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概率的基本性质2


一、事件的关系和运算:

(1)包含关系
一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则 事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事 件A包含于事件B),记作 B ? A (或A ? B) 如图:

B

A

注:不可能事件记作

?,任何事件都包括不可能事件。<

br />
事件的关系和运算:

(2)相等关系
一般地,对事件A与事件B,若 B ? A且A ? B , 那么称事件A与事件B相等,记作A=B 。

事件的关系和运算:

(3)并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则 称此事件为事件A和事件B的并事件(或和事件), 记作 A ? B 或A ? B 。 ( ) 如图:

B A? B

A

事件的关系和运算:
(4)交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生, 则称此事件为事件A和事件B的交事件(或积事 件),记作 A ? B 或AB 。 ( ) 如图:

B A? B

A

事件的关系和运算:

(5)互斥事件
若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ),那么称事件A 与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试 验中都不会同时发生。
如图:

A

B

事件的关系和运算:

(6)互为对立事件
若 A ? B 为不可能事件, ? B 为必然事件,那么称事 A 件A与事件B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在 任何一次试验中有且仅有一个发生。

如图:

A

B

【二】.概率的几个基本性质: (1)任何事件的概率在0~1之间,即 0≤P(A)≤1 (2)必然事件的概率为1,即 P(A)=1 (3)不可能事件的概率为0,即 P(A)=0 (4)如果事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) (5)如果事件B与事件A是互为对立事件,则 P(B)=1-P(A)

例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机 抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 0.25,取到方块(事件B)的概率是0.25,问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

分析:事件C=A∪B,且A与B互斥,因此 可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事 件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).
解:(1)P(C)=P(A)+ P(B)=0.25+0.25=0.5; (2)P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.

3.(5分)(2010·上海高考)从一副混合后的扑克牌(52张) 中随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得为黑 桃”,则概率P(A∪B)= ______.(结果用最简分数表示).

【解题提示】先分别求出事件A,B发生的概率,再由性质
求P(A∪B).
13 1 ,P(B)= , 52 52 P(A∪B)=P(A)+P(B)= 1 + 13 = 7 . 52 52 26 答案:7 26

【解析】P(A)=

例3 甲,乙两人下棋,和棋的概率为1/2,乙获 胜的概率为1/3,求: (1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率。

分析:甲乙两人下棋,其结果有甲胜,和棋, 乙胜三种,它们是互斥事件。 解(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜” 的对立事件,所以甲获胜的概率是P=11/2-1/3=1/6。 (2)解法1,“甲不输”看作是“甲胜”, “和棋”这两个事件的并事件所以 P=1/6+1/2=2/3。 解法2,“甲不输” 看作是“乙胜”的对立事件,P=1-1/3=2/3。

?

练习 某射手射击一次射中10环,9环,8环,7 环的概率是0.24,0.28,0.19,0.16,计算这 名射手射击一次 (1)射中10环或9环的概率; (2)至少射中7环的概率。

(1) P(A∪B)=P(A)+P(B) =0.24+0.28=0.52。 (2) 因为它们是互斥事件,所以至少射 中7环的概率是 0.24+0.28+0.19+0.16=0.87

?

练习:某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表 所示:

年降水量 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) (mm) 概率 0.12 0.25 0.16 0.14

(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围 内的概率; P=0.12+0.25=0.37 (2)求年降水量在[150,300)(mm)范 围内的概率。 P=0.25+0.16+0.14=0.55

例4 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄 球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为1/3, 得到黑球或黄球的概率是5/12,得到黄球或绿球的概 率也是5/12,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的 概率各是多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事 件的概率公式求解. 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”、 “摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、 则有 P(B∪C)=P(B)+P(C) =5/12; C、D, P(C∪D)=P(C)+P(D) =5/12; P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A) =1-1/3=2/3; 解的P(B)=1/4,P(C)=1/6,P(D)=1/4.

答:得到黑球、黄球、绿球的概率分别是1/4,1/6,1/4.

例5. 某公务员去开会,他乘火车、轮船、 汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、 0.4, (1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率; (3)如果他乘某种交通工具去开会的概 率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具 去的?

解:记“他乘火车去”为事件A,,“他 乘轮船去”为事件B,“他乘汽车去”为 事件C,“他乘飞机去”为事件D,这四 个事件不可能同时发生,故它们彼此互 斥, (1)故P(A∪D)=0.7; (2)设他不乘轮船去的概率为P,则 P=1-P(B)=0.8; (3)由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3,故他有 可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽 车或乘飞机去。

假期作业: 1、完成数学练习册

2、完成课时作业至106
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