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2014年高考数学陕西卷理科第17题解法赏析


17. 2014

年高考数学陕西卷理科第 17 题:

四面体 ABCD 及其三视图如图所示,过被 AB 的中点 E 作平行于 AD , BC 的平面分 别交四面体的棱 BD, DC, CA 于点 F , G, H.

(I)证明:四边形 EFGH 是矩形; (II)求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦值.

(Ⅰ)解法 1:如图,以 D 为坐标原点建立空间直角坐标 系,则 D(0,0,0) ,A(0,0,1) ,B(2,0,0) C(0,2,0)

z A H E F B x D G C y

AD 面EFGH,面EFGH 面ABD=EF, ? AD EF
又 E 为 AB 中点,? F 为 BD 中点 同理:H 为 AC 中点,G 为 DC 中点。

1 所以点 E,F,G,H 的坐标为 E (1,0, ) ,F(1,0,0) ,G 2 1 (0,1,0) ,H(0,1, ) 2

则 EH ? (?1,1,0), FG ? (?1,1,0) 则 EH ? FG ,则四边形 EFGH 为平行四边形。 又 EF ? (0,0, ) , EF ? FG ? 0 ,所以 EF ? FG ,所以四边形 EFGH 为矩形 (宝鸡市陈仓区虢镇中学 刘宗博) 解法 2:如图,将四面体补形为底面边长为 2 高为 1 的长方体。 由于 AD ? BD, AD ? DC, 所以 AD ? 面 BCD, 得到 AD ? FG, 因此 EFGH 是矩形。 (浙江省海盐县教研室 沈顺良)
E D
F

1 2

A
O H

G

C

(Ⅱ)解法:1:取线段 BC 的中点 N,连接 DN 与线段 FG 交于点 M , 连 接 HM , HN 。 因 为 HG // AD, AD ? 面BCD , 所 以

B

A H E F B D M N G C

HG ? 面BCD,故HG ? MN 。 又三角形 BCD 为等腰直角三角
形 , N 为 斜 边 BC 的 中 点 ,
1





,又 MN ? BC, 则MN ? FG,所以MN ? 面EFGH , 所 以 ?NHM为线NH和面EFGH所 成 的 角

HN // AB ,所以 AB 与面 EFGH 所成角和线 NH 与面 EFGH 所成角角的大小相等。 HN ?

1 5 , AB ? 2 2

MN ?

1 1 2 MN 10 ,所以在 Rt?NMH中, DN ? BC ? sin ?MHN ? ? 2 4 2 NH 5
张克 张国耀 杜成珍;西安市曲江第一中学 孔超

(宝鸡市陈仓区虢镇中学 刘宗博;陕西省礼泉一中 华;西北工业大学附属中学 许德刚)

解法 2:如图:取 AD 的中点为 P 则 PF // AB ,所以直线 AB 与平面 EFGH 夹角即为直线 PF 与平面 EFGH 夹角,由(1)知,平面 EFGH ? 平面 DBC ,而平面 PEH 平面 DBC ,所以 平面 PEH ? 平面 EFGH ,取 EH 的中点为 R ,连接 PR ,因为 PE ? PH ? 1 ,则 PR ? EH , 进一步 PR ? 平面 EFGH ,所以 ?PFR 为所求角, 计算知: PF ?
5 , PR ? 2 2 PR sin ?PFR ? ? 2 ? PF 5 2
EFGH 夹角的正弦值为

2 ,所以在 Rt PFR 中有: 2
10 , 即 直 线 AB 与 平 面 5

A P D R H G C

E F B
A

10 . 5 (陕西师范大学附属中学 张文俊;江苏省仪征市南京师 范大学第二附属高级中学 何晓勤)
解法 3: (Ⅱ)过 B 作 BM ? GF 延长线于 M , ,连结 EM .

AD ? BD, AD ? DC

? AD ? 平面 BDC

又 BM ? 平面 BDC , ? BM ? AD.

H E M B F D G C

BM ? AD, EF AD BM ? EF , BM ? GM

?B M ? E F .
? BM ? 平面 EFGH

? EM 是 EB 在平面 EFGH 上的射影,即 ?BEN 为 直线 AB 与平面 EFGH 所成角 ? .
在 Rt ?ABD 中, AD ? 1, BD ? 2,? AB ? 5

E 为中点,? BE ?

5 2

在 Rt ?FDG 中, FD ? 1, DG ? 1,??DFG ? 45

2

在 Rt ?BMF 中, BF ? 1, ?MFB ? 45 ? BM ?

2 2

在 Rt ?BME 中, sin ? ?

BN 2 ? 2 BE

10 5 ? . 2 5

(西北工业大学附属中学 焦和平 许德刚;渭南师范学院数学与信息科学学院,王明军;陕西省礼泉 一中 张克 张国耀 杜成珍;陕西省安康市江北高级中学 郝安军;西安市曲江第一中学 孔超华) 解法 4: (Ⅱ)设点 A 到平面 EFGH 的距离为 h, ∵AD∥平面 EFGH,∴点 A 到平面 EFGH 的距离等于点 D 到平面 EFGH 的距离。 ∵E 是 AB 的中点,∴F,G 分别是 BD,DC 的中点。 ∴在 Rt△DFG 中,由等积法可得点 D 到平面 EFGH 的距离为 1 2 ∴h= 1 2

2。

2 。 又∵AE= 1 2

5,

∴sin ? =

h AE

=1 5

10 .

(陕西省西安市田家炳中学 冯恒仁) 解法 5:由(Ⅰ)知 G、F 分别是 DC、BD 的中点,取 BC 中点 P,连接 PD. 在 ? BDC 中,DB=DC 由(Ⅰ)知 EF ? 平面 BDC
?

?
?

FG BC

?

DP ? BC

?

DP ? FG

?
?

EF ? 平面 BDC
?

?

EF ? DP

DP ? 平面 EFGH

设 DA ? a, DB ? b, DC ? c , a ? 1, b ? 2, c ? 2
? ?? ? ? ?

由题意知 a ? b, a ? c , b ? c

1 AB ? DB ? DA ? b ? a, DP ? (b ? c ) 2
2 2

?

?1 ? 1 2 AB ? DP ? (b ? a) ? ? (b ? c) ? ? c ? 2 ?2 ? 2

?1 ? AB ? (b ? a) ? 5, DP ? ? (b ? c) ? ? 2 ?2 ?
设直线 AB 与平面 EFGH 所成的角为 ? ,则 sin ? ? cos AB, DP ? (陕西省礼泉一中 张克 张国耀 杜成珍) 解法 6:

AB ? DP AB DP

?

2 10 ? 5 5? 2

AD 面EFGH,面EFGH 面ABD=EF, ? AD EF

又 E 为 AB 中点,? F 为 BD 中点 同理:H 为 AC 中点,G 为 DC 中点。 如图所示:三棱锥补全为长方体,由 F , G, H 分别为

BD , DC , AC 的中点,易得平面 EFGH ∥平面 CBIJ
直线 AB 与平面 CBIJ 夹角即为直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 过点 A 作 AM ? IJ 垂足为 M ,连接 BM
3

得 ?ABM 为直线 AB 与平面 CBIJ 夹角 ?

AB ? 5

在直角三角形 AIJ 中, AI ? AJ ? 2 得 AM ? 2

所以 sin ? ?

AM 10 ? AB 5

(西北工业大学附属中学 焦和平;黑龙江省牡丹江市第八中学 孔德泉;浙江省海盐县教研室 沈顺良)

4


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