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第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性

时间:2015-10-15


第3讲 函数的奇偶性与周期性
最新考纲 1 . 结合具体函数,了解函数奇偶性的含义; 2. 会

运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性; 3. 了解函数周期 性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

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考点突破

课堂总结

知识梳理

1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任 偶函数 意一个x,都有___________ f(-x)=f(x) , 那么函数f(x)是偶函数 图象特点

关于____ y轴 对称

如果对于函数f(x)的定义域内任
奇函数 意一个x,都有____________ f(-x)=-f(x), 关于____ 原点对称 那么函数f(x)是奇函数
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.奇(偶)函数的性质 相同 ,偶函数 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____ 在关于原点对称的区间上的单调性 _____( 相反 填“相同”、 “相反”).

(2)在公共定义域内 奇函数 ,两个奇函数的积函数是 ①两个奇函数的和函数是_______
偶函数 . _______

偶函数 . ②两个偶函数的和函数、积函数是_______
奇函数 . ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是_______

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3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=____ f(x) ,那么

就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ________

最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. ____

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诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数. 精彩 PPT 展示 ( ×)

(2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. (× ) (3)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x= a 对称. (√ )

(4)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期 为 2a(a>0)的周期函数.
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(√ )
课堂总结

2.(2014· 广东卷)下列函数为奇函数的是 1 A.y=2 - x 2
x

(

)

B.y=x3sin x D.y=x2+2x

C.y=2cos x+1
解析
x

1 易知y=2 - 2x 是奇函数,y=x3sin x和y=2cos x+1

是偶函数,y=x2+2x是非奇非偶函数,故选A.
答案 A

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3.(2014·新课标全国 Ⅰ卷) 设函数f(x),g(x) 的定义域都为 R,
且 f(x) 是奇函数, g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 )

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解析

依题意得对任意 x∈R ,都有 f( - x) =- f(x) , g( - x) =

g(x) ,因此,f( -x)g(-x) =-f(x)g(x) =-[f(x)· g(x)],f(x)g(x) 是
奇函数,A错;|f(-x)|· g(-x)=|-f(x)|· g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x) 是偶函数, B 错; f( - x)|g( - x)| =- f(x)|g(x)| =- [f(x)|g(x)|] ,

f(x)|g(x)| 是 奇 函 数 , C 正 确 ; |f( - x)· g( - x)| = | - f(x)g(x)| =
|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D错. 答案 C

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4 .已知 f(x) 在 R 上是奇函数,且满足 f(x + 4) = f(x) ,当 x∈(0,2) 时,f(x)=2x2,则f(2 015)等于 A.-2 C.-98 B.2 D.98 ( )

解析 ∵f(x+4)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的周期函数, ∴f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1). 又f(x)为奇函数, ∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,

即f(2 015)=-2.
答案 A
基础诊断 考点突破 课堂总结

5 . ( 人教 A 必修 1P39A6 改编 ) 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函

数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则x<0时,f(x)=________.
解析 当x<0时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x). 又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),

∴f(x)=x(1-x).
答案 x(1-x)

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考点一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ x2+1); (2)f(x)=(1-x) 1+x ; 1-x

2 ? ?-x +2x+1 ?x>0?, (3)f(x)=? 2 ? ?x +2x-1 ?x<0?;

4-x2 (4)f(x)= . |x+3|-3
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(1)∵ x2+1>|x|≥0,

∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=(-x)lg(-x+ ?-x?2+1) =-xlg( x2+1-x) =xlg( x2+1+x)=f(x). 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.

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1+x (2)当且仅当 ≥0时函数有意义, 1-x ∴-1≤x<1, 由于定义域关于原点不对称, ∴函数f(x)是非奇非偶函数. (3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x), 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.

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2 ? ?4-x ≥0, (4)∵? ? ?|x+3|≠3

?-2≤x≤2且x≠0,

∴函数的定义域关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = x , x+3-3 4-?-x?2 4-x2 又f(-x)= =- x , -x ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.

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规律方法

判断函数的奇偶性,包括两个必备条件: (1) 定义

域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所

以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在
判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系 式 (f(x) + f( - x) = 0( 奇函数 ) 或 f(x) - f( - x) = 0( 偶函数 )) 是否成 立.

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【训练1】

(1)(2015· 郑州质量预测)下列函数中,既是偶函数 ( )

又在区间(1,2)上单调递增的是 A.y=log2|x| 2x-2-x C.y= 2 B.y=cos 2x 2-x D.y=log2 2+x

(2)(2014· 日照模拟)函数f(x)=log2(x+ x2+1)(x∈R)与g(x) =lg |x-2|分别为______________和______________函数 (填“奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”).

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解析

(1)对于A,函数y=log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增

函数;对于B,函数y=cos 2x在区间(1,2)上不是增函数;对于 2x-2-x 2-x C,函数y= 不是偶函数;对于D,函数y=log2 不是 2 2+x 偶函数,故选A. (2)法一 易知f(x)的定义域为R.
2

1 ∵f(-x)=log2[-x+ ?-x? +1]=log2 x+ x2+1 =-log2(x+ x2+1)=-f(x),

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课堂总结

∴f(x)是奇函数. 对于g(x),由|x-2|>0,得x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}. ∵g(x)的定义域关于原点不对称, ∴g(x)为非奇非偶函数. 法二 易知f(x)的定义域为R. ∵f(-x)+f(x)=log2[-x+ ?-x?2+1]+log2(x+ x2+1) =log21=0,

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课堂总结

即f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 对于g(x),由|x-2|>0,得x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}.

∵g(x)的定义域关于原点不对称,
∴g(x)为非奇非偶函数. 答案 (1)A (2)奇函数 非奇非偶

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考点二 函数周期性的应用 例2 (1)(2014· 安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,
? ?x?1-x?,0≤x≤1, ? ? ?sin πx,1<x≤2,

且在[0,2]上的解析式为f(x)=
?41? +f? 6 ?=________. ? ?

则f

?29? ? ? ?4?

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-f(x),当 2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=________.

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解析

?29? ?41? (1)由于函数f(x)是周期为4的奇函数,所以f ? 4 ? +f ? 6 ? = ? ? ? ?

? ? 3? ?7? 3? ? 7? ? 3? ? 7? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f 2×4-4 +f 2×4-6 =f -4 +f -6 =-f 4 -f 6 =- 16 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

π 5 sin 6=16. (2)由f(x+2)=-f(x), 得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2) =-[-f(x)]=f(x), 所以函数f(x)的周期为4, ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.
基础诊断 考点突破 课堂总结

5 答案 (1)16 (2)2.5
规律方法 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性

质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用
函数周期性求值.

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【训练 2】 (2014· 长春一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函 数,且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈[0,1)时,f(x)= 2x-1,则 f(log16)的值为
2

( B.-5 D.-6

)

5 A.- 2 1 C.- 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数.
? 1 log ∴f(log1 6)=f? ? ? 2 2

3? ? 2? ? 3? ? 2? ?

? ? 3? ? ? =f?-log22?=-f? ?log2 ? ? ?

1 =-(2log22-1)=- . 2
3

答案

C

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考点突破

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考点三 函数性质的综合应用
例3 (1)已知定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在 区间[0,2]上是增函数,则 A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) ( )

C.f(11)<f(80)<f(-25)
D.f(-25)<f(80)<f(11) (2)(2014· 新课标全国 Ⅱ 卷 ) 偶函数 y = f(x) 的图象关于直线 x

=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________.

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考点突破

课堂总结

解析 (1)∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),

∴f(x-8)=f(x),∴函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)
=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x - 4) =- f(x) ,得 f(11) =f(3)=-f(-1)=f(1). ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数, ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11). (2)因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)

=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-
1)=f(3)=3. 答案 (1)D (2)3
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

比较不同区间内的自变量对应的函数值的大小.对

于偶函数,如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同
的单调区间上,即正负不统一,应利用图象的对称性将两个值 化归到同一个单调区间,然后再根据单调性判断.

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【训练 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0, +∞)上单调递增. 若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1 a)≤2f(1),
2

则 a 的取值范围是 A.[1,2]
?1 ? ? C.?2,2? ? ? ? ? 1? ? B.?0,2? ? ? ?

(

)

D.(0,2]

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考点突破

课堂总结

解析 因为 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x)=f(|x|), 又因为log1
2

a=-log2a, 且 f(x)是偶函数, 所以 f(log2a)+f(log1 a)=2f(log2a)
2

=2f(|log2a|)≤2f(1),即 f(|log2a|)≤f(1),又函数在[0,+∞)上单 1 调递增,所以 0≤|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得 ≤a≤2. 2 答案 C
深度思考 你知道奇偶性与单调性的关系了吗 ? 奇函数在对称 区间上单调性相同,偶函数在对称区间上单调性相反 ? ?在解 决有关偶函数问题时,常利用f?x?=f?|x|?这一结论进行转化.
基础诊断 考点突破 课堂总结

[思想方法] 1. 奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一, 为了便于判 断, 有时需要将函数进行化简, 或应用定义的变通形式: f(- f?-x? x)=± f(x)?f(-x)± f(x)=0? =± 1(f(x)≠0). f?x? 2. 已知函数的奇偶性求参数问题的一般思路是: 利用函数的奇 偶性的定义,转化为 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x))对 x∈R 恒成立,从而可轻松建立方程,通过解方程,使问题获得解 决.
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a) 1 1 =-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x+a)=- (a 是常数且 a≠0), f?x? f?x? 则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数. [易错防范] 1. 在用函数奇偶性的定义进行判断时, 要注意自变量在定义域 内的任意性.不能因为个别值满足 f(-x)=± f(x),就确定函 数的奇偶性.

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2.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可

以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数
在整个定义域的奇偶性. 3.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对

称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函
数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.

基础诊断

考点突破

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