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复合函数求导

时间:2015-04-18


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内容(课题)复合函数求导 教学目标
知识目标: (1)会利用函数模型来表示实际问题中的变量之间的关系; (2)会利用函数导数的性质来求解实际生 活中的最值问题 能力目标:锻炼学生的实际解决问题的能力 情感目标:培养学生的学习兴趣与自信心

重、难点

/>重点:会利用函数模型来表示实际问题中的变量之间的关系

难点:会利用函数导数的性质来求解实际生活中的最值问题

教学过程 1.回顾上节课知识 2.检查作业 3.答疑 4.新课讲授

复合函数的导数
若 y= f (u),u= ? ( x ) ? y= f [ ? ( x) ],则 y ? x= 若 y= f (u),u= ? (v) ,v=? ( x)

f ?(u)? ?( x)
f ?(u)? ?(v)? ?( x)

?

y= f [ ? (? ( x)) ],则 y ? x=

复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的,且要求这些中间变量均为基本 初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内,逐层求导。 例 1 函数 y ?

1 的导数. (1 ? 3x) 4

例2求y?5

x 的导数. 1? x

例 3 求下列函数的导数 第 1 页 (共 8 页)

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y ? 3 ? 2x

例 4 求下列函数的导数 y=

1 ? 2x cos x

例 5 设 y ? ln(x ? x ? 1) 求 y ? .

例 6 求 y=(x2-3x+2)2sin3x 的导数.

课后作业
1.求下函数的导数. (1) y ? cos

x 3

(2) y ? 2x ?1

2.(1)y=(5x-3)4

(2)y=(2+3x)5

(3)y=(2-x2)3

(4)y=(2x3+x)2

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3.(1)y=

1 (2 x ? 1) 3
2

(2)y= 4

? 1 (3)y=sin(3x- ) 6 3x ? 1

(4)y=cos(1+x2)

4.⑴ y ? (2 ? x 2 ) 3 ;

⑵ y ? sin x 2 ;⑶ y ? cos(

?
4

? x) ; ⑷ y ? ln sin(3x ? 1) .

5.求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x; (2) y ?

sin 2 x 2x ? 1

(3)y= loga ( x 2 ? 2)

6.求 ln(2 x ? 3x ? 1) 的导数
2

导数在最优化问题中的应用
◎基础重现: 1.求函数 f(x)的极值的步骤: ①确定函数的定义区间,求 ; ②求方程 f( ' x) =0 的根. 用函数的导数为 0 的点, 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间, 并列成表格.检 查 f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左 右 ,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左 右 , 那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,即都为正或都为负,则 f(x)在这个根处无极值. 2.解决实际应用问题: 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系, 并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再化为常规问题,选择合适的数学方法求解.根据题设 条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化 区间,构造相应的函数关系,是这部分的主要技巧. 第 3 页 (共 8 页)

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◎思维升华: 1.解决实际问题时,关键是什么步骤?最易出错的地方是哪里? 2.体积 V 给定的正圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径 r 和高 h)为多少?

※ 基础自测
1.有一长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_______m2.

2.把 8 分成两个正整数的和,其一个的立方与另一个的平方和最小,则这两个正整数分别为____________.

3.已知球的直径为 d,求当其内接正四棱柱体积最大时,正四棱柱的高为



※ 经典例题 ○题型一 导数在生产生活最优化问题中的的应用
例 1.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(t)与每吨产品的价格 p(元/t)之间的关系式为:p=24200 -

1 2 x ,且生产 x t 的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多 5

少?(利润=收入-成本)

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变式训练:某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和 桥墩, 经预测, 一个桥墩的工程费用为 256 万元, 距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元. 假 设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

○题型二 导数在探索性最优化问题中的的应用 例 2.有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km
的 B 处,乙厂到海岸的垂足 D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水 管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元,问供水站 C 建在何处才能使水管费用最省?

变式训练:如图,甲从位于乙的正东 100 km 处开始骑自行车以每小时 20 km 的速度向正西方向前进,与此同 时,乙以每小时 10 km 的速度向其正北方向跑步前进.问经过多少时间甲、乙相距最近?

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您身边的个性化辅导专家 ○题型三 导数在几何最优化问题中的的应用
例 3. 用总长为 14. 8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架, 如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0. 5 m, 那么高为多少时,容器的容积最大?并求出它的最大容积.

变式训练:如右图,已知曲线 C1:y=x3(x≥0)与曲线 C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于点 O、A,直线 x=t(0<t<1)与曲 线 C1、C2 分别相交于点 B、D. (1)写出四边形 ABOD 的面积 S 与 t 的函数关系 S=f(t); (2)讨论 f(t)的单调性,并求 f(t)的最大值.

【基础级】
1.函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y ? ? x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) = .

2.某工厂需要建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,要使砌墙所用的材料最省, 则堆料场的长和宽各为 m和 m.

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3.今年某公司计划按 200 元/担的价格收购某种农产品,同时按要求以 10%的税率纳税.现计划收购 a 万担, 若将税率降低 x 个百分点,预测收购量可增加 2x 个百分点.当 x= ,才能使税收取得最大值.

4.抛物线 y ?

1 2 x 上与点 A(6, 0) 距离最近点的坐标为 2



5.设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为_____________

【升华级】
6.现有一个帐篷.它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所 示) .试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为 ,帐篷的体积最大.

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7.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析 式可以表示为:y=

1 3 x3 ? x ? 8 (0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米. 128000 80

(Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

8.如图,用宽为 a、长为 b 的 3 块钢板,做成一个断面为等腰梯形的水槽,问倾斜角 θ 为多大时槽的流量最大?

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