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高中数学选修4-4坐标与参数方程同步练习题

时间:2014-03-24


第一讲 第一节
一、选择题

坐标系

平面直角坐标系

1.已知?ABCD 中三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(-1,2)、(3,0)、(5,1),则点 D 的坐 标是 A.(9,-1) C.(1,3) B.(-3,1) D.(2,2) ( ).

解析 由平行四边形对边互相平行,即斜率

相等,可求出 D 点坐标.设 D(x,

y),
-1-3 ? ?kAB=kDC, 则? 即 ?kAD=kBC, 2-y ? 答案 C π? ? 2.把函数 y=sin 2x 的图象变成 y=sin?2x+ ?的图象的变换是 3? ? π A.向左平移 6 π C.向左平移 3 π B.向右平移 6 π D.向右平移 3 ( ). 2-0 y-1 = , ? ? x-5 ? ?x=1, ∴? ,故 D(1,3). ? ?y=3. 0-1 ? ? ?-1-x=3-5.

? π? ?x′=x+λ , ? 解析 设 y′=sin2?x′+ ?,变换公式为? 6? ? ? ?y′=μ y,

π? π? ? ? 将其代入 y′=sin2?x′+ ?,得 μ y=sin2?x+λ + ?, 6? 6? ? ? π ? ?x′=x- , π 6 ∴μ =1,λ =- ,∴? 6 ? ?y′=y. π ? ?x′=x- , π? ? 6 ,故 由函数 y=sin 2x 的图象得到 y=sin?2x+ ?的图象所作的变换为? 3? ? ? ?y′=y π 是向左平移 个单位. 6 答案 A 3.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? =1,则曲线 C 的方程为
?x′=5x, ? ?y′=3y ?

后,曲线 C 变为曲线 x′ +4y′ ( ).

2

2

1

A.25x +36y =1 C.10x+24y=1
?x′=5x, ? ?y′=3y ?

2

2

B.9x +100y =1 D. 2 2 8 2 x + y =1 25 9
2 2 2

2

2

解析 将? 答案 A

代入 x′ +4y′ =1,得 25x +36y =1,为所求曲线 C 的方程.

2

4.在同一坐标系中,将曲线 y=3sin 2x 变为曲线 y′=sin x′的伸缩变换是(

).

x=2x′ ? ? A.? 1 ?y=3y′ ?
C.?
?x=2x′ ? ?y=3y′ ? ? ?x′=λ ?y′=uy ?

x′=2x ? ? B.? 1 ?y′=3y ?
D.?
?x′=2x ? ?y′=3y ?

解析 设?

x

1 代入第二个方程 y′=sin x′得 uy=sin λ x,即 y= sin λ

u

1 ? ?u= x,比较系数可得? 3 . ? ?λ =2 答案 B 二、填空题 5 . 在△ABC 中, B( - 2 , 0) , C(2 , 0) ,△ABC 的周长 为 10 , 则 A 点的轨迹方 程为 ____________________________. 解析 ∵△ABC 的周长为 10, ∴|AB|+|AC|+|BC|=10.其中|BC|=4, 即有|AB|+|AC|=6>4. ∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两项两点, 且 2a=6,2c=4.∴a=3,c=2,b =5. ∴A 点的轨迹方程为 + =1 (y≠0). 9 5 答案
2

x2 y2

x2 y2
9

+ =1 (y≠0) 5
2 2

6. 在平面直角坐标系中, 方程 x +y =1 所对应的图形经过伸缩变换? 对应的方程是____________.

? ?x′=2x, ?y′=3y ?

后的图形所

2

解析 代入公式,比较可得 答案

x′2 y′2
4 + 9

=1.

x′2 y′2
4 + 9

=1
?x′=3x, ? ?y′=y ?

7.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? =9,则曲线 C 的方程是__________. 答案 x +y =1
2 2

后,曲线 C 变为曲线 x′ +9y′

2

2

8 .在同一平面直角坐标系中,使曲线 y= 2sin 3x 变为曲线 y′= sinx′的伸缩变换是 ____________________________.

x′=3x ? ? 答案 ? 1 y′= y ? 2 ?
三、解答题 9.已知一条长为 6 的线段两端点 A、B 分别在 x、y 轴上滑动,点 M 在线段 AB 上,且 AM∶MB =1∶2,求动点 M 的轨迹方程. 解 (代入法)设 A(a,0),B(0,b),M(x,y), ∵|AB|=6,∴a +b =36.
2 2



M 分AB的比为 .



1 2

?x= 2 = a, 1 ? 1+2 3 ∴? ? 1 0+ b ?y= 21 =1 b. 3 ? 1+2
a+ ?0
1 2

3 ? ?a= x, ? 2 ? ?b=3y.



将②式代入①式,化简为 + =1. 16 4 10.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 φ :? 9y′ =9,求曲线 C 的方程. 解 直接代入得曲线 C 的方程为 x -y =1. 11.(图形伸缩变换与坐标变换之间的联系)阐述由曲线 y=tan x 得到曲线 y=3tan 2x 的变 化过程,并求出坐标伸缩变换.
3
2 2 2

x2

y2

? ?x′=3x, ?y′=y ?

后,曲线 C 变为曲线 x′ -

2

1 解 y=tan x 的图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得到 y=tan 2 2x,再将其纵坐标伸长为原来的 3 倍,横坐标不变,得到曲线 y=3tan 2x. 设 y′=3tan 2x′,变换公式为?
?x′=λ ? ?y′=μ ?

x,λ >0 y,μ >0

.

μ =3 ? ? 将其代入 y′=3tan 2x′得? 1, λ = ? 2 ? 1 ? ?x′= x 2 . ∴? ?y′=3y ?

第二节
一、选择题

极坐标系

1.点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为

(

).

? π? A.?2, ? 4? ? ? 5π ? C.?2, ? 4 ? ?

? 3π ? B.?2, ? 4 ? ? ? 7π ? D.?2, ? 4 ? ?

解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式. 答案 B π? ? π? ? 2.已知 A,B 的极坐标分别是?3, ?和?-3, ?,则 A 和 B 之间的距离等于 4? ? 12? ? ( A. 3 2+ 6 2 B. 3 2- 6 2 D. 3 6-3 2 2 ).

3 6+3 2 C. 2

解析 极坐标系中两点 A(ρ 1,θ 1),B(ρ 2,θ 2)的距离|AB|= ρ 1+ρ 2-2ρ 1ρ 2cos(θ 1-θ 2). 答案 C 2 ? ? 3.在极坐标系中,已知点 P? 2, π ?,若 P 的极角满足-π <θ <π ,ρ ∈R,则下列点中 3 ? ? 与点 P 重合的是 π? ? 4 ? ? 5 ? ? A.? 2, ?,? 2, π ?,?- 2, π ? 3? ? 3 ? ? 3 ? ? 8 ? ? 4 ? ? 5 ? ? B.? 2, π ?,? 2, π ?,?- 2, π ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ( ).
2 2

4

4 ? ? 5 ? ? 4 ? ? C.?- 2, π ?,?- 2, π ?,? 2,- π ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? π? ? D.?- 2,- ? 3? ? 答案 D π? π ? 4.已知点 M 的极坐标是?-2,- ?,它关于直线 θ = 的对称点坐标是 ( 6 2 ? ? ).

? 11π ? A.?2, 6 ? ? ?
π? ? C.?2,- ? 6? ?

7π ? ? B.?-2, ? 6 ? ? 11π ? ? D.?-2,- 6 ? ? ?

解析 当 ρ <0 时,我们找它的极角应按反向延长 π? π ? 线上去找.描点?-2,- ?时,先找到角- 的 6? 6 ? 终边.又因为 ρ =-2<0,所以再沿反向延长线上 π? ? 找到离极点 2 个单位的点即是点?-2,- ?. 6? ? π π 直线 θ = ,就是由极角为 的那些点的集合. 2 2 π? π ? ? π? 故 M?-2,- ?关于直线θ = 的对称点为 M′?2, ?,但是选择支没有这 6? 6? 2 ? ? 样的坐标. 7π ? ? π? ? 又因为 M′?2, ?的坐标还可以写成 M′?-2, ?,故选 B. 6? 6 ? ? ? 答案 B 二、填空题

? 3 ? ? π? 5.在极坐标系中,已知点 A?1, π ?,B?2, ?,则 A、B 两点间的距离为________. 4? ? 4 ? ?
解析 利用极坐标系中两点间距离公式. 答案 5

6. 已知点 M 的直角坐标为(-3, -3 3), 若 ρ >0, 0≤θ <2π , 则点 M 的极坐标是________.

? 4 ? 答案 ?6, π ? 3 ? ? ? π? 7.在极坐标系中,已知点 P?3, ?,则点 P 在-2π ≤θ <2π ,ρ ∈R 时的另外三种极坐标 3? ?
形式为__________. 5 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 答案 ?3,- π ?,?-3, π ?,?-3,- π ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ?

5

? π? 8.(极坐标意义的考查)极坐标系中,点 A 的极坐标是?3, ?,则 6? ?
(1)点 A 关于极轴对称的点是________; (2)点 A 关于极点对称的点的极坐标是________; π (3)点 A 关于直线 θ = 的对称点的极坐标是________.(规定 ρ >0,θ ∈[0,2 2 π )) 解析 如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角 的变化.另外,我们要注意:极角是以 x 轴正向为始边,按照逆时针方向得 到的.

? 11π ? 答案 (1)?3, 6 ? ? ?
三、解答题

? 7π ? (2)?3, ? 6 ? ?

? 5π ? (3)?3, ? 6 ? ?

π? ? 9.(1)把点 M 的极坐标?-5, ?化成直角坐标; 6? ? (2)把点 N 的直角坐标(- 3,-1)化成极坐标. 解 (1)x=-5cos π 5 π 5 =- 3,y=-5sin =- . 6 2 6 2

5? ? 5 ∴点 M 的直角坐标是?- 3,- ?. 2 2? ? -1 3 2 2 (2)ρ = (- 3) +(-1) =2,tan θ = = . 3 - 3 7 又∵点 N 在第三象限,ρ >0.∴最小正角 θ = π . 6

? 7 ? 故点 N 的极坐标是?2, π ?. ? 6 ? ? π ? ? 5π ? 10.(极坐标的应用)已知 A、B 两点的极坐标分别是?2, ?,?4, ?,求 A、B 两点间的 3? ? 6 ? ?
距离和△AOB 的面积. 解 求两点间的距离可用如下公式: |AB|=

?5π π ? 4+16-2?2?4?cos? - ?= 20=2 5. 3? ? 6

6

? ? ?? S△AOB= |ρ 1ρ 2sin(θ 1-θ 2)|= ?2?4?sin? - ??= ?2?4=4. 3 ?? 2 2 2? ? 6
1 1 5π π 1

11.已知点 Q(ρ ,θ ),分别按下列条件求出点 P 的极坐标. (1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点; π (2)点 P 是点 Q 关于直线 θ = 的对称点. 2 解 (1)由于 P、Q 关于极点对称,得它们的极径|OP|=|OQ|,极角相差(2k+ 1)π (k∈Z).所以,点 P 的极坐标为(ρ ,(2k+1)π +θ )或(-ρ ,2kπ +θ )(k∈Z). π (2)由 P、Q 关于直线 θ = 对称,得它们的极径|OP|=|OQ|,点 P 的极角 θ ′ 2 满足 θ ′=π -θ +2kπ (k∈Z), 所以点 P 的坐标为(ρ ,(2k+1)π -θ )或(-ρ ,2kπ -θ )(k∈Z).

第三节
一、选择题

简单曲线的极系坐标方程

1.已知点 P 的极坐标为(1,π ),那么过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ( A.ρ =1 1 C.ρ =- cos θ B.ρ =cos θ 1 D.ρ = cos θ ).

解析 如图所示,设 M 为直线上任一点,设 M(ρ ,θ ). 在△OPM 中,OP=OM?cos∠POM, ∴1=ρ ?cos(π -θ ),即 ρ =- 答案 C 2.在极坐标系中,圆心在( 2,π )且过极点的圆的方程为 A.ρ =2 2cos θ C.ρ =2 2sin θ B.ρ =-2 2cos θ D.ρ =-2 2sin θ ( ). 1 . cos θ

解析 如图所示,P( 2,π ),在圆上任找一点

M(ρ ,θ ),延长 OP 与圆交于点 Q,则∠OMQ=90°,
在 Rt△OMQ 中,OM=OQ?cos∠QOM ∴ρ =2 2cos(π -θ ),即 ρ =-2 2cos θ . 答案 B
7

π? ? 3.极坐标方程 ρ =2sin?θ + ?的图形是 4? ?

(

).

π? π π ? 解析 ∵ρ =2sin?θ + ?=2sin θ ?cos +2cos θ ?sin 4? 4 4 ? = 2(sin θ +cos θ ), ∴ρ = 2ρ sin θ + 2ρ cos θ , ∴x +y = 2x+ 2y, ∴?x-
2 2 2

? ?

2?2 ? 2?2 ? +?y- ? =1, 2? ? 2? 2? ? 2 , ?. 2 ? ?2

∴圆心的坐标为?

结合四个图形,可知选 C. 答案 C 4.曲线的极坐标方程 ρ =4sin θ 化成直角坐标方程为 A.x +(y+2) =4 C.(x-2) +y =4 解析 由已知得 ρ =4ρ sin θ , ∴x +y =4y,∴x +(y-2) =4. 答案 B 二、填空题 5. 两曲线 ρ sin θ =2 和 ρ =4sin θ (ρ >0, 0≤θ <2π )的交点的极坐标是____________. π? ? 3 ? ? 答案 ?2 2, ?,?2 2, π ? 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(
2

).

B.x +(y-2) =4 D.(x+2) +y =4
2 2

2

?

? ?

?

6.极点到直线 ρ (cos θ -sin θ )=2 的距离为________.

8

解析 直线 ρ (cos θ -sin θ )=2 的直角坐标方程为 x-y-2=0,极点的直 角坐标为(0,0), ∴极点到直线的距离为 d= 答案 2 |-2| 1 +(-1)
2 2

= 2.

7.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ =4cos θ 于 A、B 两点,则 |AB|=________. 解析 过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为 x=3,曲线 ρ =4cos θ 化为直角坐标方程为 x +y -4x=0,把 x=3 代入上式,得 9+y -12=0, 解得,y1= 3,y2=- 3,所以|AB|=|y1-y2|=2 3. 答案 2 3 8.极坐标方程 5ρ cos 2θ +ρ -24=0 所表示的曲线焦点的极坐标为______________. 解析 原方程化为直角坐标系下的方程为 - =1, 4 6 ∴c= a +b = 10,双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为( 10,0),(- 10, 0),故在极坐标系下,曲线的焦点坐标为( 10,0),( 10,π ). 答案 ( 10,0),( 10,π ) 三、解答题
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

? π? 9.(求直线的极坐标方程)求过点 A?2, ?,并且与极轴垂直的直线的极坐标方程. 6? ?
解 在直线 l 上任取一点 M,如图:

? π? 因为 A?2, ?, 6? ?
所以|OH|=2cos π = 3. 6

在 Rt△OMH 中,|OH|=ρ cos θ = 3, 所以所求直线的方程为 ρ cos θ = 3. 10.将下列直角坐标方程和极坐标方程互化. (1)y =4x; (2)y +x -2x-1=0; (3)ρ cos
2 2 2 2 2

θ =1; 2

(4)ρ cos 2θ =4;

9

(5)ρ =

1 . 2-cos θ
2

解 (1)将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入 y =4x, 得(ρ sin θ ) =4ρ cos θ ,化简得 ρ sin θ =4cos θ . (2)将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入 y +x -2x-1=0, 得(ρ sin θ ) +(ρ cos θ ) -2ρ cos θ -1=0, 化简得 ρ -2ρ cos θ -1=0. (3)∵ρ cos ∴ρ
2 2 2 2 2 2 2 2

θ =1, 2

cos θ +1 =1, 2

即 ρ cos θ +ρ =2, ∴x+ x +y =2, 整理有 y =4-4x. (4)∵ρ cos 2θ =4, ∴ρ (cos θ -sin θ )=4. 化简得 x -y =4. 1 (5)∵ρ = , 2-cos θ ∴1=2ρ -ρ cos θ ,∴1=2 x +y -x, 整理得 3x +4y -2x-1=0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? π? 11.(求圆的极坐标方程)在极坐标平面上,求圆心为 A?8, ?,半径为 5 的圆的极坐标方 3? ?
程. 解 在圆上任取一点 P(ρ ,θ ),那么,在△AOP 中, π? π ? |OA|=8,|AP|=5,∠AOP= -θ 或?θ - ?. 3? 3 ?
2 2 2 ?π ? 8 +ρ -5 , 由余弦定理得 cos? -θ ?= ?3 ? 2?8?ρ

π? ? 2 即 ρ -16ρ cos?θ - ?+39=0 为所求圆的极坐标方程. 3? ?

第四节
一、选择题

柱坐标系与球坐标系简介(选学)

π π π? ? ? ? 1.已知点 P 的柱坐标为? 2, ,5?,点 B 的球坐标为? 6, , ?,则这两个点在空间 4 3 6? ? ? ?

10

直角坐标系中的点的坐标为 6? ?3 6 3 2 , , ? 4 2 ? ? 4 6? ?3 6 3 2 B.P 点(1,1,5),B 点? , , ? 4 2 ? ? 4 6? ?3 6 3 2 C.P 点? , , ?,B 点(1,1,5) 4 2? ? 4 ? 6 3 6 3 2? D.P 点(1,1,5),B 点? , , ? 4 4 ? ?2 A.P 点(5,1,1),B 点? 解析 设 P 点的直角坐标为(x,y,z),

(

).

x= 2?cos

π 2 π = 2? =1,y= 2?sin =1,z=5. 4 2 4

设 B 点的直角坐标为(x,y,z),

x= 6?sin y= 6?sin z= 6?cos

π π 3 3 3 6 ?cos = 6? ? = , 3 6 2 2 4 π π 3 1 3 2 ?sin = 6? ? = , 3 6 2 2 4 π 1 6 = 6? = . 3 2 2 6? ?3 6 3 2 , , ?. 4 2 ? ? 4

所以,点 P 的直角坐标为(1,1,5),点 B 的直角坐标为? 答案 B 2.设点 M 的直角坐标为(-1,- 3,3),则它的柱坐标是

(

).

? π ? A.?2, ,3? 3 ? ? ? 4π ? C.?2, ,3? 3 ? ?
解析 ∵ρ =

? 2π ? B.?2, ,3? 3 ? ? ? 5π ? D.?2, ,3? 3 ? ?
4 2 2 (-1) +(- 3) =2,θ = π ,z=3. 3

? 4 ? ∴M 的柱坐标为?2, π ,3?. ? 3 ?
答案 C 3.设点 M 的直角坐标为(-1,-1, 2),则它的球坐标为 ( ).

? π π? A.?2, , ? 4 4? ? ? 5π π ? C.?2, , ? 4 4? ?
2 2

? π 5π ? B.?2, , ? 4 4 ? ? ? 3π π ? D.?2, , ? 4 4? ?
2

解析 由变换公式 r= x +y +z =2,cos φ = = π ∴φ = . 4

z r

2 , 2

11

y 5 ? π 5 ? ∵tan θ = =1,∴θ = π .∴M 的球坐标为?2, , π ?. 4 4 ? x 4 ?
答案 B

? π 5 ? 4.点 M 的球坐标为?8, , π ?,则它的直角坐标为 3 6 ? ?
A.(-6,2 3,4) C.(-6,-2 3,4) 解析 由 x=8sin B.(6,2 3,4) D.(-6,2 3,-4)

(

).

π 5π π 5π π cos =-6,y=8sin sin =2 3,z=8cos =4, 3 6 3 6 3

得点 M 的直角坐标为(-6,2 3,4). 答案 A 二、填空题

? π 5 ? 5.点 M 的球坐标为?4, , π ?,则 M 的直角坐标为____________. 2 3 ? ?
解析 x=rsin φ cos θ =4?sin π 5 ?cos π =2, 2 3

y=rsin φ sin θ =4?sin z=rcos φ =4?cos

π 5 ?sin π =-2 3, 2 3

π =0,∴M(2,-2 3,0). 2

答案 (2,-2 3,0)

? π ? 6.设点 M 的柱坐标为?2, ,7?,则它的直角坐标为______. 6 ? ?
答案 ( 3,1,7) 7 .在球坐标系中,方程 r = 1 表示 ______________________ ,方程 φ = ________________________. π 答案 球心在原点,半径为 1 的球面 顶点在原点,轴截面顶角为 的圆锥 2 面 π 表示空间的 4

? 2π ? 且点 M 在数轴 Oy 上的射影为 N, 8. 已知柱坐标系中, 点 M 的柱坐标为?2, , 5?, 则|OM| 3 ? ?
=________,|MN|=________. 解析 设点 M 在平面 Oxy 上的射影为 P,连结 PN, 则 PN 为线段 MN 在平面 Oxy 上的射影. ∵MN⊥直线 Oy,MP⊥平面 xOy, ∴PN⊥直线 Oy.
12

2π ? ? ∴|OP|=ρ =2,|PN|=?ρ cos ?=1 3 ? ? ∴|OM|= ρ +z = 2 +( 5) =3. 在 Rt△MNP 中,∠MPN=90°, ∴|MN|= |PM| +|PN| = ( 5) +1 = 6. 答案 3 三、解答题 9.(直角坐标与柱坐标、球坐标的互化)设点 M 的直角坐标为(1,1, 2),求点 M 的柱坐标 与球坐标. 解 由坐标变换公式,可得 ρ = x +y = 2,tan θ = =1,θ = (点(1,1)在平面 xOy 的第一象限),
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6

y x

π 4

r= x2+y2+z2= 12+12+( 2)2=2.
由 rcos φ =z= 2,得 cos φ = 2

r



2 π ,φ = . 2 4

π ? ? ∴点 M 的柱坐标为? 2, , 2?, 4 ? ?

? π π? 球坐标为?2, , ?. 4 4? ?
10.将下列各点的柱坐标化为直角坐标.

? ? ? ? P?2, ,1?,Q?4, π ,-3? ?
π 6

?

?

2 3

?

x=ρ cos θ , ? ? 解 直接代入互化公式?y=ρ sin θ , ? ?z=z,
可得 P 的直角坐标为( 3,1,1),Q 点的直角坐标为(-2,2 3,-3). ρ =1, ? ? 11.在柱坐标系中,求满足?0≤θ <2π ,的动点 M(ρ ,θ ,z)围成的几何体的体积. ? ?0≤z≤2 解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满 足 ρ =1,0≤θ <2π ,0≤z≤2 的动点 M(ρ ,θ ,z) 的轨迹是以直线 Oz 为轴,轴截面为正方形的圆

13

柱,如图 所示,圆柱的底面半径 r=1,h=2, ∴V=Sh=π r h=2π (体积单位).
2

第二讲 第一节 第 1 课时
一、选择题

参数方程

曲线的参数方程

参数方程的概念与圆的参数方程

1.当参数 θ 变化时,由点 P(2cos θ ,3sin θ )所确定的曲线过点 A.(2,3) B.(1,5)

(

).

? π? C.?0, ? 2? ?

D.(2,0)

解析 当 2cos θ =2,即 cos θ =1 时,3sin θ =0. ∴过点(2,0). 答案 D
?x=2+sin θ , ? 2.将参数方程? (θ 为参数)化为普通方程为 2 ?y=sin θ ?
2

(

).

A.y=x-2 C.y=x-2 (2≤x≤3)

B.y=x+2 D.y=x+2 (0≤y≤1)

解析 将参数方程中的 θ 消去,得 y=x-2.又 x∈[2,3],故选 C. 答案 C 1 ? ?x=1- , t (t 是参数,t≠0),它的普通方程是 3.曲线的参数方程是? ? ?y=1-t2 A.(x-1) (y-1)=1 1 C.y= 2-1 (1-x)
2

(

).

B.y= D.y=

x(x-2) 2 (1-x) x
1-x
2

1 1 2 2 解析 由 x=1- ,得 =1-x,由 y=1-t ,得 t =1-y.

t

t

2 x(x-2) ?1? 2 2 ∴(1-x) ?(1-y)=? ? ?t =1.整理得 y= 2. (1-x) ?t? 答案 B

14

4. 直线 l 的参数方程为?

?x=a+t ? ? ?y=b+t

, (t 为参数), l 上的点 P1 对应的参数是 t1, 则点 P1 与 P(a, ( C. 2|t1| D. 2 |t1| 2 ).

b)之间的距离为
A.|t1| B.2|t1|

解析 点 P1 对应的点的坐标为(a+t1,b+t1), ∴|PP1|= (a+t1-a) +(b+t1-b) = 2t1= 2|t1|. 答案 C 二、填空题 5.曲线?
?x=1+cos θ , ? ?y=2sin θ ?
2 2 2

?3 ? 经过点? ,a?,则 a=________. ?2 ?
1 1- =± 3. 4

1 ?3 ? 解析 点? ,a?代入曲线方程得 cos θ = ,a=2sin θ =±2 2 ?2 ? 答案 ± 3

6.物体从高处以初速度 v0(m/s)沿水平方向抛出,以抛出点为原点,水平直线为 x 轴,物体 所经路线的参数方程为________. 解析 设物体抛出的时刻为 0 s,在时刻 t s 时其坐标为 M(x,y), 由于物体作平抛运动,

x=v0t, ? ? 依题意,得? 1 y=- gt2. ? 2 ?
这就是物体所经路线的参数方程.

x=v0t, ? ? 答案 ? 1 2(t 为参数) ?y=-2gt ?
7.把圆 x +y +2x-4y+1=0 化为参数方程为________. 解析 圆 x +y +2x-4y+1=0 的标准方程是(x+1) +(y-2) =4, 圆心为(-1,2),半径为 2, 故参数方程为?
? ?x=-1+2cos θ , ?y=2+2sin θ ?
2 2 2 2 2 2

(θ 为参数).

答案 ?

? ?x=-1+2cos θ ? ?y=2+2sin θ

(θ 为参数)

15

8.将参数方程?

?x=sin θ +cos θ , ? ? ?y=sin θ cos θ

化成普通方程为__________.

解析 应用三角变形消去 θ ,同时注意到|x|≤ 2. 答案 x =1+2y (|x|≤ 2) 三、解答题 9.已知曲线 C:? 取值范围. 解 ∵?
2 2

? ?x=cos θ , ?y=-1+sin θ , ?

如果曲线 C 与直线 x+y+a=0 有公共点,求实数 a 的

?x=cos θ ? ? ?y=-1+sin θ
2



∴x +(y+1) =1. |0-1+a| 圆与直线有公共点,d= ≤1, 2 解得 1- 2≤a≤1+ 2. π? ? 2 10.(圆的参数的应用)已知圆的极坐标方程为ρ -4 2ρ ?cos?θ - ?+6=0. 4? ? (1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值. π? ? 2 2 解 (1)由 ρ -4 2ρ cos?θ - ?+6=0,得 ρ -4ρ cos θ -4ρ sin θ +6=0, 4? ? 即 x +y -4x-4y+6=0 为所求, 由圆的标准方程(x-2) +(y-2) =2, 令 x-2= 2cos α ,y-2= 2sin α , 得圆的参数方程为? (2)由上述可知 π? ? x+y=4+ 2(cos α +sin α )=4+2sin?α + ?,
2 2 2 2

?x=2+ 2cos α , ?y=2+ 2sin α

(α 为参数).

?

4?

故 x+y 的最大值为 6,最小值为 2. 11.求圆 x +y =9 上一点 P 与定点(1,0)之间距离的最小值. 解 设 P(3cos θ ,3sin θ ),则 P 到定点(1,0)的距离为
2 2

d(θ )=

(3cos θ -1) +(3sin θ -0)

2

2

16

= -6(cos θ +sin θ )+10 = π? ? -6 2sin?θ + ?+10. 4? ?

π? ? 当 sin?θ + ?=1 时,d(θ )取最小值 10-6 2. 4? ?

第 2 课时
一、选择题 1.已知曲线的参数方程为?

参数方程和普通方程的互化

?x=sin 2θ , ? ? ?y=cos θ -sin θ

(θ 为参数),则曲线的普通方程为 ( ).

A.y =1+x C.y =1-x(- 2≤y≤ 2) 答案 C 2.曲线?
? ?x=|sin θ |, ?y=cos θ ?
2 2

2

B.y =1-x D.以上都不对

2

(θ 为参数)的方程等价于 B.y= 1-x
2

(

).

A.x= 1-y

C.y=± 1-x 答案 A

2

D.x +y =1

2

2

1-t x= 2, 1+t 3.参数方程 (t 为参数)化为普通方程为 2t y= 2 1+t A.x +y =1 B.x +y =1 去掉(0,1)点 C.x +y =1 去掉(1,0)点 D.x +y =1 去掉(-1,0)点 解析 x +y =?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ? ? ? ?

2

(

).

?1-t2? +? 2t 2? =1, ? ? ? ?1+t ? ?1+t ?

2

2

2

1-t 2 又∵x= 2=-1+ 2≠-1,故选 D. 1+t 1+t 答案 D

17

4.直线 l:?

?x=tcos θ , ? ? ?y=tsin θ

(t 为参数)与圆?

?x=4+2cos α , ? ? ?y=2sin α

(α 为参数)相切,则直线的倾 ( ).

斜角 θ 为 π 5π A. 或 6 6 π 2π C. 或 3 3 答案 A 二、填空题 α α ? ?x=sin 2 +cos 2 , 5.参数方程? (α 为参数)表示的普通方程是________. ? ?y= 2+sin α 答案 y -x =1(|x|≤ 2,y>0)
2 2

B.

π 3π 或 4 4

π 5π D.- 或- 6 6

6.令 x= t,t 为参数,则曲线 4x +y =4(0≤x≤1,0≤y≤2)的参数方程为________. 答案 ?

2

2

?x= t,

?y=2 1-t

(t 为参数)

7.将参数方程?

?x=1+cos θ , ? ? ?y=sin θ

(θ 为参数)转化为直角坐标方程是________,该曲线上的

点与定点 A(-1,-1)的距离的最小值为________. 解析 易得直角坐标方程是(x-1) +y =1,所求距离的最小值应为圆心到点
2 2

A 的距离减去半径,易求得为 5-1.
答案 (x-1) +y =1
2 2

5-1
?x=1+t, ? ? ?y=1+3t

8.(2009?天津高考)设直线 l1 的参数方程为? 3x+4,则 l1 与 l2 的距离为________.

(t 为参数),直线 l2 的方程为 y=

|4+2| 解析 由题意得直线 l1 的普通方程为 3x-y-2=0,故它与 l2 的距离为 = 10 3 10 . 5 答案 3 10 5

三、解答题 9.设 y=tx(t 为参数),求圆 x +y -4y=0 的参数方程. 解 把 y=tx 代入 x +y -4y=0,得 (1+t )x -4tx=0,
18
2 2 2 2 2 2

4t 4t 解得 x= 2,∴y=tx= 2, 1+ t 1+t 4t x= ? ? 1+t , ∴? (t 为参数),这就是圆的参数方程. 4t ? ?y=1+t
2 2 2

2

? ?x=3cos θ , 10.两曲线的参数方程为? (θ ?y=4sin θ ?

? ?x=-3t , 为参数)和? (t 为参数),求它们的 2 ?y=-4t ?

2

交点坐标. 解 将两曲线的参数方程化为普通方程,

x y 4 得 + =1,y= x (x≤0). 9 16 3

2

2

? 3 2 ? 联立解得它们的交点坐标为?- ,-2 2?. ? 2 ?
11 . ( 普通方程与参数方程的互化、伸缩变换)(2008?海南?宁夏高考 ) 已知曲线 C1 : 2 ? ?x= 2 t- ? 2 ? ?y= 2 t 2, (t 为参数).

? ?x=cos θ , ? (θ 为参数),曲线 C2: ?y=sin θ ?

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1, C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, 分别得到曲线 C′1, C′2.写出 C′1,

C′2 的参数方程. C′1 与 C′2 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的
理由. 解 (1)C1 是圆,C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2+y2=1,圆心 C1(0,0),半径 r=1. C2 的普通方程为 x-y+ 2=0.
因为圆心 C1 到直线 x-y+ 2=0 的距离为 1, 所以 C2 与 C1 只有一个公共点.

x=cos θ , ? ? (2)压缩后的参数方程分别为 C′1:? 1 y= sin θ ? ? 2
2 ? x = t- ? 2 为参数),C′ :? 2 ? ?y= 4 t
2

2, (t 为参数),



19

1 2 2 2 化为普通方程为 C′1:x +4y =1,C′2:y= x+ , 2 2 联立消元得 2x +2 2x+1=0, 其判别式 Δ =(2 2) -4?2?1=0, 所以压缩后的直线 C′2 与椭圆 C′1 仍然只有一个公共点, 和 C1 与 C2 公共点的个数相同.
2 2

第二节
一、选择题 1.若直线的参数方程为? 2 A. 3
?x=1+2t, ? ? ?y=2-3t

圆锥曲线的参数方程

(t 为参数),则直线的斜率为 3 2 3 D.- 2

(

).

2 B.- 3

C.

3 解析 参数方程中消去 t,得 3x+2y-7=0.所以 k=- . 2 答案 D 2.下列在曲线?
? ?x=sin 2θ , ?y=cos θ +sin θ ?

(θ 为参数)上的点是

(

).

?1 ? A.? ,- 2? ?2 ?
C.(2, 3)
2

? 3 1? B.?- , ? ? 4 2?
D.(1, 3)

解析 转化为普通方程:y =1+x (|y|≤ 2),把选项 A、B、C、D 代入验证 得,选 B. 答案 B
? ?x=4t , 3.若点 P(3,m)在以点 F 为焦点的抛物线? (t 为参数)上,则|PF|等于 ?y=4t ?
2

( A.2
2

).

B.3

C.4

D. 5

解析 抛物线为 y =4x,准线为 x=-1,|PF|为 P(3,m)到准线 x=-1 的距 离,即为 4. 答案 C 4.双曲线 C:? A.(3,0)
? ?x=3sec φ , ? ?y=4tan φ

(φ 为参数)的一个焦点为 B.(4,0)

(

).

20

C.(5,0)

D.(0,5)

解析

x =sec φ , ? 2 2 ?x=3sec φ , ?3 ? ?x? ?y? 由? 得? 于是? ? -? ? =sec φ -tan φ =1, ?3? ?4? ? y ?y=4tan φ =tan φ , ? ?4
2 2

即双曲线方程为 - =1, 9 16 焦点为 F1,2(±5,0).故选 C. 答案 C 二、填空题 5.曲线?
?x=3t-2, ? ? ?y=t -1
2

x2

y2

与 x 轴交点的坐标是______________.
2

解析 将曲线的参数方程化为普通方程:(x+2) =9(y+1),令 y=0,得 x=1 或 x=-5. 答案 (1,0),(-5,0)
? ?x=t , 6.点 P(1,0)到曲线? (其中参数 t∈R)上的点的最短距离为________. ?y=2t ?
2

解析 点 P(1,0)到曲线上的点的距离设为 d, 则 d= (x-1) +(y-0) = (t -1) +(2t) = (t +1) =t +1≥1. 所以点 P 到曲线上的点的距离的最小值为 1. 答案 1 7.二次曲线?
?x=5cos θ , ? ? ?y=3sin θ
2 2 2 2 2 2 2 2

(θ 是参数)的左焦点的坐标是________.

解析 题中二次曲线的普通方程为 + =1 左焦点为(-4,0). 25 9 答案 (-4,0)
? ?x=2pt , 8.已知曲线? (t 为参数,p 为正常数)上的两点 M,N 对应的参数分别为 t1 和 t2, ?y=2pt ?
2

x2

y2

且 t1+t2=0,那么|MN|=________. 解析 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴,即 x 轴, |MN|=2p|t1-t2|=2p|2t1|=4p|t1|.

21

答案 4p|t1| 三、解答题 9.在椭圆 + =1 上找一点,使这一点到直线 x-2y-12=0 的距离的最小值. 16 12 解 设椭圆的参数方程为?

x2

y2

?x=4cos θ , ?y=2 3 sin θ ,

d=

|4cos θ -4 3sin θ -12| 4 5 = |cos θ - 3sin θ -3| 5 5

π? ? 4 5? ? = ?2cos?θ + 3 ?-3? 5 ? ? ? ? π? 4 5 ? 当 cos?θ + ?=1 时,dmin= ,此时所求点为(2,-3). 3? 5 ? 10.已知点 P(x,y)是圆 x +y =2y 上的动点, (1)求 2x+y 的取值范围; (2)若 x+y+a≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 (1)设圆的参数方程为?
? ?x=cos θ , ?y=1+sin θ , ?
2 2

2x+y=2cos θ +sin θ +1= 5sin(θ +φ )+1 ∴- 5+1≤2x+y≤ 5+1. (2)x+y+a=cos θ +sin θ +1+a≥0. π? ? ∴a≥-(cos θ +sin θ )-1=- 2sin?θ + ?-1, 4? ? ∴a≥ 2-1. 11.(椭圆参数方程的应用)设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的左、右焦点.

x2 y2 a b

? 3? (1)若椭圆 C 上的点 A?1, ?到 F1、F2 距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和 ? 2?
焦点坐标; (2)设 P 是(1)中椭圆上的动点,求线段 F1P 的中点的轨迹方程. 解 (1)由椭圆上点 A 到 F1、F2 的距离之和是 4, 得 2a=4,即 a=2.

? 3? 又点 A?1, ?在椭圆上, ? 2?

22

因此 + 2 =1,得 b =3, 4 b 于是 c =a -b =1,所以椭圆 C 的方程为 + =1, 4 3 焦点坐标为 F1(-1,0),F2(1,0). (2)设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为(2cos θ , 3sin θ ), 线段 F1P 的中点坐标为(x,y), 2cos θ -1 3sin θ +0 则 x= ,y= , 2 2 1 2y 所以 x+ =cos θ , =sin θ . 2 3
2 2 ? 1? 4y 消去 θ ,得?x+ ? + =1,这就是线段 F1P 的中点的轨迹方程. 3 ? 2? 2 2 2

?3? ? ? 1 ?2?

2
2

x2 y2

第三节
一、选择题 1.若直线的参数方程为? 2 A. 3 解析 k= 答案 D 2.直线?
? ?x=-2+t, ?y=1-t ? ?x=1+2t, ? ? ?y=2-3t

直线的参数方程

(t 为参数),则直线的斜率为 3 2 3 D.- 2

(

).

2 B.- 3

C.

y-2 3t 3 =- =- . x-1 2t 2

(t 为参数)被圆(x-3) +(y+1) =25 所截得的弦长为( 1 B.40 4 D. 93+4 3 2 ? ?x=-2+ 2t? 2 , ? 2 ? ?y=1- 2t? 2
2 2

2

2

).

A.7 2 C. 82

解析

? ?x=-2+t, ? ? ?y=1-t ?

把直线?

?x=-2+t, ? ? ?y=1-t

代入(x-3) +(y+1) =25,

23

得(-5+t) +(2-t) =25,t -7t+2=0.|t1-t2|= (t1+t2) -4t1t2= 41, 弦长为 2|t1-t2|= 82. 答案 C 1 ? ?x=1+2t, 3.直线? 3 y=-3 3+ t ? ? 2

2

2

2

2

(t 为参数)和圆 x +y =16 交于 A,B 两点,则 AB 的中点坐标为

2

2

( A.(3,-3) C.( 3,-3) B.(- 3,3) D.(3,- 3)

).

2 3 ?2 ? 1 ? ? 解析 ?1+ t? +?-3 3+ t? =16, ? 2 ? ? 2 ? 得 t -8t+12=0,t1+t2=8,
2

t1+t2
2

=4,

1 x=1+ ?4 ? 2 ? ?x=3 中点为? ?? 3 ?y=- ? ?y=-3 3+ 2 ?4 答案 D 4.过点(0,2)且与直线?

3

.

?x=2+t, (t 为参数)互相垂直的直线方程为 ?y=1+ 3t
B.?

(

).

A.?

?x= 3t ?y=2+t ?x=- 3t ?y=2-t

?x=- 3t ?y=2+t
D.?

C.?

?x=2- 3t ?y=t

解析 直线?

?x=2+t, 化为普通方程为 y= 3x+1-2 3,其斜率 k1= 3, ?y=1+ 3t ?x=- 3t, 3 ,故参数方程为? 3 ?y=2+t

设所求直线的斜率为 k,由 kk1=-1,得 k=- (t 为参数). 答案 B 二、填空题

24

5.已知直线 l1:?

?x=1+3t, ? ? ?y=2-4t

(t 为参数)与直线 l2:2x-4y=5 相交于点 B,又点 A(1,2),

则|AB|=________. 解析 将? 5 |AB|= . 2 答案 5 2
?x=1+3t, ?

1 ?5 ? 代入 2x-4y=5,得 t= ,则 B? ,0?,而 A(1,2),得 2 ?2 ? ? ?y=2-4t

1 ? ?x=2-2t, 6.直线? (t 为参数)被圆 x +y =4 截得的弦长为________. 1 ? ?y=-1+2t
2 2

解析 直线为 x+y-1=0,圆心到直线的距离 d=

1 2



2 ,弦长 d= 2

2 答案

2 -?
2

? 2?2 ? = 14. ?2?

14

3 2 7.经过点 P(1,0),斜率为 的直线和抛物线 y =x 交于 A、B 两点,若线段 AB 中点为 M, 4 则 M 的坐标为____________. 4 x=1+ t, ? ? 5 直线的参数方程为? (t 是参数),代入抛物线方程得 3 ? ?y=5t

解析

9t -20t-25=0. 1 20 10 ∴中点 M 的相应参数为 t= ? = . 2 9 9

2

?17 2? ∴点 M 的坐标是? , ?. ? 9 3? ?17 2? 答案 ? , ? ? 9 3?
2 ? ?x=-4+ 2 t, 8.设直线的参数方程为? (t 为参数), 2 ? ?y= 2 t 点 P 在直线上,且与点 M0(-4,0)的距离为 2,若该直线的参数方程改写成

25

?x=-4+t, ? ? (t 为参数),则在这个方程中点 P 对应的 t 值为________. ? ?y=t

解析 由|PM0|= 2知,t=± 2,代入第一个参数方程,得点 P 的坐标分别为 (-3,1)或(-5,-1),再把点 P 的坐标代入第二个参数方程可得 t=1 或 t =-1. 答案 ±1 三、解答题 9.已知椭圆的参数方程? 参数)的最短距离. 解 由题意,得 P(3cos θ ,2sin θ ),直线:2x+3y-10=0. |6cos θ +6sin θ -10| ? d= = 13
?x=3cos θ , ? ? ?y=2sin θ

(θ 为参数),求椭圆上一点 P 到直线?

?x=2-3t ? ? ?y=2+2t

(t 为

?6 2sin?θ +π ?-10? ? ? ? 4? ? ? ?
13



π? ? 而 6 2sin?θ + ?-10∈[-6 2-10,6 2-10]. 4? ?

?6 2sin?θ +π ?-10? ? ? ? ?10-6 2 10+6 2? 4? ? ? ? ? , ∴ ∈? ?. 13 13 ? 13 ?
10-6 2 ∴dmin= . 13
? ?x=-1+3t, ?y=2-4t ?

10.已知直线的参数方程为? 两点. (1)求|AB|的长;

(t 为参数),它与曲线(y-2) -x =1 交于 A、B

2

2

(2)求点 P(-1,2)到线段 AB 中点 C 的距离. 解 (1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t +6t-2=0. 设 A、B 对应的参数分别为 t1、t2, 6 2 则 t1+t2=- ,t1t2=- . 7 7 所以,线段|AB|的长为 10 2 2 2 3 +(-4) |t1-t2|=5 (t1+t2) -4t1t2= 23. 7
2

26

(2)根据中点坐标的性质可得 AB 中点 C 对应的参数为

t1+t2
2

3 =- . 7

所以,由 t 的几何意义可得点 P(-1,2)到线段 AB 中点 C 的距离为

? 3? 15 2 2 3 +(-4) ??- ?= . ? 7? 7
π 11.(直线参数方程意义的考查)已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α = . 3 (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 C:? 点的距离之积. π ? ?x=1+tcos 3 , (1)直线 l 的参数方程为? π y=1+tsin , ? ? 3
? ?x=2cos θ , ?y=2sin θ ?

(θ 为参数)相交于点 A、B,求点 P 到 A、B 两



1 x=1+ t ? 2 ? 即? . 3 ? ?y=1+ 2 t (2)圆 C:?
?x=2cos θ , ? ?y=2sin θ ?

的普通方程为 x +y =4.

2

2

1 ? ?x=1+2t, 把直线? 代入 x +y =4, 3 ? ?y=1+ 2 t
2 2

2 3 ?2 ? 1 ? ? 得?1+ t? +?1+ t? =4, ? 2 ? ? 2 ?

t2+( 3+1)t-2=0,t1t2=-2.
则点 P 到 A、B 两点的距离之积为 2.

本讲质量评估(一)
(时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.在极坐标系中有如下三个结论:
27

①点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程; π ②tan θ =1 与 θ = 表示同一条曲线; 4 ③ρ =3 与 ρ =-3 表示同一条曲线. 在这三个结论中正确的是 A.①③ B.① C.②③ D.③ ( ).

解析 点 P 在曲线 C 上要求点 P 的极坐标中至少有一个满足 C 的极坐标方程; π 5 tan θ =1 能表示 θ = 和 θ = π 两条射线;ρ =3 和 ρ =-3 都表示以极点为 4 4 圆心,以 3 为半径的圆,∴只有③成立. 答案 D π? ? 2.已知点 M 的极坐标为?-5, ?,下列所给出的四个坐标中不能表示点 M 的坐标的是 3? ? ( ).

? π? A.?5, ? 3? ?
2π ? ? C.?5,- ? 3 ? ? 答案 A

? 4π ? B.?5, ? 3 ? ?
5π ? ? D.?-5,- ? 3 ? ?

3.点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的极坐标为

(

).

? π? A.?2, ? 3? ?
π? ? C.?2,- ? 3? ?

? 4π ? B.?2, ? 3 ? ?
4π ? ? D.?2,- ? 3 ? ?

解析 因为点 P(1,- 3)在第四象限,与原点的距离为 2,且 OP 与 x 轴所 5π 4π ? 5π ? 成的角为 ,所以点 P 的一个极坐标为?2, ?,排除 A、B 选项,- + 3 ? 3 3 ? 4π ? 2π ? 2π = ,所以极坐标?2,- ?所表示的点在第二象限. 3 ? 3 ? 答案 D

?π ? 4.极坐标 ρ =cos? -θ ?表示的曲线是 ?4 ?
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆

(

).

解析 常见的是将方程化为直角坐标方程,可以判断曲线形状,由于 ρ 不恒 等于 0,方程两边同乘 ρ , 2 2 ? 2 ? ?π ? 2 得 ρ =ρ cos? -θ ?=ρ ? cos θ + sin θ ?= ρ (cos θ +sin θ ), ?4 ? 2 ?2 ? 2
28

即ρ =

1

(cos θ +sin θ ), 2ρ =ρ cos θ +ρ sin θ . 2

2

在以极点为原点,以极轴为 x 轴正半轴的直角坐标系中, ρ cos θ =x,ρ sin θ =y,ρ =x +y , 因此有 x +y = 答案 D 5.在极坐标系中,与圆 ρ =4sin θ 相切的一条直线方程为 A.ρ sin θ =2 C.ρ cos θ =4 B.ρ cos θ =2 D.ρ cos θ =-4 ( ).
2 2 2 2 2

2 ?π ? (x+y),故方程 ρ =cos? -θ ?表示圆. 2 ?4 ?

解析 如图所示,⊙C 的极坐标方程为 ρ =4sin θ ,

CO⊥Ox,OA 为直径,|OA|=4,l 和圆相切,l 交极
轴于 B(2,0),点 P(ρ ,θ )为 l 上任意一点, |OB| 2 则有 cos θ = = ,得 ρ cos θ =2. |OP| ρ 答案 B 6.圆 ρ = 2(cos θ +sin θ )的圆心坐标是 ( ).

? π? A.?1, ? 4? ?
π? ? C.? 2, ? 4? ? 解析 可化为直角坐标方程?x-

?1 π ? B.? , ? ?2 4 ? ? π? D.?2, ? 4? ? ? ?
2?2 ? 2?2 ? +?y- ? =1 或化为 ρ = 2? ? 2?

π? ? 2cos?θ - ?,这是 ρ =2rcos(θ -θ 0)形式的圆的方程. 4? ? 答案 A 1 7.极坐标方程 ρ =cos θ 与 ρ cos θ = 的图形是 2 ( ).

29

解析 ρ =cos θ 两边同乘以 ρ 得 ρ =ρ cos θ 1 ?1 ? 2 2 化为直角坐标方程为 x +y -x=0 表示圆,ρ cos θ = 表示过点? ,0?与极轴 2 ?2 ? 垂直的直线. 答案 B 8.化极坐标方程 ρ cos θ -ρ =0 为直角坐标方程为 A.x +y =0 或 y=1 C.x +y =0 或 x=1
2 2 2 2 2

2

(

).

B.x=1 D.y=1
2 2

解析 ρ (ρ cos θ -1)=0,ρ = x +y =0,或 ρ cos θ =x=1, 即 x +y =0 或 x=1. 答案 C 9.极坐标方程 ρ cos θ =2sin 2θ 表示的曲线为 A.一条射线和一个圆 C.一条直线和一个圆 B.两条直线 D.一个圆 ( ).
2 2

解析 ρ cos θ =4sin θ cos θ ,cos θ =0,或 ρ =4sin θ , π 2 2 2 即 ρ =4ρ sin θ ,则 θ =kπ + 或 x +y =4y. 2 答案 C π? ? 10.在极坐标系中,曲线 ρ =4sin?θ - ?关于 3? ? π A.直线 θ = 对称 3 5π B.直线 θ = 对称 6 D.极点中心对称 ( ).

? π? C.点?2, ?中心对称 3? ?

30

π? 5 ? ? ? 解析 化 ρ =4sin?θ - ?可得 ρ =4cos?θ - π ?, 3? 6 ? ? ? π? 5 ? 5 ? ? 表示以?2, π ?为圆心的圆,故曲线ρ =4sin?θ - ?关于直线 θ = π 对称. 3? 6 ? 6 ? ? 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在题中的横线上) 11.极坐标方程分别为 ρ =cos θ 与 ρ =sin θ 的两个圆的圆心距为________. 2 ?1 ? ? 1? 解析 两圆的圆心分别为? ,0?和?0, ?,∴圆心距为 . 2 2 2 ? ? ? ? 答案 2 2

π 12.已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ cos θ =3,ρ =4cos θ (ρ ≥0,0≤θ < ), 2 则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为________.
? ?ρ cos θ =3 π 解析 由? (ρ ≥0,0≤θ < ), 2 ?ρ =4cos θ ?

? ?ρ =2 3 ?2 3,π ?. 解得? ? π ,即两曲线的交点为? 6? ? θ = ? 6 ?
π? ? 答案 ?2 3, ? 6

?

?

π? ? 13.在极轴上与点?4 2, ?的距离为 5 的点的坐标是________. 4? ? 解析 设所求点的坐标为(ρ ,0),则 ρ +(4 2) -2?4 2ρ cos
2 2 2

π =5. 4

即 ρ -8ρ +7=0,解得 ρ =1 或 ρ =7.∴所求点的坐标为(1,0)或(7,0). 答案 (1,0)或(7,0)

14.在极坐标系(ρ ,θ )(0≤θ <2π )中,曲线 ρ =2sin θ 与ρ cos θ =-1 的交点的极 坐标为________. 解析 ∵ρ =2sin θ ,∴x +y =2y. ∵ρ cos θ =-1,∴x=-1,∴两曲线交点的直角坐标为(-1,1), 3π ? ∴交点的极坐标为? 2, 4 ?
2 2

?. ? ?

31

3π ? ? 答案 ? 2, ? 4 ? ? 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) 15.在同一平面直角坐标系中,将直线 x-2y=2 变成直线 2x′-y′=4,求满足图象变换 的伸缩变换. 解 设变换为?
? ?x′=λ ?y′=μ ?

x, y

代入第二个方程,

得 2λ x-μ y=4 与 x-2y=2 比较,将其变成 2x-4y=4,比较系数得 λ =1,μ =4. ∴伸缩变换公式为?
?x′=x, ? ?y′=4y. ?

即直线 x-2y=2 图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的 4 倍可得 到直线 2x′-y′=4. 16.在直角坐标系中,已知三点 P(2 3,2),Q(4,-4),R(6,0). (1)将 P、Q、R 三点的直角坐标化为极坐标; (2)求△PQR 的面积. π? ? π? ? 解 (1)P?4, ?,Q?4 2,- ?,R(6,0). 6? ? 4? ? (2)S△PQR=S△POR+S△OQR-S△POQ 1 π 1 π 1 ?π π ? = ?4?6?sin + ?4 2?6?sin - ?4?4 2sin? + ? 2 6 2 4 2 ?6 4? =14-4 3. 17.根据曲线的极坐标方程判定曲线类型. θ θ (1)ρ sin cos =1; 2 2 (2)ρ (25-16cos θ )=225. θ θ 解 (1)∵ρ sin cos =1, 2 2 θ θ ∴2ρ sin cos =2,即 ρ sin θ =2, 2 2 ∴y=2,为平行于 x 轴的直线. (2)将 ρ =x +y ,ρ cos θ =x 代入 ρ (25-16cos θ )=225 得
32
2 2 2 2 2 2 2

25x +25y -16x =225, ∴9x +25y =225, ∴ + =1,为焦点在 x 轴上的椭圆. 25 9 18.设极点 O 到直线 l 的距离为 d,由点 O 向直线 l 作垂线, 由极轴到垂线 OA 的角度为 α (如图所示).求直线 l 的极 坐标方程. 解 在直线 l 上任取一点 M(ρ ,θ ).在直角三角形
2 2

2

2

2

x2

y2

OMA 中,由三角知识得
ρ cos(α -θ )=d,即 ρ = . cos(α -θ ) 这就是直线 l 的极坐标方程. 19.(1)在极坐标系中,求以点(1,1)为圆心,半径为 1 的圆 C 的方程; π (2)将上述圆 C 绕极点逆时针旋转 得到圆 D,求圆 D 的方程. 2 解 (1)设 M(ρ ,θ )为圆上任意一点,如图,圆 C 过极点

d

O,∠COM=θ -1,作 CK⊥OM 于 K,则 ρ =|OM|=2|OK|
=2cos(θ -1), ∴圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cos(θ -1). π (2)将圆 C:ρ =2cos(θ -1)按逆时针方向旋转 得到圆 D: 2 π? ? ρ =2cos?θ -1- ?,即 ρ =-2sin(1-θ ), 2? ? ∴ρ =2sin(θ -1)为所求.

本讲质量评估(二)
(时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1 ? ?x=t, 1.参数方程? (t 为参数)所表示的曲线是 1 ?y=t t -1 ?
2

(

).

33

1 1 1 2 解析 将参数方程进行消参,则有 t= ,把 t= ,代入 y= t -1中,得当

x

x

t

x>0 时,x2+y2=1,此时 y≥0;当 x<0 时,x2+y2=1,此时 y≤0.对照选项,
可知 D 正确. 答案 D 2.直线?

?x=-2- 2t, ?y=3+ 2t

(t 为参数)上与点 P(-2,3)的距离等于 2的点的坐标是( B.(-3,4) D.(-4,5)或(0,1)

).

A.(-4,5) C.(-3,4)或(-1,2)

解析 可以把直线的参数方程转化成标准式,或者直接根据直线参数方程的 非标准式中参数的几何意义可得 (- 2) +( 2) ?|t|= 2,
2 2

可得 t=±

?x=-3, ? ?x=-1, ? 2 ,将 t 代入原方程,得? 或? 所以所求点的坐标 2 ? ? ?y=4 ?y=2,

为(-3,4)或(-1,2). 答案 C 3.在方程?
? ?x=sin θ , ?y=cos 2θ ?

(θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为

(

).

A.(2,-7)

?1 2? B.? , ? ?3 3?
D.(1,0)

?1 1? C.? , ? ?2 2?

34

解析 把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性,普通方程是 y=1-2x (-1≤x≤1),再根据选择项逐个代入进行检验即可. 答案 C 4.若 P(2,-1)为圆? 的直线方程为 A.x-y-3=0 C.x+y-1=0 解析 ∵由?
?x=1+5cos θ ? ? ?y=5sin θ ? ?x=1+5cos θ , ?y=5sin θ ?

2

(θ 为参数且 0≤θ <2π )的弦的中点,则该弦所在 ( ).

B.x+2y=5 D.2x-y-5=0 消去 θ 得,(x-1) +y =25
2 2

∴圆心 C(1,0),∴kCP=-1,∴弦所在的直线的斜率为 1 ∴弦所在的直线方程为 y-(-1)=1?(x-2) 即 x-y-3=0. 答案 A 5.下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x -y=0 表示同一曲线的方程是( A.?
?x=|t| ? ?y=t ?
2

).

B.?

?x=cos ? ?y=cos ?
2

t t

x=tan t ? ? C.? 1+cos 2t y= ? ? 1-cos 2t

x=tan t ? ? D.? 1-cos 2t y= ? ? 1+cos 2t
2 2

解析 注意参数范围,可利用排除法.普通方程 x -y=0 中的 x∈R,y≥0.A 2cos t 2 中 x=|t|≥0,B 中 x=cos t∈[-1,1],故排除 A 和 B.而 C 中 y= =cot t 2 2sin t 1 1 2 = 2 = 2,即 x y=1,故排除 C. tan t x 答案 D 6.直线 3x-4y-9=0 与圆? A.相切 C.直线过圆心
? ?x=2cos θ , ?y=2sin θ ?

(θ 为参数)的位置关系是

(

).

B.相离 D.相交但直线不过圆心
2 2

解析 把圆的参数方程化为普通方程,得 x +y =4,得到半径为 2,圆心为 (0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线
35

和圆的位置关系. 答案 D 1 ? ?x=t+ , t (t 为参数)所表示的曲线是 7.参数方程? ? ?y=-2 A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 ( ).

D.两条直线

解析 根据参数中 y 是常数可知,方程表示的是平行于 x 轴的直线,再利用 不等式知识求出 x 的范围可得 x≤-2 或 x≥2,可知方程表示的图形是两条射 线. 答案 B 8.设 r>0,那么直线 xcos θ +ysin θ =r 与圆?
?x=rcos φ , ? ?y=rsin φ ?

(φ 是参数)的位置关系是 ( ).

A.相交 C.相离

B.相切 D.视 r 的大小而定

解析 根据已知圆的圆心在原点,半径是 r,则圆心(0,0)到直线的距离为 d = |0+0-r| cos θ +sin θ
2 2

=r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.

答案 B 9.过点(0,2)且与直线?

?x=2+t, (t 为参数)互相垂直的直线方程为 ?y=1+ 3t
B.?

(

).

A.?

?x= 3t ?y=2+t ?x=- 3t ?y=2-t

?x=- 3t ?y=2+t
D.?

C.?

?x=2- 3t ?y=t

解析 直线?

?x=2+t, 化为普通方程为 y= 3x+1-2 3,其斜率 k1= 3, ?y=1+ 3t ?x=- 3t 3 ,故参数方程为? (t 3 ?y=2+t

设所求直线的斜率为 k,由 kk1=-1,得 k=- 为参数). 答案 B

36

10.若圆的方程为?

?x=-1+2cos θ , ? ? ?y=3+2sin θ

(θ 为参数),直线的方程为?

?x=2t-1, ? ? ?y=6t-1

(t 为参数),

则直线与圆的位置关系是 A.相交过圆心 C.相切
2

( B.相交但不过圆心 D.相离
2

).

解析 圆的标准方程为(x+1) +(y-3) =4, 直线的方程为 3x-y+2=0, 圆心坐标为(-1,3), 易验证圆心不在直线 3x-y+2=0 上. |-1?3-3+2| 4 而圆心到直线的距离 d= = <2, 2 2 3 +(-1) 10 ∴直线与圆相交. 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确答案填在题中的横线上) 11.圆的参数方程为?

?x=2+4cos θ , 4 (0≤θ <2π ),若圆上一点 P 对应参数 θ = π , 3 ?y=- 3+4sin θ

则 P 点的坐标是________. 4 解析 当 θ = π 时, 3

x=2+4cos π =0, y=- 3+4sin π =-3 3,
∴点 P 的坐标是(0,-3 3). 答案 (0,-3 3) 12.已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C:? ________. 解析 圆方程为(x-1) +(y-1) =4, ∴d= |1-1+4| 1 +(-1)
2 2 2 2

4 3

4 3

?x=1+2cos θ ? ?y=1+2sin θ ?

,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为

=2 2,

∴距离最小值为 2 2-2. 答案 2 2-2
37

13.已知 P 为椭圆 4x +y =4 上的点,O 为原点,则|OP|的取值范围是________. 解析 由 4x +y =4,得 x + =1. 4 令?
?x=cos φ ? ?y=2sin φ ?
2 2 2 2 2

2

2

y2

(φ 为参数),
2 2 2 2

则|OP| =x +y =cos φ +4sin φ =1+3sin φ . ∵0≤sin φ ≤1,∴1≤1+3sin φ ≤4, ∴1≤|OP|≤2. 答案 [1,2]
2 2

x=2t, ? ? 14.点(-3,0)到直线? 2 (t 为参数)的距离为________. y= t ? 2 ? x=2t ? ? 解析 ∵直线? 2 的普通方程为 x-2 2y=0, y= t ? 2 ?
∴点(-3,0)到直线的距离为 d= 答案 1 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) 15.已知 x,y 满足(x-1) +(y+2) =4,求 S=3x-y 的最值. 解 由(x-1) +(y+2) =4 可知曲线表示以(1,-2)为圆心,半径等于 2 的 圆.令 x=1+2cos θ ,y=-2+2sin θ ,则 S=3x-y=3(1+2cos θ )-(-2 +2sin θ )=5+6cos θ -2sin θ =5+2 10sin(θ +φ )(其中 tan φ =-3), 所以,当 sin(θ +φ )=1 时,S 有最大值 5+2 10; 当 sin(θ +φ )=-1 时,S 有最小值为 5-2 10. 所以 S 的最大值 Smax=5+2 10;
2 2 2 2

|-3-0| 1+(-2 2)
2

=1.

S 的最小值 Smin=5-2 10.
16.如图所示,连结原点 O 和抛物线 y=2x 上的动点 M,延长
2

OM 到点 P,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹.

38

1 2 解 因为抛物线标准方程为 x = y, 2 1 x= t, ? ? 2 所以它的参数方程为? (t 为参数), 1 ? ?y=2t
2

? ? 得 M? , ?.设 P(x,y),则 M 是 OP 的中点, ?2 2 ?
1 0+x ? ?2t= 2 , ? ?x=t, 所以? 即? (t 为参数), ?y=t 1 0+y ? ? ?2t = 2 ,
2 2

t t2

消去参数 t,得 y=x .

2

? 1? 2 所以,点 P 的轨迹方程为 y=x ,它是以 y 轴为对称轴,焦点为?0, ?的抛物 ? 4?
线. 17.已知点 A 为椭圆 + =1 上任意一点,点 B 为圆(x-1) +y =1 上任意一点,求|AB| 25 9 的最大值和最小值. 解 化椭圆普通方程为参数方程?
?x=5cos θ , ? ? ?y=3sin θ

x2

y2

2

2

(θ 为参数),圆心坐标为 C(1,

0),再根据平面内两点之间的距离公式可得 |AC|= (5cos θ -1) +9sin θ = 16cos θ -10cos θ +10 = 5 ?2 135 ? 16?cos θ - ? + , 16? 16 ?
2 2 2

5 3 15 所以,当 cos θ = 时,|AC|取最小值为 ; 16 4 当 cos θ =-1 时,|AC|取最大值为 6. 5 3 15 所以,当 cos θ = 时,|AB|取最小值为 -1; 16 4 当 cos θ =-1 时,|AB|取最大值为 6+1=7. 18.设直线 l 的参数方程为?
? ?x=3+tcos α , ?y=4+tsin α ?

(t 为参数,α 为倾斜角),圆 C 的参数方程为

? ?x=1+2cos θ , ? (θ 为参数). ?y=-1+2sin θ ?

(1)若直线 l 经过圆 C 的圆心,求直线 l 的斜率.

39

(2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点,求直线 l 的斜率的取值范围. 解 (1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4),而圆 C 的圆心是 C(1,-1), 5 所以,当直线 l 经过圆 C 的圆心时,直线 l 的斜率为 k= . 2 (2)由圆 C 的参数方程?
? ?x=1+2cos θ , ?y=-1+2sin θ ?

得圆 C 的圆心是 C(1,-1),半径为 2,

由直线 l 的参数方程为?

? ?x=3+tcos α , ?y=4+tsin α ?

(t 为参数,α 为倾斜角),

得直线 l 的普通方程为 y-4=k(x-3), 即 kx-y+4-3k=0, 当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径, |5-2k| 21 即 <2,由此解得 k> . 2 20 k +1

?21 ? 直线 l 的斜率的取值范围为? ,+∞?. ?20 ?
? ?x=cos θ , 19.已知曲线 C1:? (θ 为参数),曲线 C2: ?y=sin θ ?

2 ? ?x= 2 t- ? 2 ? ?y= 2 t

2, (t 为参数).

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C′1,C′2. 写出 C′1,C′2 的参数方程.C′1 与 C′2 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数 是否相同?说明你的理由. 解 (1)C1 是圆,C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2+y2=1,圆心 C1(0,0),半径 r=1. C2 的普通方程为 x-y+ 2=0.
因为圆心 C1 到直线 x-y+ 2=0 的距离为 1, 所以 C2 与 C1 只有一个公共点.

x=cos θ , ? ? (2)压缩后的参数方程分别为 C′1:? 1 y= sin θ , ? ? 2
2 ? ?x= 2 t- 为参数),C′ :? 2 ? ?y= 4 t
2

2, (t 为参数),



40

1 2 2 2 化为普通方程为 C′1:x +4y =1,C′2:y= x+ , 2 2 联立消元得 2x +2 2x+1=0, 其判别式 Δ =(2 2) -4?2?1=0, 所以压缩后的直线 C′2 与椭圆 C′1 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点的 个数相同.
2 2

41


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