分 AB 的长 l 约为 47.1 m.

运用知识 强化练习 1.填空: ⑴ 若扇形的半径为 10cm,圆心角为 60° ,则该扇形的弧长 l ? ,扇形面积

S?

. m.

⑵ 已知 1° 的圆心角所对的弧长为 1m,那么这个圆的半径是

9

2.自行车行进时,车轮在 1min 内转过了 96 圈.若车轮的半径为 0.33m,则自行车 1 小时 前进了多少米(精确到 1m)? 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.1.2; (2)课后练习:

P89 学中做 2 及 P90 习题 5-1;

(3)作业:练习册 P26 练习一《角的概念的推广 弧度制》 .

【课题】5.2 任意角的三角函数 【教学目标】
知识目标: ⑴ 理解任意角的三角函数的定义及定义域; ⑵ 理解三角函数在各象限的正负号; ⑶ 掌握界限角的三角函数值. 能力目标: ⑴ 会利用定义求任意角的三角函数值; ⑵ 会判断任意角三角函数的正负号; ⑶ 培养学生的观察能力.

【教学重点】
⑴ 任意角的三角函数的概念; ⑵ 三角函数在各象限的符号; ⑶ 特殊角的三角函数值.

【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定.

【教学设计】
(1)在知识回顾中推广得到新知识;
10

(2)数形结合探求三角函数的定义域; (3)利用定义认识各象限角三角函数的正负号; (4)数形结合认识界限角(轴上角)的三角函数值; (5)问题引领,师生互动.在问题的思考和交流中,提升能力.

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】
揭示课题 5.2 任意角的三角函数 构建问题 探寻解决 问题 在 Rt?ABC 中,
sin ? ?

、 cos? ? y

、 tan ? ?



B c A a C

P(x,y) (B) r y x

?

b

?
O (A) x

M(C) c o 拓展 s 将 Rt?ABC 放在直角坐标系中, 使得点 A 与坐标原点重合, 边在 x 轴的正半轴上. 三 ? AC 角函数的定义可以写作 、 cos? ? 、 tan ? ? sin ? ? 动脑思考 探索新知(任意角三角函数的定义) 概念 . =
横坐标 x ? P到原点的距离 r

, P(x,y) r M O

y

设 ? 是任意大小的角,点 P( x, y) 为角 ? 的终边上的任意一点 ( 2 (不与原点重合) ,点 P 到原点的距离为 r ? x 2 ? y 2 ,那么 ) 角 ? 的正弦、余弦、正切分别定义为 : ( a y x y sin ? ? ; cos ? ? ; tan ? ? . (分组讨论缘由) )

?

x

r

r

x

说明
11

在比值存在的情况下,对角 ? 的每一个确定的值,按照相应的对应关系,角 ? 的正弦、 余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应,它们都是以角 ? 为自变量的函数,分别叫做 正弦函数、余弦函数、正切函数,统称为三角函数. 由定义可以看出:当角 ? 的终边在 y 轴上时,? ? 坐标 x 的值都等于 0,此时 tan ? ? 都有意义. 概念 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示: 三角函数 定义域 R R
π { ? ︱ ? ? kπ ? , k ? Z } 2
π ? kπ (k ? Z) ,终边上任意一点的横 2

y 无意义.除此以外,对于每一个确定的角 ? ,三个函数 x

sin ?

cos?
tan ?

当角 ? 采用弧度制时,角 ? 的取值集合与实数集 R 之间具有一一对应的关系,所以三 角函数是以实数 ? 为自变量的函数. 巩固知识 典型例题 例 1 已知角 ? 的终边经过点 P?? 4,3? ,求角 ? 的各三角函数值. 分析 已知角 ? 终边上一点 P 的坐标,求角 ? 的某个三角函数值时,首先要根据关系式
r ? x 2 ? y 2 ,求出点 P 到坐标原点的距离 r ,然后根据三角函数定义进行计算.



因为,x ? ?4,y ? 3,所以,r ?

?? 4?2 ? 3 2

? 5,因此

sin ? ?

y 3 x ?4 4 y 3 3 ? , cos? ? ? ? ? , tan? ? ? ?? . r 5 r 5 5 x ?4 4

根据三角函数的定义,终边相同的角的同名三角函数的值相等, 因此,我们有
sin ? ? k ? 360 0 ? sin ? , ?k ? Z ?,
0 0

? ? cos?? ? k ? 360 ? ? cos? , ?k ? Z ?, tan?? ? k ? 360 ? ? tan? , ?k ? Z ?.

s i ?? ? 2k? ? ? s i ? , ?k ? Z ?, n n



c o ?? ? 2k? ? ? c o ? , ?k ? Z ?, s s t a ?? ? 2k? ? ? t a ? , ?k ? Z ?. n n

利用上述公式, 可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 00 到 3600 之间的角的三角函数值.

12

例 2 求下列三角函数值: ⑴ sin 420 ;
0

⑵ cos? ?

? 5? ? ?; ? 3 ?
0



tan ? 690 0 .

?

?



⑴ sin 420 ? sin 60 ? 360
0 0

?

? ? sin 60

0

?

3 ; 2

⑵ cos? ?

? 1 ? 5? ? ?? ? ? ? cos? ? 2? ? ? cos ? ; 3 2 ? 3 ? ?3 ?
0

⑶ tan ? 690

?

? ? tan?30

0

? 720 0 ? tan 30 0 ?

?

3 . 3

运用知识 强化练习 1、P93 学中做 3 及 P94 学中做 4; 2、已知角 ? 的终边上的点 P 的坐标如下,分别求出角 ? 的正弦、余弦、正切值: ⑴ P ? 3, ?4 ? ; ⑵ P ? ?1, 2 ? ; ⑶ P? 1 ,? 3 ? . ? ? ? ?
?2 2 ?

动脑思考 探索新知(各象限角的三角函数值的符号) 由于 r ? 0 ,所以任意角三角函数的正、负号由终边上点 P 的坐标来确定. 当 角 ? 的 终 边 在 第 一 象 限 时 , 点 P 在 第 一 象 限 , x ? 0, y ? 0 , 所 以 ,

sin ? ? 0,cos? ? 0, tan ? ? 0 ;
当 角 ? 的 终 边 在 第 二 象 限 时 , 点 P 在 第 二 象 限 , x ? 0, y ? 0 , 所 以 ,

sin ? ? 0,cos? ? 0, tan ? ? 0 ;
当 角 ? 的 终 边 在 第 三 象 限 时 , 点 P 在 第 三 象 限 , x ? 0, y ? 0 , 所 以 ,

sin ? ? 0,cos? ? 0, tan ? ? 0 ;
当 角 ? 的 终 边 在 第 四 象 限 时 , 点 P 在 第 四 象 限 , x ? 0, y ? 0 , 所 以 ,

sin ? ? 0,cos? ? 0, tan ? ? 0 .
归纳 任意角的三角函数值的正负号如下图所示. y y y

? ?
sin?

? ?

x

? ?
°

? ?
cos?

x

? ?

? ?
tan?

x

口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦。 巩固知识 典型例题 例 3 确定下列三角函数值的符号:
13

(1)sin280? ;

(2)cos440? ; (3)tan(-572.5? . )

分析 判断任意角三角函数值的正负号时,首先要判断出角所在的象限. 解 (1)因为 280? 是第四象限角,所以,sin280?<0. (2)因为 440? 是第一象限角,所以,cos440? >0. (3)因为-572.5? 是第二象限角,所以,tan(-572.5? <0. ) 例 4 根据条件 sin ? >0且 tan ? <0,试确定 ? 是第几象限的角. 解 因为 sin ? >0,所以 ? 是第一象限的角或第二象限的角,或 ? 的终边落在 y 轴的非负 半轴上; 又因为 tan ? <0,所以 ? 是第二或第四象限角. 因为,要使 sin ? >0与 tan ? <0同时成立,所以, ? 只能是第二象限的角. 运用知识 强化练习 1.P95 学中做 5 第 1~3 题. 2.判断下列角的各三角函数值的正负号: (1)525?(2)-235 ?(3) ; ;
19? 3? ; (4) ? . 4 6

动脑思考 探索新知(终边与坐标轴重合的特殊角---“轴上角”的三角函数值) 探究 由 于 零 角 的 终 边 与 x 轴 的 正 半 轴 重 合 , 所 以 对 于 角 终 边 上 的 任 意 点 P( x, y) 都 有
x ? r, y ? 0 .因此,利用三角函数的定义,有 sin 0 ?
0 r 0 ? 0 , cos 0 ? ? 1 , tan 0 ? ? 0 . r r r

同样还可以求得 归纳

? 3? 、 ? 、 、 2? 等三角函数值. 2 2

0
sin ?

? 2

?
0 ?1 0

3? 2

2?

0 1 0

1 0 不存在

?1 0 不存在

0 1 0

cos?

tan ?
巩固知识 典型例题 例 5 计算下列各式: ⑴ sin? ?

? 11? ? ? ? 4 cos 0 ? tan 3? ; ? 2 ?

⑵ 5cos180? ? 3sin 90? ? 2 tan 0? ? 6sin 270?

分析 这类问题需要首先计算出轴上角的三角函数值,然后再进行代数运算.

14



⑴原式= sin?

?? ? ? 6? ? ? 4 cos 0 ? tan?? ? 2? ? ?2 ?

= sin

?
2

? 4 cos 0 ? tan ? ? 1 ? 4 ? 1 ? 0 ? 5.

⑵原式= 5 ? (?1) ? 3 ?1 ? 2 ? 0 ? 6 ? (?1) ? ?2 . 运用知识 强化练习 1.P97 学中做 6 第 1~3 题. 2.计算: 5sin 90? ? 2cos0? ? 3 tan180? ? cos180? .
? ? 1 ? 3? 3.计算: cos ? tan ? tan 2 ? sin ? cos ? . 2 4 3 3 2 归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.2; (2)课后练习:

P98 习题 5-2;

(3)课后作业: 练习册 P27 练习二《任意角的三角函数》 .

【课题】5.3 同角三角函数的基本关系式 【教学目标】
知识目标: 理解同角的三角函数基本关系式. 能力目标: ⑴ 已知一个三角函数值,会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值; ⑵ 会利用同角三角函数的基本关系式求三角式的值.

【教学重点】
同角的三角函数基本关系式的应用.

【教学难点】
应用平方关系求正弦或余弦值时,正负号的确定.

【教学设计】
15

(1)由实际问题引入知识,认识学习的必要性; (2)认识数形结合的工具——单位圆; (3)借助于单位圆,探究同角三角函数基本关系式; (4)在练习——讨论中深化、巩固知识,培养能力; (5)拓展应用,提升计算技能.

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】
揭示课题 5.3 同角三角函数的基本关系式 构建问题 探寻解决 问题 通常用坡度来表示斜坡的斜度, 其数值往往是坡角 (斜坡与水平面所成的角) 的正切值. 设 坡角为 ? , 如果 tan ? ? 0.8 ,小明沿着斜坡走了 10 m,想知道升高了多少米,就需要求出 坡角 ? 的正弦值.这就需要研究同角三角函数之间的关系. 解决 设角 ? 的终边与单位圆的交点为 P( x, y) ,如图(1)所示, 那么 sin ? ?
y ?y, 1 cos ? ? x ?x. 1

即角 ? 的正弦值等于它的终边与单位圆交点 P 的纵坐标;角 ? 的余弦值等于它的终边 与单位圆交点 P 的横坐标.因此,角 ? 的终边与单位圆的交点 P 的坐标为 (cos ? ,sin ? ) ,如 图所示.

(1)

(2)

观察单位圆(如图(2):由于角 ? 的终边与单位圆的交点为 P(cos ? ,sin ? ) ,根据三角函数 ) 的定义和勾股定理,可以得到 tan ? ? 动脑思考 探索新知
16

y sin ? , sin 2 ? ? cos2 ? ? r 2 ? 1 . ? x cos ?

概念 同角三角函数的基本关系式:
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? ?

sin ? . cos ?

说明 前面的公式显示了同角的正弦函数与余弦函数之间的平方关系, 后面的公式显示了同角的三 个函数之间的商数关系,利用它们可以由一个已知的三角函数值,求出其他各三角函数值, 还可以对三角函数式进行化简和证明. 巩固知识 典型例题 例 1 已知 sin ? ?

3 ,且 ? 是第二象限的角, 求 角?的其他三角函数值. 5

分析 知道正弦函数值,可以利用平方关系,求出余弦函数值;然后利用商数关系,求出正 切函数值. 解 由 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,可得 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? . 又因为 ? 是第二象限的角,故 cos? ? 0 .

4 ?3? 所以 cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ; 5 ?5?
2

2

3 s in ? 3 tan ? ? ? 5 ?? . 4 co? s 4 ? 5
注意:利用平方关系 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 求三角函数值时,需要进行开方运算,所以必须要明 确 ? 所在的象限. 本例中给出了 ? 为第二象限的角的条件, 如果没有这个条件, 就需要对 ? 进行讨论. 例 2已知 tan? ? ?

5 ,.求?的其他三角函数值. 12

解:由tan ? ?

sin ? 及 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1, 得 cos? sin 2 ? 1 ? cos2 ? 1 tan 2 ? ? ? ? ? 1, 2 2 cos ? cos ? cos2 ?

于是

cos2 ? ?

1 ? 1 ? tan 2 ?

1 ? 5? 1? ?? ? ? 12 ?
2

?

144 . 169

从而

17

cos? ? ?

144 12 ?? . 169 13

因为 tan? ? ?

5 ? 0, 所以?是第二或第四象限角. 12

如果 ?是第二象限角,则

cos? ? ?

12 , 13
12 ? 5 ? 5 ??? ? ? ; 13 ? 12 ? 13

sin ? ? cos? ? tan ? ? ?

如果 ?是第四象限角,则 cos? ?

12 5 , sin ? ? ? . 13 13

例 3 化简: 1 ? sin 2 110 0 .
2 0 2 0 0 0 解: 1 ? sin 110 = cos 110 ? cos110 ? ? cos110 .

例 4 已知 tan ? ? 2 ,求

sin ? ? cos? 的值. sin ? ? cos?

分析 利用已知条件求三角式的值的问题的基本方法有两种: 一种是 将所求三角函数式用已知量 tan ? 来表示;另一种是由 tan ? ? 2 得到
sin? ? 2 cos ,代入所求三角函数式进行化简求值. ?

解法 1 由已知 tan? ? 2知 cos? ? 0, 所以
sin ? ? cos? sin ? ? cos? tan? ? 1 2 ? 1 cos? ? ? ? ? 3. sin ? ? cos? tan? ? 1 2 ? 1 sin ? ? cos? cos?

解法 2 由已知 tan? ? 2得

sin ? ? 2,即sin ? ? 2 cos? , 所以 cos?

sin ? ? cos? 2 cos? ? cos? 3 cos? ? ? ? 3. sin ? ? cos? 2 cos? ? cos? cos?

例 5 求证:

sin ? 1 ? cos? ? . 1 ? cos? sin ?

证法 1 因为
左边 ? sin ? ?1 ? cos? ? sin ? ?1 ? cos? ? sin ? ?1 ? cos? ? 1 ? cos? ? ? ? ? 右边, ?1 ? cos? ??1 ? cos? ? sin ? 1 ? cos2 ? sin 2 ?

18

所以, 证法 2 因为

sin ? 1 ? cos? (或“所以,原等式成立.) ” ? . 1 ? cos? sin ?

?1 ? cos? ??1 ? cos? ? ? 1 ? cos2 ? ? sin 2 ? sin ? 右边 ? ? sin ? ?1 ? cos? ? sin ? ?1 ? cos? ? sin ? ?1 ? cos? ? 1 ? cos?
所以,原等式成立. 证法 3 因为
sin ? 左边 1 ? cos? sin 2 ? ? ? ? 1, 右边 1 ? cos? 1 ? cos2 ? sin ?

? 左边,

所以,原等式成立. 证法 4 因为
左边 ? 右边 ? sin ? 1 ? cos? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ? ? ? 0, ?1 ? cos? ?sin ? 1 ? cos? sin ?

?

?

所以,原等式成立. 证法5(综合法)因为

?1 ? c o? ??1 ? c o? ? ? 1 ? c s s

o2 ? ? s i2 ? , s n

两边同除以sin ? ?1 ? cos? ?,得

sin ? 1 ? cos? ? , 1 ? cos? sin ?

所以,原等式成立. 说明:从上面的例子可以看出,证明三角恒等式时,可以从任何一边 开始,证明它等于另一边;还可以证明左右两边的商等于 1 或证明左 右两边的差等于 0;也可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证 明的等式成立.
巩固知识 典型例题 例 6 已知 tan ? ? 2 ,求
3sin ? ? 4cos ? 的值. 2sin ? ? cos ?

解法 1 由 tan ? ? 2 知 cos? ? 0 ,所以

3sin ? ? 4cos ? 3tan ? ? 4 6 ? 4 10 ? ? ? . 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 4 ? 1 3

19

解法 2 由已知 tan ? ? 2 得 所以

sin ? ? 2 ,即 sin ? ? 2cos? , cos ?

3sin ? ? 4cos ? 3(2cos ? ) ? 4cos ? 10cos ? 10 = ? ? . 2(2cos ? ) ? cos ? 3cos ? 3 2sin ? ? cos ?

例 7 已知 ? 为第一象限角,化简

1 cos 2 ?

?1 .

分析 化简三角式一般是利用三角公式或化简代数式的方法进行. 解 因为 ? 为第一象限角,故 tan ? >0 ,所以 原式=
1 ? cos 2 ? cos ?
2

?

sin 2 ? cos ?
2

? tan 2 ? ? tan ? .

运用知识 强化练习 1.教材P101 学中做 9 第 1~3 题及教材P102 学中做 10 第 1~3 题; 2.已知 cos ? ?
1 ,且 ? 是第四象限的角, 求 sin ? 和 tan ? . 2

3 3.已知 sin ? ? ? ,且 ? 是第三象限的角, 求 cos? 和 tan ? . 5

4.已知 tan ? ? 5 ,求 归纳小结 强化思想

sin ? ? 4cos ? 的值. 2sin ? ? 3cos ?

本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.3; (2)课后练习: 教材 P102 习题 5-3. (3)作业:练习册 P28 练习三《同角三角函数的基本关系式》 .

【课题】5.4 诱导公式 【教学目标】
知识目标: 了解 “ ? ? k ? 360? ”“ ?? ”“ 2? ? ? ”“ ? ? ? ”的诱导公式. 、 、 、 能力目标:
20

(1)会利用简化公式将求任意角的三角函数的问题转化为求锐角的三角函数; (2)会利用计算器求任意角的三角函数值; (3)培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力.

【教学重点】
诱导公式.

【教学难点】
诱导公式的应用.

【教学设计】
(1)利用单位圆数形结合的探究诱导公式; (2)通过应用与师生互动,巩固知识; (3)通过计算器的使用,体会数字时代科技的进步; (4)提升思维能力,以诱导公式为载体,渗透化同的数学思想.

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】
揭示课题 5.4诱导公式 构建问题 探寻解决 问题 30? 角与 390? 角是终边相同的角, sin 30? 与 sin 390? 之间具有什么关系? 解决 由于 30? 角与 390? 角的终边相同,根据任意角三角函数的定义可以得到 sin 30? = sin 390? . 推广 在单位圆中,由于角 ? 的终边与单位圆的交点为 P(cos ? ,sin ? ) ,当终边旋转 k ? 360? (k ? Z) 时,点 P(cos ? ,sin ? ) 又回到原来的位置,所以其各三角函数值并不发生变化. 动脑思考 探索新知 概念 终边相同的角的同名三角函数值相同. 即当 k ? Z 时,有

21

s i n ( π ? ? ) ? s i? k2 n c o s ( π ? ? ) ? c o? k2 s t a n ( π ? ? ) ? t a? k2 n

sin(k ? 360? ? ? ) ? sin ? cos(k ? 360? ? ? ) ? cos ? tan(k ? 360? ? ? ) ? tan ?

说明 利用公式,可以把任意角的三角函数转化为 0° ~360° 范围内的角的三角函数. 巩固知识 典型例题 例 1 求下列各三角函数值: (1) cos
9? ; 4

(2) sin 780? ;

(3) tan(?

11? ). 6

分析 将任意角的三角函数转化为 [0, 2?] 内的角的三角函数. 解 (1) cos
9? ? ? 2 ; ? cos(2? ? ) ? cos ? 4 4 4 2 3 ; 2

(2) sin 780? ? sin(2 ? 360? ? 60? ) ? sin 60? ? (3) tan(?

11? ?? ? 3 ? ) ? tan ?(?1) ? 2? ? ? ? tan ? . 6 6? 6 3 ?

运用知识 强化练习 求下列各三角函数值: (1) cos
7? ; 3

(2) sin 750? .

构建问题 探寻解决 问题 30? 角与?30? 角的终边关于 x 轴对称, sin 30? 与 sin( ?30? ) 之间具有什么关系? 解决 点 P 与点 P? 的横坐标相同,纵坐标互为相反数.由此得到 推广 设单位圆与任意角 ? , ?? 的终边分别相交于点 P 和点 P? ,则点 P 与点 P? 关于 x 轴对 称. 如果点 P 的坐标是 (cos ? ,sin ? ) , 那么点 P? 的坐标是 (cos? , ? sin ? ) . 由于点 P? 作为角 ?? 的终边与单位圆的交点,其坐标应该是 (cos(?? ),sin(?? )) .于是得到
cos(?? ) ? cos ? , sin(?? ) ? ? sin ? .
sin 30? = ? sin( ?30? ) .

由同角三角函数的关系式知
tan(?? ) ? sin(?? ) ? sin ? ? ? ? tan ? . cos(?? ) cos ?

动脑思考 探索新知 概念
22

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan(?? ) ? ? tan ?
利用这组公式,可以把负角的三角函数转化为正角的三角函数. 巩固知识 典型例题 例 2 求下列三角函数值: (1) sin(?60? ) ; 解 (2) cos(?
19? ); 3

(3) tan(?30? ) .

(1) sin(?60? ) ? ? sin 60? ? ? (2) cos(?

3 ; 2

19? 19? ? ? 1 ) ? cos ? cos( ? 6?) ? cos ? ; 3 3 3 3 2

(3) tan( ?30? ) ? ? tan 30? ? ? 运用知识 强化练习

3 . 3

1、教材 P104 学中做 11 第 1~3 题; 2、求下列各三角函数值:
? (1) tan(? ) ; 6

(2) sin(?390? ) ;

(3) cos(?

8? ). 3

构建问题 探寻解决 问题 30? 角与 210? 角的终边关于坐标原点对称, sin 30? 与 sin 210? 之间具有什么关系? 解决 观察图形,点 P 与点 P? 关于坐标原点中心对称,它们的横坐标与纵坐标都互为相反 数.由此得到 sin 30? = ? sin 210? . 推广 设单位圆与任意角 ? 、 π + ? 的终边分别相交于点 P 和点 P? ,则点 P 和 P? 关于原点中 心对称.如果点 P 的坐标是 (cos ? ,sin ? ) ,那么点 P? 的坐标应该是 (? cos ? , ? sin ? ) .又由于点

P? 作为角 ? ? ? 的终边与单位圆的交点,其坐标应该是 (cos(? ? ?),sin(? ? ?)) .由此得到
cos(? ? ? ) ? ? cos ? , sin(? ? ? ) ? ? sin ? .

由同角三角函数的关系式知
tan(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? ? tan ? . cos(? ? ? ) ? cos ?

设单位圆与角 ? , π + ? , π ? ? 的终边分别相交于 P, P?, P?? 三点,点 P? 与点 P?? 关于 x 轴对

23

称.它们的横坐标相同,纵坐标互为相反数.由此得到
cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? , sin(? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? .

由同角三角函数的关系式知
tan(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin ? ? ? ? tan ? . cos(? ? ? ) ? cos ?

动脑思考 探索新知 概念
sin(π + ? ) ? ? sin ? cos(π + ? ) ? ? cos ? tan(π + ? ) ? tan ? sin π ? ?) sin ? ( ? cos π ? ?) ? cos ? ( ? tan π ? ?) ? tan ? ( ?

说明 以上公式统称为诱导公式(或简化公式) .这些公式的正负号可以用口诀:“函数名不变,符 号看象限, 角函数. 巩固知识 典型例题 例 3 求下列各三角函数值: (1) cos
9? ; 4

? 当锐角看”来记忆.利用它们可以把求任意角的三角函数转化为求锐角的三

(2) tan

8? ; (3) cos870? ; 3

(4) sin 690? .

分析 求任意角三角函数值的一般步骤是,首先将其转化为绝对值小于 2π 的角的三角函数, 然后将其转化为锐角三角函数值,最后求出这个锐角的三角函数值. 解 (1) cos (2) tan
9? ? ? 2 ; ? cos(2? ? ) ? cos ? 4 4 4 2

8? ?? ?? ? ? ? tan(2? ? ) ? tan( ) ? tan(? ? ) ? ? tan ? ? 3 ; 3 3 3 3 3

(3) cos930? ? cos(2 ? 360? ? 210? ) ? cos 210?
? cos(180? ? 30? ) ? ? cos(?30? ) ? ? cos30? ? ? 3 ; 2

1 (4) sin 690? ? sin(2 ? 360? ? 30?) ? sin(?30? ) ? ? sin 30? ? ? . 2

运用知识 强化练习 1. 求下列各三角函数值: (1) tan 225? ; (2) sin660? ; (3) cos 495? ; (4) tan
11π 17π 7π ; (5) sin ; (6) cos(? ) . 6 3 3

2.教材 P106 学中做 12 第 1~3 题及教材P107 学中做 13第 1~3 题.

24

自我探索 使用工具 准备计算器, 观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书, 小组完成计算器计算三角函数 值的方法. 利用计算器,求下列三角函数值(精确到 0.0001): (1) sin(?
5? 3? (2) tan 227.6? ; (3) cos ; ); 7 5

(4) tan 4.5 ; (5) cos 27? 22?11?? ; (6) sin(?2008? ) . 2. 利用计算器,求下列三角函数值(精确到 0.0001): (1) sin
3? 3? ; (2) tan 432?26?? ; (3) cos( ? ) ; 7 5

(4) tan6.3 ; (5) cos527? ; 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容? 重点和难点各是什么? 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.4; (2)课后练习: 教材P107 习题 5-4;

(6) sin(?2009? ) .

(3)作业: 练习册 P29 练习四《诱导公式》.

【课题】 5.5正弦函数的图象和性质 【教学目标】
知识目标: (1) 理解正弦函数的图象和性质; (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法. 能力目标: (1) 认识周期现象,以正弦函数为载体,理解周期函数; (2) 会用“五点法”作出正弦函数; (3) 通过对照学习研究,使学生体验类比的方法,从而培养数学思维能力.
25

【教学重点】
(1)正弦函数的图象及性质; (2)用“五点法”作出函数 y=sinx 在 ? 0, 2π ? 上的简图.

【教学难点】
周期性的理解.

【教学设计】
(1)结合生活实例,认识周期现象,介绍周期函数; (2)利用诱导公式,认识正弦函数的周期; (3)利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图象; (4)观察图象认识有界函数,认识正弦函数的性质.

【教学备品】
课件,多媒体,三角板,常规教具.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】
揭示课题 5.5 正弦函数的图象和性质 创设情景 兴趣导入 问题 观察钟表, 如果当前的时间是 2 点, 那么时针走过 12 个小时后, 显示的时间是多少呢? 再经过 12 个小时后,显示的时间是多少呢? ? ? . 解决 每间隔 12 小时,当前时间 2 点重复出现. 推广 类似这样的周期现象还有哪些? 动脑思考 探索新知 概念 对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个不为零的常数 T ,当 x 取定义域 D 内的每一个值时, 都有 x ? T ? D ,并且等式 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立, 那么, 函数 y ? f ( x) 叫做周期函数, 常数 T 叫 做这个函数的一个周期. 由 于 正 弦 函 数 的 定 义 域 是 实 数 集 R , 对 ? ?R , 恒 有 ? ? 2kπ ? R(k ? Z) , 并 且

? 因此正弦函数是周期函数, 并且 2π ,4π , 6π , 及 ?2π , 4π , sin(? ? 2kπ)=sin? (k ? Z) , ? ? 都是它的周期.
26

通常把周期中最小的正数叫做最小正周期,简称周期,仍用 T 表示.今后我们所研究的函 数周期,都是指最小正周期.因此,正弦函数的周期是 2? . 构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为 2? 的区间(如 ? 0, 2?? , ? ?2?,0? , ? 2?, 4?? )上,正弦函数 的图象相同,可以通过平移 ? 0, 2?? 上的图象得到.因此,重点研究正弦函数在一个周期内, 即在 ? 0, 2?? 上的图象. 问题 用“描点法”作函数 y ? sin x 在 ? 0, 2?? 上的图象. 解决 把区间 ? 0, 2?? 分成 12 等份, 并且分别求得函数 y ? sin x 在各分点及区间端点的函数值, 列表如下: (见教材 P108) 以 表 中 的 x, y 值 为 坐 标 , 描 出 点 ( x ,y ), 用 光 滑 曲 线 依 次 联 结 各 点 , 得 到

y ? s i n 在? 0 ??上 的图象. x ,2 (见教材 P108)
推广 将 函 数 y ? sin x 在 ? 0, 2?? 上 的 图 象 向 左 或 向 右 平 移 2? , 4? , ? , 就 得 到

y ? sin x在(-?, ??)上 的图象,这个图象叫做正弦曲线. (见教材 P108)
动脑思考 探索新知 概念 正弦曲线夹在两条直线 y ? ?1 和 y ? 1 之间,即对任意的角 x ,都有 sin x ? 1 成立,函 数的这种性质叫做有界性. 一般地,设函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 上有定义,如果存在一个正数 M,对任意的

x ? (a, b) 都有 f ( x) ? M ,那么函数 y ? f (x) 叫做区间 (a, b) 内的有界函数.如果这样的
M 不存在,则函数 y ? f (x) 叫做区间 (a, b) 上的无界函数. 显然,正弦函数是 R 内的有界函数. 归纳 正弦函数 y ? sin x 的定义域是实数集 R .具有下面的性质: (1)是 R 内的有界函数,其值域为
x?? ? ? 2 k ?( k ?Z ) 时, y min ? ?1 . ?

?? 1,1? .当 x ? ? ? 2k ?( k ?Z ) 时,
2

y max ? 1 ;当

(2)是周期为 2π 的周期函数.
27

(3)是奇函数.
? ? (4) 在每一个区间 (? ? 2k ?, ? 2k ?? ( k ?Z )上都是增函数,其函数值由?1 增大到 1; 在每 2 2 ? 3? 一个区间 ( ? 2k ?, ? 2k ?? ( k ?Z )上都是减函数,其函数值由 1 减小到?1. 2 2

动脑思考 探索新知 观察发现,正弦函数 y ? sin x 在 ? 0, 2?? 上的图象中有五个关键点:
(0,0) ,
?? ? ? ,1? , ?2 ?

? ?, 0 ? ,

? 3? ? ? , ?1? , ? 2 ?

? 2?,0 ? .

描出这五个点后, 正弦函数 y ? sin x , 在? 0, 2π ? 上 的图象的形状就基本上确定了. 因此, 在精确度要求不高时,经常首先描出这关键的五个点,然后用光滑的曲线把它们联结起来, 从而得到正弦函数在 ?0, 2π ? 上的简图.这种作图方法叫做“五点法” . 巩固知识 典型例题 例 1 利用“五点法”作函数 y ? 1? sin x 在 ?0, 2π ? 上的图象. 分析 y ? sin x 图象中的五个关键点的横坐标分别是 0,
? ?? , ? , , ?? ,这里要求出函 2 2

数 y ? 1? sin x 的五个相应的函数值,从而得到五个点的坐标,最后用光滑的曲线联结这五 个点,即得到函数 y ? 1? sin x 在 ?0, 2π ? 上的图象. 解 列表

x
sin x
y ? 1? sin x

0 0 1

π 2

π

3π 2



1 2

0 1

?1 0

0 1

以表中每组对应的 x,y 值为坐标,描出点 ( x, y ) ,用光滑的曲线顺次联结各点,得到函 数 y ? 1? sin x 在 ?0, 2π ? 上的图象.

28

例 2 已知 sin x ? a ? 4 , 求 a 的取值范围. 解 因为 sin x ≤ 1 ,所以 a ? 4 ≤ 1 ,即

? 1 ? a ? 4 ? 1,
解得

3 ? a ? 5.

故 a 的取值范围是 [3,5] . 例 3 求使函数 y ? sin 2 x 取得最大值的 x 的集合,并指出最大值是多少. 分析 将 2x 看作正弦函数中的自变量,因此需要进行变量替换. 解 设 u ? 2x ,则使函数 y ? sin u 取得最大值 1 的集合是
? π ? ?u u ? ? 2kπ, k ? Z ? , 2 ? ?

由 得

2x ? u ?
x?

π ? 2kπ , 2

π ? kπ . 4

? π ? 故所求集合为 ? x x ? ? kπ, k ? Z ? ,函数 y ? sin 2 x 的最大值是1 . 4 ? ?

例 4 讨论函数 y ? sin x 在下列区间上的单调性:
7? 9? ⑴ ? , ?; ? ? ? 2 2 ?

7? 5? ⑵ ? ? ,? ? . ? ? ? 2 2?



⑴因为

7? ? 9? ? ? ? ? 4?, ? ? 4? , 2 2 2 2
7? 9? ? , ? 上是增函数. ? 2 2 ?

所以 y ? sin x 在 ? ? ⑵因为 ?

7? ? 5? 3? ? ? 4? ,? ? ? 4? , 2 2 2 2
7? 5? ? ,? ? 上是减函数. 2? ? 2

所以 y ? sin x 在 ?? ?

例 5 利用正弦函数的单调性,判断下列各式的正负: ⑴ 解

? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ;⑵ ? 18 ? ? 10 ?
?
2 ? ?

sin

7? 5? . ? sin 8 8

⑴因为 ?

?
10

? ?

?
18

?

?

? ? ?? , 且函数y ? s i nx在?? , ? 上 是 增 函 2 ? 2 2?

29

数,所以
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin? ? ? ? sin? ? ?,即sin? ? ? ? sin? ? ? ? 0. ? 10 ? ? 18 ? ? 18 ? ? 10 ?

⑵因为
sin

?
2

?

5? 7? ?? ? ? ? ?,且y ? sin x在? ,? ?上是减函数,所以 8 8 ?2 ?

5? 7? 7? 5? ? sin ,即sin ? sin ? 0. 8 8 8 8

运用知识 强化练习 1.利用“五点法”作函数 y ? ? sin x 在 ? 0, 2π ? 上的图象. 2.利用“五点法”作函数 y ? 2 sin x 在 ? 0, 2π ? 上的图象. 3.已知 sin ? ? 3 ? a , 求 a 的取值范围. 4.求使函数 y ? ?5 sin 4 x 取得最大值的 x 的集合,并指出最大值是多少? 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.5; (2)课堂练习: 教材 P110 学中做 14、P111 学中做 15 及 P112 学中做 16; (3)课后练习:教材

P113 习题 5-5;

(4)作业.练习册 P30 练习五《正弦函数中的图象和性质》

【课题】 5.6 余弦函数的图象和性质 【教学目标】
知识目标: (1) 理解余弦函数的图象和性质; (2) 理解用“五点法”画余弦函数的简图的方法. 能力目标: (1) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图; (2) 通过对照学习研究,使学生体验类比的方法,从而培养数学思维能力.

30

【教学重点】
(1)余弦函数的图象和性质; (2)用“五点法”作出函数 y=cosx 在 ? 0, 2π ? 上的简图.

【教学难点】
余弦函数的图象和性质.

【教学设计】
(1)利用诱导公式,认识余弦函数的周期; (2)利用“描点法”及“周期性”作出余弦函数图象; (3)观察图象认识有界函数,认识余弦函数的性质.

【教学备品】
课件,多媒体,三角板,常规教具.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】
揭示课题 5.6 余弦函数的图象和性质 构建问题 探寻解决 余弦函数的定义域是 R . 由于对 x ?R 恒有 x ? 2kπ ? R(k ? Z) 并且 cos( x ? 2kπ) ? cos x , 可知余弦函数是周期函数,其周期是 2π . 问题 用“描点法”作出余弦函数 y ? cos x 在 ? 0, 2π ? 上的图象. 解决 把区间 ? 0, 2π ? 分成 12 等份,并且分别求得函数 y ? cos x 在各分点及区间端点的函数 值,列表(见教材 P113) . 以 表 中 的 x, y 值 为 坐 标 , 描 出 点 ( x, y ) , 用 光 滑 曲 线 顺 次 联 结 各 点 , 得 到 函 数

y ? cos x在?0, 2π?上 的图象(见教材 P113) .
推广

2 将 函 数 y ? c o sx在? 0, π?上 的 图 象 向 左 或 向 右 平 移 2π , 4π , ? , , 就 得 到 余 弦 函 数
.这个图象叫做余弦曲线. y ? cos x在(- ?, ??)上 的图象(见教材 P114) 动脑思考 探索新知 归纳

31

余弦函数 y ? cos x( x ?R) 的定义域是实数集 R,余弦函数有如下性质: ⑴ 是有界函数, 其值域为 ? ?1,1? . x ? 2kπ(k ?Z) 时, y max ? 1 ; x ? ( k ? π (k ?Z) 当 当 2 1 ) 时, ymin ? ?1 . ⑵ 是周期为 2π 的函数. ⑶ 是偶函数. ⑷ 在 区 间 ( ( 2 ? 1) kπ) (k ?Z) 内 是 增 函 数 , 函 数 值 从 ? 1 增 加 到 1 ; 在 区 间 k π,2 (奇→偶为增;偶→奇为减) (2kπ,(2k ? 1)π) (k ?Z) 内是减函数,函数值从 1 减少到 ? 1. 巩固知识 典型例题 例 1 用“五点法”作出函数 y ? ? cos x 在 ? 0, 2π ? 上的图象. 分析 y ? cos x 图象中的五个关键点的横坐标分别是 0,
? ?? ,?, , ?? ,这里要求出 2 2

y ? ? cos x 在这五个关键点上的相应函数值,从而得到五个点的坐标,最后用光滑的曲线
联结这五个点,得到图象. 解 列表

x cos x
y ? ? cos x

0
1 ?1

π 2

π
?1 1

3π 2



0 0

0 0

1 ?1

以表中的 x, y 值为坐标,描出点 ( x, y ) ,然后用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数

y ? ? cos x 在 ?0, 2π ? 上 的图象

运用知识 强化练习 教材 P113《学中做 18》

32

1、在给定的坐标系中作出 y ? ? cos x ? 1, x ? ? 0, 2π ? 的简图. 2、 y ? ? cos x ? 1的最大值是 ,最小值是 .

例 2 讨论y ? cos x在下列区间上的单调性:

⑴ ?4?, ? ; 5? 解:⑴ y ? cosx在?4?, ?上是减函数. 5?

⑵ ?? 5?, 4? ? . ?

⑵ y ? cos x在?? 5?, 4? ?上是增函数 . ? 例 3 利用余弦函数的单调性,比较下列各组函数值的大小: ⑴ cos 与 cos
8

?

?
10 ?


?
8

⑵ cos

13? 15? . 与 cos 8 8

解:⑴ 因为 0 ?
cos

?
10

? ?,且y ? cos x在?0,? ?上是减函数,所以

? cos . 10 8 13? 15? ? ? 2? , 且y ? cos x在??, ?上是增函数,所以 2? 8 8

?

?

⑵ 因为 ? ?
cos

13? 15? ? cos . 8 8

归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.6; (2)课后练习:教材 P116《学中做

19》及教材 P117 习题 5-6;

(3)课后作业: 练习册 P31 练习六《余弦函数的图象和性质》 .

33

【课题】5.7 已知三角函数值求角 【教学目标】
知识目标: (1)掌握利用计算器求角度的方法; (2)了解已知三角函数值,求指定范围内的角的方法. 能力目标: (1)会利用计算器求角; (2)已知三角函数值会求指定范围内的角; (3)培养使用计算工具的技能.

【教学重点】
已知三角函数值,利用计算器求角; 利用诱导公式求出指定范围内的角.

【教学难点】
已知三角函数值,利用计算器求指定范围内的角.

【教学设计】
(1)精讲已知正弦值求角作为学习突破口; (2)将余弦、正切的情况作类比让学生小组讨论,独立认知学习; (3)在练习——讨论中深化、巩固知识,培养能力; (4)在反思交流中,总结知识,品味学习方法.

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】
揭示课题

5.7 已知三角函数值求角
构建问题 探寻解决 问题 已知一个角,利用计算器可以求出它的三角函数值, 利用计算器(在 RAD 状态) ,求 sin
3? = 7

(精确到 0.0001):

反过来,已知一个角的三角函数值,如何求出相应的角? 解决
34

准备计算器. 观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书. 小组内总结学习已知三角 函数值,利用计算器求出相应的角的方法. 利用计算器(在 DEG 状态)求出 x: sin x ? ?0.78 ,则 x= 归纳 计算器的标准设定中,已知正弦函数值,只能显示出?90° ~90° (或 ? 动脑思考 探索新知 概念 5.7.1 反正弦

π π , )之间的角. 2 2

例题引入 例 1 已知sin x ?
1 ? ? ?? , 且x ? ?? , ?, 求角x. 2 ? 2 2?

? ? ?? ? ? ?? 解:因为 正弦函数y ? sin x在?? , ?上是增函数,所以在区间?? , ?上满足 ? 2 2? ? 2 2?

sin x ?
的角x有且只有一个,而 sin 因此,所求角 x ?

1 2 ? 1 2

?
6

?
6



一般地,由于正弦函数 y=sinx 在 ?? , ? 上是增函数,因此, ? 2 2? ? ?
1? 对于给定的实数 a ? ?? 1, ,在 ?? , ? 上满足 sin x ? a 的角 x 有且只有一 ? 2 2? ? ?

? ?

? ?

个,我们把这个角 x 叫做实数 a 的反正弦,记作 arcsin a ,即

x ? arcsin a.
上题的结果可表示为 x ? arcsin ,即arcsin ? .
6 1 2 1 2

?

由反正弦的定义可知, arcsin a ? ?? , ? ,且 ? 2 2? ? ?

? ?

sin(arcsina) ? a ( a ? 1).

35

? ? ?? 例 2 已知 sin x ? 0.4, 且x ? ?? , ?, 求角x(保留四位小数). ? 2 2?

解: x ? arcsin 0.4. 可以利用计算器求出 arcsin 0.4 的值,按键操作如下:
2ndF sin

0.4

=

显示 0.411516846(弧度),或

2ndF

sin

0.4

=

显示 23.57817848(度).

因此,所求角x ? 0.4115 (rad ), 或x ? 23.5782 0.

例 3 ⑴ 已知 sin x ? ⑵ 已知 sin x ?

2 , 且x ? ?0,2? ?, 求角x的值; 2 2 , 且x ? R, 求角x的取值集合. 2 2 与y ? sin x, x ? ?0,2? ?的图象 2

分析 观察正弦函数图象知,直线 y ?

? ?? ?? ? 交于两点,也就是说,区间?0, ?内的角x1与? ,? ?内的角x 2的正弦 ? 2? ?2 ? 函数值都是 2 . 2

解:⑴ 因为 sin

?
4

?

2 ? ? ?? , ? 0, , 2 4 ? 2? ? ?

sin

3? ?? ? 2 3? ? ? ? ? ? sin? ? ? ? ? sin ? , ? ,? , 4 4? 4 2 4 ?2 ? ? ? ?

2? 内符合条件的角x有且只有两个,即 所以, 在区间?0, ?

? 3? 第一象限角 、第二象限角 ,用集合表示为 4 4
?? 3? ? ? , ?, ?4 4 ?
? 2 2? 也可以写成?arcsin , ? ? arcsin ?. 2 2 ? ?

⑵ 由正弦函数的周期性知,所求的角x的集合是
36

? ? ? 3? ? 2k? , k ? Z ?. ? x x ? ? 2k?或x ? 4 4 ? ?

附:已知正弦函数值,求指定范围内的角的主要步骤是:
(1) 利用计算器求出?90° ~90° (或 ?

π π , )范围内的角; 2 2 π 3π )范围内的角; , 2 2

(2) 利用诱导公式 sin(180? ? ? )=sin? 求出 90° 270° ~ (或

(3) 利用诱导公式 sin(? ? k ? 360?) ? sin ? ,求出指定范围内的角. 巩固知识 典型例题 例 4 已知 sin x ? 0.4 ,利用计算器求 0° ~360° 范围内的角 x(精确到 0.01° . ) 分析 由于 sin x ? 0.4 ? 0 ,所以角 x 在第一或第二象限,即所求的角为锐角或钝角.按照所 介绍的步骤,可以求出锐角,再利用公式 sin(180? ? ? ) ? sin ? ,求出对应的钝角. 解 按步骤计算,得到所求的锐角为 x1=23.58° . 利用 sin(180? ? ? ) ? sin ? ,得到所求的钝角为

x2 ? 180? ? 23.58° =156.42° .
故 0° ~360° 范围内,正弦值为 0.4 的角为 23.58° 156.42° 和 . 例 5 已知 sin x ? ?0.4 ,求区间 [0, 2π] 中的角 x(精确到 0.0001) . 分析 由于 sin x ? ?0.4 ? 0,所以角 x 在第三或第四象限.按照所介绍的步骤,可以求出
π π [? , ] 内的角,利用公式 sin(2π ? ? ) ? sin ? 和 sin(2π ? ? )=sin? 分别求出指定区间的角. 2 2 π π 解 按步骤计算,得到 [? , ] 内的角为 x ? ?0.4115 . 2 2
π 3π 利用 sin(π ? ? )=sin? ,得到 [ , ] 中的角为 2 2
x1 ?

? ?(?0.4115) ? 3.5531 ;
3π ,2π] 中的角为 2

利用 sin(2π ? ? )=sin? 得到 [

x2 ? 2? ? ? ???????? ? 5.8717 .
所以区间 [0, 2π] 中,正弦值为?0.4 的角为 3.5531 和 5.8717. 运用知识 强化练习 1.教材 P119

学中做 20.

( 2.已知 sin x ? 0.2601 ,求 0° 360° 或0~2π) 范围内的角 x (精确到 0.01° . ~ )

( 3.已知 sin x ? ?0.4632 ,求 0° 360° 或0~2π) 范围内的角 x (精确到 0.01° . ~ )

37

构建问题 探寻解决 问题 已知一个角,利用计算器可以求出它的三角函数值, 利用计算器,求 cos( ?
3? )= 5

(精确到 0.0001).

反过来,已知一个角的三角函数值,如何求出相应的角? 解决 准备计算器. 观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书, 小组内总结学习已知三角 函数值,利用计算器求出相应的角的方法. 利用计算器求出 x: cos x ? 0.32 ,则 x= 归纳 .

( 计算器的标准设定中,已知余弦函数值,只能显示出 0° 180° 或0~π) 之间的角. ~
动脑思考 探索新知 概念

5.7.2 反余弦 例 1 已知 cos x ? , 且x ? ?0, ? ?, 求角x.
1 2

解: 因为余弦函数y ? cos x在?0, ? ?上是减函数,所以在区间?0, ? ?上符合条件
cos x ?
的角x有且只有一个,而

1 2

cos

?
3

?

1 , 2

因此,所求角
x?

?
3



一般地,由于余弦函数 y ? cos x 在 ?0, ? ? 上是减函数,因此对于给 定的 实数a ? ?? 1,1?,在区间 ?0, ? ?上满足

cos x ? a
的角 x 叫做 实数a的 反余弦,记作 arccosa ,即 x ? arccosa. 例如,例 6 的结果可以表示为 x ? arccos , 即 arccos ? .
3
38

1 2

1 2

?

由反余弦的定义可知, arccosa ? ?0, ? ? ,且
cos(arccoaa) ? a ( a ? 1 ) .

例 2 ⑴已知 cos x ? ?0.7660 , 且x ? ?0, ? ?,求角x. ⑵已知 cos x ? ?0.7660 , 且x ? ?0,2? ?,求角x的取值集合. ⑶已知 cos x ? ?0.7660 , 且x ? R,求角x的取值集合. 解:⑴因为 ? 0.7660 ? ?? 1,1?,x ? ?0, ? ?,所以,x ? arccos(?0.7660 ). 类似地,用计算器可求出 arccos(?0.7660 )的值,按键操作如下:
2ndf cos

-0.766

=

显示 2.443391814(弧度),或

2ndf

cos

-0.766

=

显示 139.9960387(度).



x ? 2.4434 (rad ),或x ? 140 0.

⑵ 因为cos x ? ?0.7660 ? 0,所以x是第二或第三象限角,由于
函数y ? cos x在?0,? ?和?0, ?上都是单调的,因此在这两个区间 2? 上都有且只有一个符合条件的角,又因为

cos?arccos(?0.7660 )? ? ?0.7660 ,

且2? ? arccos(?0.7660 ) ? ??, ? 2? .

cos?2? ? arccos(?0.7660 )? ? cos?arccos(?0.7660 )? ? ?0.7660 ,

因此,所求的角x的集合是?arccos(?0.7660 ), ? arccos(?0.7660 )? 2? .

⑶由余弦函数的周期性知,所求的角x的集合是

?x x ? ? a r c c o 0s.7( 6 6)0? 2k? , k ? Z ?. ?
附:已知余弦函数值,求指定范围内的角的主要步骤是:
( (1) 利用计算器求出 0° ~180° 或0~π) 范围内的角;
(2) 利用诱导公式 cos( ?? ) ? cos ? 求出?180° (或- π~0) 范围内的角; ~0° (3) 利用公式 cos(? ? k ? 360?) ? cos ? ,求出指定范围内的角. 巩固知识 典型例题 已知 cos x ? 0.4 ,求?180° ~180° 范围内的角 x(精确到 0.01° . )

39

分析 因为 cos x ? 0.4 ? 0 ,所以角 x 在第一或四象限.利用计算器按照介绍的步骤,可以求 出 0° 180° ~ 之间的角.利用诱导公式 cos( ?? ) ? cos ? ,可以求出知在?180° 0° ~ 内的角. 解 按步骤计算,得到在 0° ~180° 范围中的角为 x = 66.42° . 利用 cos( ?? ) ? cos ? ,得到-180° 范围内的角为 x ? ?66.42° ~0° . 因此在?180° ~180° 范围内余弦值为 0.4 的角为 ?66.42? . 运用知识 强化练习 已知 cos x ? 0.2261 ,求区间 [0,2π] 内的角 x (精确到 0.01) . 构建问题 探寻解决 问题 已知一个角,利用计算器可以求出它的三角函数值, 利用计算器,求 tan 432?26?? = (精确到 0.0001).

反过来,已知一个角的三角函数值,如何求出相应的角? 解决 准备计算器. 观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书, 小组内总结学习已知三角 函数值,利用计算器求相应的角的方法. 利用计算器求出 x: tan x ? 1.43 ,则 x= 归纳 计算器的标准设定中,已知正切函数值,只能显示出?90° 90° ~ (或 ? 动脑思考 探索新知 概念 .

π π , )之间的角. 2 2

5.7.3 反正切
? ? 例 1 已知 tan x ? 1,x ? ? ? , ?, 求角x. ? ?
? 2 2? ?

解: 因为正切函数y ? tan x在? ? , ?内是增函数,所以,在区间? ? , ? ? ? ? ?
2 2? ? 2 2?

? ?

? ?

内满足 tan x ? 1的角 x 有且只有一个,而 tan

?
4

? 1,因此,所求角x ?

?
4



一般地,由于正切函数 y ? tan x 在 ? ? , ? 内是增函数,因此,对 ? ?
? 2 2?

? ?

? ? 于给定的 实数a ? (??,??) ,在区间 ? ? , ? 上满足 tan x ? a 的角 x 叫做 ? ?
? 2 2?
实数a的反正切 ,记作 arctan a ,即 x ? arctana.
40

例如,上例的结果可表示为 x ? arctan1,即arctan1 ? .
4

?

由反正切的定义可知, arctan a ? ? ? , ?, 且 ? ?
? 2 2?

? ?

tan(arctana) ? a (?? ? a ? ??).
? ? 例 2 ⑴已知 tan x ? 5, 且x ? ? ? , ?, 求角x. ? ?
? 2 2?

⑵已知 tan x ? 5, 且x ?R, 求角x的取值集合.
? ? 解:⑴因为5 ? ? ?, ?),x ? ? ? , ?, 所以, x ? arctan5. ( ? ? ?
? 2 2?

类似地,用计算器可求出 arctan5 的值,按键操作如下:
2ndf tan

5 5

=

显示 1.373400767(弧度) ,或 显示 78.69006753(度).

2ndf

tan

=



x ? 1.3734 (rad ), 或x ? 78 0 41/ .

⑵ 由正切函数的周期性可知,所求的角 x 的集合是

?x x ? arctan5 ? k? , k ? Z ?.
附:已知正切函数值,求指定范围内的角的主要步骤是:
(1)利用计算器求出?90° ~90° (或 ?

π π , )范围内的角; 2 2

(2)利用公式 tan(180? ? ? ) ? tan ? ,求出 90°~270°(或

π 3π , )的角; 2 2

(3)利用公式 tan(? ? k ? 360?) ? tan ? ,求出指定范围内的角. 巩固知识 典型例题 已知 tan x ? 0.4 ,求 0° ~360° 范围内的角 x(精确到 0.01° . ) 分析 因为 tan x ? 0.4 ? 0 ,所以角 x 在第一或三象限.利用计算器可以求出锐角,再利用周 期性可以求得 180° ~270° 范围中的角. 解 按步骤计算,得到所求的锐角为 x=21.80° . 利用周期性得到相应第三象限的角为
? ? x2 ? 1 8 0 ? 2 1 . =201.80° 80 .

所以在 0° ~360° 范围内,正切值为 0.4 的角为 21.80° 201.80° 和 .
41

运用知识 强化练习 已知 tan x ? ?0.4 ,求区间 [0,2π] 内的角 x (精确到 0.01) . 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容? 重点和难点各是什么? 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.7.3; (2)课后练习:教材 P122 习题 5-7; (3)课后作业: 练习册 P32 练习七《已知三角函数值求角》及 P33~35《自测题五》 .

42


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