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湖北省2012-2013学年度高二上学期期中考试数学理科


2012-2013 学年度高二上学期期中考试
数 学 (理)试 题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷共 150 分。考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题部分,共 50 分)
注意事项: 1、 答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上。 2、 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A.2 B .4 C.8 ) D.16 )

2、过点(1,0)且与直线 x-2 y-2=0 平行的直线方程是( A. x-2 y-1=0 C.2x+y-2=0 3、以下有关命题的说法错误的是(
2

B. x-2 y +1=0 D. x+2 y-1=0 )

A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题 为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”
2

B.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 C.“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

D.对于命题 p : ?x ?R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ?R ,则 x ? x ? 1 ? 0
2 2

4、 已知 a,b 是两条不重合的直线,? ,? 是两个不重合的平面,下列命题中正确的是 ( A. a //b,b //? ,则a //? C. a ? ? ,b//? ,则a ? b B. a,b ? ? ,a //? ,b //? ,则? //?



D. 当a ? ? ,b ? ?时,若b //? ,则a //b

5、从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么对立的两个 事件是( ) B.至少有 1 个白球,都是红球 D.至少有 1 个白球,都是白球

A.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球 C.恰有 1 个白球,恰有 2 个白球

6、甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则(

)

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 7、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )

16? 3 4? C. 3
A. 8、 已知椭圆

19? 12 19? D. 3
B.

x2 F 在长轴 A1 A2 上任取一点 M , M 作垂直于 A1 A2 过 ? y 2 ? 1 的焦点为 F1 , 2 , 4
???? ???? ?


的直线交椭圆于点 P ,则使得 PF1 ? PF2 ? 0 的点 M 的概率为(

A.

2 3

B.

6 3

C.

2 6 3
2 2

D.

1 2

9、设 m ,n ? R ,若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) +(y ? 1) =1 相切,则 m+n 的 取值范围是( ) B. ( ? ?,1 ? 3] ? [1+ 3,+?) D. ( ? ?,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?)

A. [1 ? 3,1+ 3] C. [2 ? 2 2,2+2 2]

x2 y 2 10、设 F1、F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,点 P 为双曲线右支上任意一 a b
点,若

PF1 PF2

2

的最小值为 8a ,则双曲线离心率 e 的取值范围是( B. ?3,+? ? C. ?1,2 ?

) D. ? 2,+? ?

A. ?1,3?

第Ⅱ卷(非选择题部分,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、用秦九韶算法计算多项式 f (x)=3x +5 x +7 x +8 x +1 ,当 x=0.4 时的值时,需要做乘 法和加法的次数共有 次。
?
6 4 2

12、某单位为了了解用电量 y 度与气温 x C 之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当 天气温,并制作了对照表: 气温( C ) 用电量(度)
?

?

18 24

13 34

10 38
?

-1 64

由表中数据得线性回归方程 y =bx +a 中 b=-2 ,预测当气温为 ?4 C 时,用电量的度数 约为________。 13、如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? 。 B ? l ,

AB 与 l 所成的角为 30°,则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是
14、设命题 p :



? ?A
? B
?

3a +5 ? 2 , q :函数 y =x 2 +4 x+4(a+2) 只有负零点.则 p 是 a +2
。(填条件命题)

q 成立的

15、在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下列命题中正确的 是__ _(写出所有正确命题的编号) 。

①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)

, 16 、( 本 题 12 分 ) 已 知 命 题 p : ? x ? 1 ,? 2 x ? a ? ,0命 题 q : ? x ? R, ? 0
2

x0 2 ? (a ? 1) x0 ? 1 ? 0 。若“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,求实数 a 的取值范围.

17、 (本题 12 分)某校高二数学竞赛初赛考试后,对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若 130~ 140 分数段的人数为 2 人. (1)估计这所学校成绩在 90~140 分之间学生的参赛人数; (2)估计参赛学生成绩的众数、中位数和平均数.

18、 (本题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是边长为 1 的菱形, ?DAB ? 60 , PA ? PD ? 且
0

2 , PB ? 2, E , F 分别是

(1) 证明: AD ? 平面DEF ; (2)求二面角 BC , PC 的中点.

P ? AD ? B 的余弦值.

19、(本题 12 分)已知函数 f (x)=ax -2bx +a(a,b ? R) .
2

(1)若 a 从集合 ?0,1, 2,3? 中任取一个元素,b 从集合 ?0,1, 2,3? 中任取一个元素,求方程

f (x)=0 恰有两个不相等实根的概率;
(2)若 b 从区间 ? 0, 2 ? 中任取一个数, a 从区间 ? 0, 3? 中任取一个数,求方程 f (x)=0 没 有实根的概率.

20、 (本题 13 分)已知圆 O:x +y =1 和定点 A ? 2,1? ,由圆 O 外一点 P ? a ,b ? 向圆 O 引切线
2 2

PQ ,切点为 Q ,且满足 PQ ? PA 。
(1) 求实数 a,b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值;

(3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试求半径取最小值时的圆 P 的方程。

x2 y2 21、 (本题 14 分)已知动直线 l 与椭圆 C : ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? 两不同 3 2
点,且 ?OPQ 的面积 S ?OPQ =
2 2 2 2

6 ,其中 O 为坐标原点。 2

(1) 证明 x1 ? x2 和 y1 ? y2 均为定值;(2) 设线段 PQ 的中点为 M , | O | |? P | 求 M Q 的最大值; (3)椭圆 C 上是否存在点 D, E , G ,使得 S?ODE ? S?ODG ? S ?OEG ?

6 ,若存在,判断 2

?DEG 的形状;若不存在,请说明理由。


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