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2015年北京市顺义区高三一模数学(理)试题Word版带解析

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顺义区 2015 届高三第一次统一练习 数学试卷(理科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项) 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {?2, ? 1,1,2} ,则 A ? B ?

A.{?2, ? 1}

B.{?1,

2}

C.{1,2}

D.{?2,-1,1,2}

2.在复平面内,复数 (1 ? 2i)2 对应的点位于

A. 第一象限
3. “? ?

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

?
2

” 是“曲线 y ? sin( x ? ? ) 关于 y 轴对称”的

A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件

4.当 n ? 5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值 为

A.2

B.4

C.7

D.11

x y 5.若 4 ? 4 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是

A.[0,1] C.[?1, ??)

B.[?1, 0] D.(??, ?1]

x2 y 2 5 6.若双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 ,则其渐近线方程为 a b 2

A. y ? ?2 x

B. y ? ?4 x

C. y ? ?

1 x 2

D. ?

1 x 4

? kx ? y ? 4 ?2 y ? x ? 4 ? 7.若 x , y 满足 ? 且 z ? 5 y ? x 的最小值为 ?8 ,则 k 的值为 , x ? 0 ? ? ?y ? 0
A. ? 1 2 B. 1 2
C. ? 2 D.2

1

8.已知 f ( x ) 为定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且当 x ? [0,1) 时,

f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,给出下列命题


f (2014) ? f (?2015) ? 0 ;
数;

②函数 f ( x ) 在定义域上是周期为 2 的函

③直线 y ? x 与函数 f ( x ) 的图象有 2 个交点;④函数 f ( x ) 的值域为 (?1,1) . 其中正确的是

A. ①,②

B. ②,③

C. ①,④

D. ①,②,③,④

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.已知圆的极坐标方程为 ? ? 6sin ? ,圆心为 M ,点 N 的极坐标为 (6, 则 | MN |? 10.设向量 a ? ( 3,1), b ? (2, ?2) ,若 (? a ? b) ? (? a ? b) ,则实数 ? ? 11.已知无穷数列 {an } 满足: a1 ? ?10, an?1 ? an ? 2(n ? N ? ) .则数列 {an } 的前 n 项和的最 小值为 12. 如图,在圆内接四边形 ABCD 中, AB // DC ,过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交 于点 E .若 AB ? AD ? BC ? 5, AE ? 6 ,则 BE ?

?
6

),

?

?

? ?

? ?

DC ?

13. 如果在一周内(周一至周日)安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂,每天最多只安排 一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有 __________种(用数字作答).

14.已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0), x ? R. 又 f ( x1 ) ? ?2, f ( x2 ) ? 0 且

| x1 ? x2 | 的最小值等于 ? .则 ? 的值为

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 13 分)

在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 b ? 3 2,sin B ? (I)求 a 的值; (II)求 cos C 的值.

? 6 , B? A? . 2 3

16.(本小题满分 13 分) 某农民在一块耕地上种植一种作物,每年种植成本为 800 元,此作物的市场价格和这块地 上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(I)设 X 表示该农民在这块地上种植 1 年此作物的利润,求 X 的分布列; (II)若在这块地上连续 3 年种植此作物,求这 3 年中第二年的利润少于第一年的概率.

3

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC , AD ? DC ,平面 PAD ? 底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 的中点,

PA ? PD ? 2, BC ?

1 AD ? 1, CD ? 3. 2

(I)求证: PQ ? AB ; (II)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (III)求二面角 P ? QB ? M 的余弦值.

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? ax ? ln x .
2 2

(I)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)设 g ( x) ? a x ? f ( x) ,且函数 g ( x) 在点 x ? 1 处的切线为 l ,直线 l ? // l ,且 l ? 在
2 2

y 轴上的截距为 1.求证:无论 a 取任何实数,函数 g ( x) 的图象恒在直线 l ? 的下方.

4

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: 3x2 ? 4 y 2 ? 12. (I)求椭圆 C 的离心率; (II)设椭圆 C 上在第二象限的点 P 的横坐标为 ?1 ,过点 P 的直线 l1 , l2 与椭圆 C 的另一 交点分别为 A, B .且 l1 , l2 的斜率互为相反数, A, B 两点关于坐标原点 O 的对称点分别为

M , N ,求四边形 ABMN 的面积的最大值.

20.(本小题满分 13 分)

1 3 ? 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ) 在二次函数 y ? f ( x) 的图象上.
(I)求数列 {an } 的通项公式;

已知二次函数 y ? f ( x) 的图象的顶点坐标为 ( ?1, ? ) ,且过坐标原点 O .数列 {an } 的前 n

(II)设 bn ? an an ?1 cos(n ?1)? ,( n ? N ?) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,若 Tn ? tn2 对

n ? N ? 恒成立,求实数 t 的取值范围;
(III)在数列 {an } 中是否存在这样一些项: an1 , an2 , an3 ,?, ank ,? (1 ? n1 ? n2 ? n3

? ? ? nk ? ?, k ? N ? ) ,这些项都能够构成以 a1 为首项, q(0 ? q ? 5, q ? N ? ) 为公比的
等比数列 {ank }, k ? N ?若存在,写出 nk 关于 k 的表达式;若不存在,说明理由.
?

5

顺义区 2015 届高三第一次统练 数学试卷答案(理科) 一、CBAD DCBC 二、 9. 3 3 三、 15.解 解:(I)在 ?ABC 中,因为 B ? A ? 所以 B ? A ? 10. ? 2 11. -30 12.360 13.4,

25 4

14.

1 2

?
2

,

?
2

,即

?
2

? B ?? ,
所以

…….............................................................2 分

?? ? ?? ? sin A ? sin ? B ? ? ? ? sin ? ? B ? ? ? cos B ..........................................4 分 2? ? ?2 ?
? 6? 3 ? ? ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ?
2

?

?

2

........................................

...5 分

a b ? 得 sin A sin B 3 3 2? b sin A 3 ? 3 . ...........................7 分 a? ? sin B 6 3
由正弦定理, (II)因为 B ? A ?

?
2

,即 B ? A ?

?
2

,

所以 B 为钝角, A 为锐角. 由(I)可知, sin A ?

3 , 3
6

所以

? 3? 6 . cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ?
2

2

...........................................9 分

又 sin B ? 所以

6 3 , ,cos B ? ? 3 3

...........................................10 分

cos C ? cos ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? cos ? A ? B ?

...........................................11 分

...........................................12 分

? ? cos A cos B ? sin A sin B ?? ? 6 ? 3? 3 6 ?? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3

2 2 . 3
...........................................13 分

16.解(I)设 A 表示事件“作物产量为 300kg”, B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”, 由题意知 P( A) ? 0.3, P( B) ? 0.6. 因为利润 ? 产量 ? 市场价格 ? 成本 所以 X 的所有可能的取值为 ...........................................1 分

300 ? 6 ? 800 ? 1000,300 ?10 ? 800 ? 2200, 500 ? 6 ? 800 ? 2200,500 ?10 ? 800 ? 4200. P ( X ? 1000) ? P( A) P( B) ? 0.5 ? 0.6 ? 0.3 P ( X ? 2200) ? P( A) ? P( B ) ? P( A) ? P( B) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 P ( X ? 4200) ? P( A) ? P( B ) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2
................................... ........6 分
7

所以 X 的分布列为

...........................................7 分 (II) 这 3 年中第二年的利润少于第一年的概率为

P( X ? 2200) ? P( X ? 1000) ? P( X ? 4200) ? P( X ? 1000) ? P( X ? 4200) ? P( X ? 2200) ? 0.31.
..................................... ......13 分

17. (I)证明:在 ?PAD 中, PA ? PD, Q 为 AD 中点. 所以 PQ ? AD ...........................................1 分

因为平面 PAD ? 底面 ABCD ,且平面 PAD ? 底面 ABCD ? AD 所以 PQ ? 底面 ABCD 又 AB ? 平面 ABCD 所以 PQ ? AB . ...........................................4 分 ...........................................3 分

(II)解:在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , BC ? 所以

1 AD, Q 为 AD 中点 2

所以四边形 BCDQ 为平行四边形

因为 AD ? DC 所以 AD ? QB
8

由(I)可知 PQ ? 平面 ABCD 所以,以 Q 为坐标原点,建立空间直角坐标系, Q ? xyz. 如图.

则 Q(0,0,0), A(1,0,0), P(0,0, 3), C(?1, 3,0),

D(?1,0,0), B(0, 3,0).
所以 6分 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z), 则

uur uuu r uuu r PB ? (0, 3, ? 3), CD ? (0, ? 3,0), PD ? (?1,0, ? 3) ...........................................
?

? ??? ? ? ? ? ?n ? CD ? 0 ?? 3 y ? 0 ?y ? 0 ,即? , 亦即 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? x ? ? 3z ?n ? PD ? 0 ?? x ? 3z ? 0 ? 令 z ? 1 ,得 x ? ? 3, y ? 0. 所以 n ? (? 3,0,1)
分 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ? ,则

...........................................8

? ??? ? ? ??? ? n ? PB 2 ? ? sin ? ?| cos ? n, PB ?|? ? ??? . 4 | n || PB |
所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 分 (III)解:如(II)中建立空间直角坐标系 因为 AQ ? PQ, AQ ? BQ 所以 AQ ? 平面 PQB
9

2 . 4

...........................................10

即 QA 为平面 PQB 的法向量,且

??? ?

??? ? QA ? (1,0,0).

...........................................11 分

因为 M 是棱 PC 的中点 所以点 M 的坐标为 (? , 又 QB ? (0, 3,0) 设平面 MQB 的法向量为 m ? ( x, y, z ).

1 3 3 , ) 2 2 2

??? ?

??

?? ??? ? ? ? m ? QB ? 0 则 ? ?? ???? ? m ? QM ?0 ? ?
? 3y ? 0 ? 即? 1 3 3 y? z?0 ?? x ? ? 2 2 2
令 z ? 1, 得 x ? 3, y ? 0 所以

?? m ? ( 3,0,1)

........................... .........................................

..13 分

??? ? ?? ??? ? ?? OA ? m 3 ? 所以 cos ? QA, m ?? ??? ? | OA || m | 2
由题知,二面角 P ? QB ? M 为锐角 所以二面角 P ? QB ? M 的余弦值为 分

3 ................ ...........................................14 2

18. (I)解: f ( x) ? a2 x2 ? ax ? ln x

10

f ?( x) ? 2a 2 x ? a ?

1 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? x x (ax ? 1)(2ax ? 1) ? ( x ? 0) x
............... ...........................................2

分 所以, a ? 0 时, 变化情况如下:

f ( x) 与 f ?( x ) 的

因此,函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 单调递减区间位

1 , ??) ; 2a

(0,

1 ). 2a

............... ...........................................6 分

(II)证明: g ( x) ? a2 x2 ? f ( x) ? ln x ? ax

g ?( x) ?

1 ?a x

所以 g ?(1) ? 1 ? a 所以 l 的斜率为

kl ? 1 ? a

............... ...........................................7 分

因为 l ? // l ,且 l ? 在 y 轴上的截距为 1 所以直线 l ? 的方程为

y ? (1 ? a) x ? 1

............... ...........................................8 分

令 h( x) ? g ( x) ? [(1 ? a) x ? 1] ? ln x ? x ?1
11

( x ? 0)

则无论 a 取任何实数,函数 g ( x) 的图象恒在直线 l ? 的下方,等价于 h( x) ? 0

(?a ? R, ?x ? 0)
.........9 分 而

............... ..................................

h?( x) ?

1 1? x ?1 ? x x

............... ......................................

.....10 分 当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 所以函数 h( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减 从而当 x ? 1 时, h( x) 取得最大值 h(1) ? ?2 即在 (0, ??) 上, h( x) 取得最大值

h(1) ? ?2

............... ...........................................12 分

所以 h( x) ? ?2 ? 0(?a ? R, ?x ? 0) 因此,无论 a 取任何实数,函数 g ( x) 的图象恒在直线 l ? 的下 方. ......................................13 分

x2 y 2 ? ? 1. 19.解:(I)由题意,椭圆 C 的标准方程为 4 3
所以 a2 ? 4, b2 ? 3, 从而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 1. 因此, a ? 2, c ? 1. 故椭圆 C 的离心率

e?

c 1 ? . a 2

..... ...........................................4 分

(II)由题意可知,点 P 的坐标为 ( ?1, ). 设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) ?

3 2

3 . 则 l2 的方程为 2

3 y ? ? k ( x ? 1) ? . ........................................5 分 2
12

3 ? ? y ? k ( x ? 1) ? 由? 2 ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ?

得 (4k 2 ? 3) x2 ? (8k 2 ? 12k ) x ? 4k 2 ? 12k ? 3 ? 0.

由于 x ? ?1 是此方程的一个解. 所以此方程的另一解 xA ? ? 同理

4k 2 ? 12k ? 3 4k 2 ? 3

xB ? ?
.7 分

4k 2 ? 12k ? 3 4k 2 ? 3

............... ..........................................

故直线 AB 的斜率为 k AB

y ? yA ? B ? xB ? x A

?k ( xB ? 1) ?

3 3 ? k ( x A ? 1) ? 2 2 xB ? x A

?

?k (

?8k 2 ? 6 ? 2) 1 4k 2 ? 3 ? ? . ........... ...........................................9 分 24k 2 2 4k ? 3
1 x ? m. 2

设直线 AB 的方程为 y ? ?

1 ? ?y ? ? x ? m 由? 2 2 ?3x ? 4 y 2 ? 12 ?

得 x2 ? mx ? m2 ? 3 ? 0

所以 | AB |? 1 ? (? )2 m2 ? 4(m2 ? 3) ? 又原点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

1 2

15 4 ? m2 2

2|m| . 5

所以 ?OAB 的面积 S?OAB ?

1 15 2| m| 3 ? 4 ? m2 ? ? m2 (4 ? m2 ) 2 2 2 5

?

3 m2 ? (4 ? m2 ) ? ? 3. 2 2
13

当且仅当 m2 ? 4 ? m2 ,即 m2 ? 2, m ? ?2 时.

?OAB 的面积达到最大.且最大值为

3 .

............... ...........................................13 分

由题意可知,四边形 ABMN 为平行四边形, 所以,四边形 ABMN 的面积 S ? 4S?OAB ? 4 3 , 故四边形 ABMN 面积的最大值为

4 3 .

............... ...........................................14 分

20.解(I)由题意可知 f ( x) ? 所以

1 1 ( x ? 1) 2 ? . 3 3

1 1 1 2 S n ? (n ? 1) 2 ? ? n 2 ? n(n ? N ? ). 3 3 3 3
1分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

............... ...........................................

1 2 2 1 2 2n ? 1 n ? n ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? . 3 3 3 3 3

当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 1 适合上式 所以,数列 {an } 的通项公式为

an ?

2n ? 1 (n ? N ? ) ................ ...........................................4 分 3

(II)因为 bn ? an an?1 cos(n ? 1)? ,(n ? N ? ) 所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ?? (?1)n?1 anan?1
由(I)可知,数列 {an } 是以 1 为首项,公差为
① 当 n ? 2m, m ? N 时,
?

2 的等差数列. 3

Tn ? T2m ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ?? (?1)2m?1 a2ma2m?1

14

? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? ? a2 m (a2 m ?1 ? a2 m ?1 ) 4 4 a ? a2 m ? ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 m ) ? ? ? 2 ?m 3 3 2 1 1 ? ? (8m 2 ? 12m) ? ? (2n 2 ? 6n). 9 9
② 当 n ? 2m ?1, m ? N ? 时,

Tn ? T2m?1 ? T2m ? (?1)2m?1 a2ma2m?1
1 1 ? ? (8m 2 ? 12m) ? (16m 2 ? 16m ? 3) 9 9 1 1 ? (8m 2 ? 4m ? 3) ? (2n 2 ? 6n ? 7). 9 9

所以

? 1 ? (2n 2 ? 6n), n ? ? 9 Tn ? ? ? 1 (2n 2 ? 6n ? 7), n ? ?9
............... ..................................

.........7 分 要使 Tn ? tn2 对 n ? N ? 恒成立, 只要使 ? (2n 2 ? 6n) ? tn 2 (n 为正偶数)恒成立. 即使 ? (2 ? ) ? t 对 n 为正偶数恒成立, 故实数 t 的取值范围是

1 9

1 9

6 n

5 (??, ? ]. 9
(III)由 an ?

............... ...........................................9 分

2n ? 1 知,数列 {an } 中每一项都不可能是偶数. 3
?

① 如存在以 a1 为首项,公比 q 为 2 或 4 的数列 {ank }, k ? N ,此时 {ank } 中每一项除第一 项外都是偶数,故不存在以 a1 为首项,公比为偶数的数列 {ank } . ② 当 q ? 1 时,显然不存在这样的数列 {ank } .

当 q ? 3 时,若存在以 a1 为首项,公比为 3 的数列 {ank }, k ? N ? ,则 an1 ? 1,

15

n1 ? 1, ank ? 3k ?1 ?

2nk ? 1 3k ? 1 , nk ? . 3 2 3k ? 1 (k ? N ? ). 2
............... ..................................

所以存在满足条件的数列 {ank } ,且 nk ?

.........13 分

16


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