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假期试卷1


假期试卷 1
1.若点 O 和 F 分别为椭圆 A.2
2

B. 3
2

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 OP FP 的最大值为 4 3 C .6 D.8

2.方程 ax ? by ? ab 和 ax ? by ? 1 ? 0 ( ab ? 0

, a ? b ) ,所表示的曲线可能是( )

3.直线 l: y ? k x ? 2 与曲线 x2 ? y 2 ? 1? x ? 0? 相交于 A、B 两点,则直线 l 倾斜角的取值范围是( ) A. ?0, ? ? B. ?

?

?

? ? ? ? ? ? 3? ? , ? ? , ? ?4 2? ?2 4 ?

C. 0, ?

? ? ? ?? ? ? ? ,? ? ? 2? ?2 ?

D. ?

? ? 3? ? , ? ?4 4 ?

4.方程

x2 y2 ? ? 1 表示曲线 C,给出以下命题: 4 ? t t ?1
②若曲线 C 为双曲线,则 t ? 1 或 t ? 4 ; ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<

①曲线 C 不可能为圆; ③若 1 ? t ? 4 ,则曲线 C 为椭圆;

5 . 2

其中真命题的序号是____________(写出所有正确命题的序号) . 5.曲线 C 是平面内与两个定点 F1 (-1,0)和 F2 (1,0)的距离的积等于常数 a2 (a>1)的点的轨迹.给出下列三个 结论: ①曲线 C 过坐标原点;②曲线 C 关于坐标原点对称;

③若点 P 在曲线 C 上,则△F1 PF2 的面积不大于

1 2 a .其中,正确结论的序号是________. 2

x2 y 2 ? ? 1 的 焦 点 分 别 为 F1 和 F2 , 点 P 在 椭 圆 上 , 如 果 线 段 PF1 的 中 点 在 y 轴 上 , 那 么 6.椭圆 12 3

cos ?F1PF2 ?



7.已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ? 2, 0 ,

?

??

? 2 30 ? 2, 0 ,并且经过点 ? ? 2 , 6 ? ?. ? ?

?

(1)求椭圆的标准方程; 积的最大值.

(2)若斜率为 k 的直线 l 经过点 ? 0, ?2? ,且与椭圆交于不同的两点 A, B ,求 ?OAB 面

8 .已 知 F 1 ,F 2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左 、右焦 点,椭 圆 C 过点 (? 3,1) 且与抛物线 a 2 b2
(1)求椭圆 C 方程;

y 2 ? ?8 x 有一个公共的焦点.

(2)斜率为 k 的直线 l 过右焦点 F2 ,且与椭圆交于 A, B 两点,求弦 AB 的长; (3) P 为直线 x ? 3 上的一点,在第(2)题的条件下,若△ ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程.

9. 设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点, B(0,?1) . 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)若 C 为椭圆上异于 B 一点,且 BF ,求 ? 的值; 1 ? ? CF 1 (Ⅲ)设 P 是该椭圆上的一个动点,求 ?PBF 1 的周长的最大值. 10.已知点 A , B 的坐标分别为 (?2, 0) , (2, 0) .直线 AP , BP 相交于点 P ,且它们的斜率之积是 ? 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 Q 是曲线 C 上的动点,直线 AQ , BQ 分别交直线 l : x ? 4 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 D ,求直线 QB 与直线 BD 的斜率之积的取值范围; (3)在(2)的条件下,记直线 BM 与 AN 的交点为 T ,试探究点 T 与曲线 C 的位置关系,并说明理由. 11.已知点 F 是椭圆

1 ,记动点 P 4

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点,点 M (m, 0) 、 N (0, n) 分别是 x 轴、 y 轴上的动点,且满足 2 1? a
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程;

MN ? NF ? 0 .若点 P 满足 OM ? 2ON ? PO .

(2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A 、 B 两点,直线 OA 、 OB 与直线 x ? ?a 分别交于点 S 、 T ( O 为 坐标原点) ,试判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 12.已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点坐标是 F1 (0, ?1) ,离心率为

3 .(1)求椭圆的标准方程; 3

(2)过 F1 作直线交椭圆于 A, B 两点, F2 是椭圆的另一个焦点,求 S ?ABF2 的取值范围. 13.如图,已知圆 G:x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 2 y ? 0 ,经过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及上顶点 B,过圆外 a2 b2

一点 (m,0)(m ? a) 倾斜角为

5? 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点, 6

B C O F D x

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部, 求 m 的取值范围. 14 .已知椭圆 E 的两 个焦点分别为 F1 (?1,0) 和 F2 (1, 0) ,离心率

e?

2 . 2

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)设直线 l : y ? x ? m(m ? 0) 与椭圆 E 交于 A、B 两点,线段 AB 的 垂直平分线交 x 轴于点 T,当 m 变化时,求△TAB 面积的最大值. 15. 已知椭圆 C 过点 A(1,

3 ) ,两焦点为 F1 (? 3,0) 、F2 ( 3,0) ,O 是坐标原点,不经过原点的直线 l:y ? kx ? m 2

与椭圆交于两不同点 P 、 Q . (1)求椭圆 C 的方程; (2)当 k ? 1 时,求 ?OPQ 面积的最大值;

(3)若直线 OP 、 PQ 、 OQ 的斜率依次成等比数列,求直线 l 的斜率 k .

16.已知椭圆

C:

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) a2 b2 的长轴长是短轴长的两倍,焦距为 2 3 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 M 、 N ,且直线 OM 、 MN 、 ON 的 斜率依次成等比数列,求△ OMN 面积的取值范围.

x2 y2 6 3 17.已知椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A ? 0, ?b ? 和 B ? a,0? 的直线与坐标原点距离为 . 3 2 a b
(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E ? ?1,0? ,若直线 y ? kx ? 2 ? k ? 0? 与椭圆相交于 C , D 两点,试判断是否存在 k 值,使以 CD 为直 径的圆过定点 E ?若存在求出这个 k 值,若不存在说明理由. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线方程为 x ? 4 ,右顶点为 A , a 2 b2
2 5 . 5

上顶点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2 的直线 l 经过点 A ,且点 F 到直线 l 的距离为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P ,当 B, F , P 三点共线时,试确定直线 l 的斜率.

19.已知椭圆

x2 y 2 2 6 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P( ,动点 M(2,t) ( t ? 0 ). , ) ,离心率为 2 a b 2 2 2
(2)求以 OM 为直径且截直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 所得的弦长为 2 的圆的方程;

(1)求椭圆的标准方程;

(3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,证明线段 ON 的长为定值,并求出这个 定值. 20 、 在 直 角坐 标 系 xOy , 椭 圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的 左 、 右 焦点 分 别 为 F1、F2 . 其 中 F2 也 是 抛 物 线 a 2 b2
5 . 3

C2: y2 ? 4 x的焦点,点 M 为 C1与C2 在第一象限的交点,且 MF2 ?
(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

(Ⅱ)若过点 D(4,0)的直线 l与C1 交于不同的两点 A、B,且 A 在 DB 之间,试求 ?AOD与? BOD 面积之比的取值 范围.

1. 在直角坐标系 xOy , 椭圆 C1 :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F1、F2 .其中 F2 也是抛物线 C2:y ? 4 x 2 a b
5 . 3

的焦点,点 M 为 C1与C2 在第一象限的交点,且 MF2 ?

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)若过点 D(4,0)的直线 l与C1 交于不同的两点 A、B,且 A 在 DB 之间,试求 ?AOD与? BOD 面积之比的取值 范围. (Ⅰ)

1 x2 y 2 1) ? ? 1; (Ⅱ) ( , 3 4 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)依题意知 F2 (1,0) ,设 M ( x1 , y1 ) .由抛物线定义得 | MF2 |? 1 ? x1 ?

5 2 2 ? x1 ? ,将 x1 ? 代入抛 3 3 3

2 2 6 2 ( )2 ( ) 2 6 2 2 3 ? 1 及 a 2 ? b2 ? 1,解得 a ? 4, b ? 3 . 物线方程得 y1 ? ,进而由 3 2 ? 3 a b2
故椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1; (Ⅱ)依题意知直线 l 的斜率存在且不为 0,设 l 的方程为 x ? my ? 4 联立椭圆方程 4 3

1 OD ? y 1 y S ? 1 可得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,令 ? ? ?AOD ? ? ? 2 1 S?BOD OD ? y2 y2 2

? y1 ? ? y2 ? m2 ?

1 4(? ? 1) 2 2 ,由 m ? 4 ? ? ? ? 1 . 2 3 10? ? 3? ? 3

试题解析: (Ⅰ)依题意知 F2 (1,0) ,设 M ( x1 , y1 ) . 由抛物线定义得 | MF2 |? 1 ? x1 ?

5 2 ,即 x1 ? . 3 3

1分

将 x1 ?

2 6 2 代人抛物线方程得 y1 ? , 3 3

2分

2 2 6 2 ( )2 ( ) 2 2 3 3 ? 1 及 a 2 ? b2 ? 1,解得 a ? 4, b ? 3 . 进而由 2 ? 2 a b

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 C1 的方程为 4 3

5分

(Ⅱ)依题意知直线 l 的斜率存在且不为 0,设 l 的方程为 x ? my ? 4 代人 整理得 (3m ? 4) y ? 24my ? 36 ? 0
2 2
2 由 ? ? 0 ,解得 m ? 4 .

x2 y 2 ? ?1, 4 3

6分 7分

?24 m ? ? y1 ? y2 ? 3m2 ? 4 ? 设 A( x , y ), B( x , y ) ,则 y1 ? y2 ? 36 ? 3 m2 ? 4 ?
1 1 2 2

① ②
8分

令? ?

S?AOD S?BOD

1 OD ? y 1 y 2 ? 1 且 0 ? ? ? 1. ,则 ? ? 1 OD ? y2 y2 2

9分

?24m ? ( ? ? 1) y ? 2 ? ? 3m 2 ? 4 (? ? 1)2 16m2 将 y1 ? ? y2 代人①②得 ? ,消去 y 2 得 , ? ? 3m2 ? 4 ? ? y 2 ? 36 2 ? 3m 2 ? 4 ?
即m ?
2

4(? ? 1) 2 . 10? ? 3? 2 ? 3

10 分

由 m2 ? 4 得

(? ? 1)2 ? 1 ,所以 ? ? 1 且 3? 2 ? 10? ? 3 ? 0 , 10? ? 3? 2 ? 3
12 分

解得

1 ? ? ? 1或1 ? ? ? 3. 3 1 ? ? ?1 3 1 3



0 ? ? ? 1 ,∴

1) . 故 ?ODA 与 ?ODB 面积之比的取值范围为 ( ,


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